专题三 圆的方程（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题三 圆的方程（专题训练）

一、单选题

1．已知圆C：，直线，圆C上任意一点P到直线的距离小于4的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】圆，即，

故圆的圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离，

如图所示，设圆上两点到直线的距离为，

则优弧上的点到直线的距离小于4，

设为的中点，则，所以，

所以，即,

所以圆上任意一点到直线的距离小于4的概率为，故选：C.

2．一圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程为（    ）

A．

B．

C．或

D．以上都不对

【答案】C

【解析】设圆心的坐标为，可知所求圆的半径长为，

圆心到直线的距离，

根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理，可得，

即，解得.

因此，所求圆的标准方程为或.故选：C.

3．若复数，满足，，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】复数对应的点为，因为，所以，即，所以点的轨迹是一条直线．

复数对应的点为，因为表示点到定点的距离为2，所以点的轨迹表示以为圆心、半径为2的圆，

表示圆上一点到直线上一点的距离，最小值为．故选：A．

4．已知不全为0的实数，，满足，则直线被曲线截得的弦长的最小值为（ ）．

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】直线过定点,

因为，所以

因此当圆心与连线垂直直线时，直线被曲线截得的弦长最小，此时最小值为

故选：D

5．已知直线与直线垂直，且过圆的圆心，则直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为直线与直线垂直，故可设直线AB的方程为：，

又圆的圆心坐标为， 直线过点，

代入可得，故直线AB的方程为，故选：A.

6．已知实数x，y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（    ）

A．3 B．5 C．9 D．25

【答案】D

【解析】

，即为，

可得上式方程表示以为圆心，1为半径的圆，

表示点与原点的距离的平方，

由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的最大值为，

则的最大值为25．故选：D．

7．已知点，，，则外接圆的圆心坐标为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.

线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.

由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A

8．圆上到直线的距离为的点共有(    )

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】圆可变为，

圆心为，半径为，

圆心到直线的距离，

圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.

9．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意，圆心为，半径，则圆的方程为，故选：C．

10．过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】的圆心坐标为,

以为直径的圆的方程为,

与已知圆的方程相减，得到,

此即切点弦所在的直线的方程.

故选：C.

11．点在圆的（     ）

A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定

【答案】A

【解析】将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上，故选：A.

12．圆的圆心和半径分别是（    ）．

A．，4 B．，4 C．，2 D．，2

【答案】C

【解析】,即为，∴圆的圆心为，半径为2，

故选：C.

二、填空题

13．圆关于直线对称的圆的标准方程为__．

【答案】

【解析】圆的圆心为原点，半径为1，

已知圆关于直线对称的圆半径为1，圆心为原点关于对称的点，

则，解得，∴．

因此，所求圆的标准方程为．故答案为:．

14．经过二次函数与坐标轴的三个交点的圆的方程为__________.

【答案】

【解析】令，则；令，则或，

所以二次函数与坐标轴的三个交点为、、，

设圆的方程为，

则，解得，所以圆的方程为.

故答案为：.

15．已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____.

【答案】

【解析】圆的标准方程为，则点，

线段的中点为，且，

因此，以为直径的圆的标准方程为.

故答案为：.

16．在平面直角坐标系中，若圆：与圆：上分别存在点，，使为以为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为，则实数的值为___________.

【答案】

【解析】由已知得圆的标准方程为，得：圆心，半径；圆的标准方程为，得：圆心，半径；

为以为直角顶点的等腰直角三角形，且斜边长为，即,

,

又点和点都在圆上，且圆的半径，

只能是圆的直径，即点只能是圆与轴的交点（0，2），

又点在圆上，

点只能是圆与轴的交点，

在圆中，令，得：，解得：或（舍去）

，由，得：，

，

故答案为：-2或2.

三、解答题

17．如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在直线上.

（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；

（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】（1）∵圆心同在直线和直线上.

由，解得，，

①若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线；

②若过点的直线斜率存在，设直线方程为，即.

