专题六 直线与椭圆的位置关系（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题六  直线与椭圆的位置关系

★★★★必备知识★★★★

1．点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆 (a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上⇔；

点P在椭圆内部⇔；

点P在椭圆外部⇔.

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆 (a>b>0)的位置关系：

联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？

(2)直线y＝kx＋1与椭圆有怎样的位置关系？

[提示]　(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．

(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆的内部，因此直线与椭圆相交．

★★★★基础达标★★★★

1．思考辨析

(1)若点P(x0，y0)在椭圆的内部，则有.(　　)

(2)直线y＝x与椭圆 (a>b>0)不一定相交．(　　)

(3)过点(3,0)的直线有且仅有一条与椭圆相切．(　　)

2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)

A．相离　　　　B．相切        C．相交    D．无法确定

3．若点A(a,1)在椭圆的内部，则a的取值范围是________.

★★★★典型例题★★★★

1．若直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)

解析