直线与圆相切，，解得，

∴切线方程为，即；

综上可知，过点作圆的切线，切线方程为或；

（2），∴点的轨迹是以为直径的圆（不含），

则这个圆的圆心为，半径为1，

要使得圆上存在符合条件的点，则圆与圆必有公共点，

又圆的圆心，半径为1，

，即，解得，

∴圆心的横坐标的取值范围为.

18．已知圆过点，且与圆关于直线对称.

（1）求圆的方程；

（2）若直线过点,且与圆C相交于、两点，当时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）设圆心,则

解得则圆C的方程为,

将点代入得,

故圆C的方程为;

（2）设过的直线方程为,

即：

由圆心到直线的距离,

半径和代入,

,解得或;

所以直线的方程为或.

19．已知圆经过坐标原点和点，且圆心在直线上．

（1）求圆的方程；

（2）设是圆的两条切线，其中为切点．

①若点在直线上运动，求证：直线经过定点；

②若点在曲线（其中）上运动，记直线与轴的交点分别为 ， 求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②32.

【解析】（1）因为圆心在直线上，故设圆心坐标为，

又因为圆经过坐标原点和点，

所以，即，解得：，

所以圆心为，半径为，所以圆的方程为：；

（2）①因为点在直线上运动，故设，

又因为是圆的两条切线，其中为切点，故连接，如图

所以，，所以在以为直径的圆上，

所以的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为：

，化简得：，

所以是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦的方程：，

整理得：，所以直线经过定点；

②设点，设过的与圆相切的直线斜率为，切线方程为：，

∴ 圆心到切线的距离，

整理得：

∴ 由题知： 即：，整理得：，

，

不妨记直线的斜率为，直线的斜率为

所以有，，令得，

∴ ，

，

令，则

∴

∴

∴

20．已知圆与动直线交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

（1）求M的轨迹方程；

（2）已知点，当时，求l的方程及的面积.

【答案】（1）；（2），的面积为.

【解析】（1）直线过定点，

圆可化为

，圆心，

设动点，因为M为AB中点，

∴即，∴在以为直径的圆上，

易知中点为，，∴半径为

∴点M的轨迹方程为.

（2）由（1）得M的轨迹为圆，圆心为，半径为，

因为点，M均在圆上，

又，由圆的性质可知，

又，

∴，

∴直线l的方程为，即，

到直线的距离为，

到直线（直线）的距离为，

又，

∴，

综上得，l的方程为，的面积为.

21．已知直线和圆.

（1）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；

（2）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是．

【解析】（1）证明：将的方程整理为，

由，解得，，

则无论为何值，直线过定点．

圆即

因为

所以点在圆内，故无论为何值，直线总与圆有交点；

（2）由（1）知点在圆的内部，直线与圆相交．

圆心，半径为5，，

当截得的弦长最小时，，由于，

则的斜率为，即有，解得．

此时最短弦长为，

故当时，直线被圆截得的弦最短，最短的弦长是．

22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，﹣2)，B(4，0)，圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)．斜率为k的直线l经过点B．

（1）求圆C的标准方程；

（2）当k＝2时，过直线l上的一点P向圆C引一条切线，切点为Q，且满足PQ＝，求点P的坐标；

（3）设M，N是圆C上任意两个不同的点，若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）P(3，﹣2)或(，)；（3）或．

【解析】（1）设圆C的方程为，

因为圆C经过点(0，﹣1)，(0，1)及(，0)

所以，解得，

所以圆C的方程为：，其标准方程为，

（2）设P(x，y)，由PQ与圆C切于点Q，得PQ2＝PC2﹣CQ2，又PQ＝PA，

所以，整理得，

又点P在直线l：上，

由，得或

所以P(3，﹣2)或(，)，

（3）设以MN为直径的圆的圆心为K，T是该圆上任意一点

则K为MN中点，设CK＝d，则圆K的半径为

因为，所以，

因为M，N是圆C上任意两个不同的点，所以d∈[0，)，

对于任意d∈[0，)，，所以0≤CT2≤4，

故点T总在以C(﹣1，0)为圆心，2为半径的圆上或其内部，

故直线l：y＝k(x﹣4)，即kx﹣y﹣4k＝0，与该圆无公共点，

所以，解得或．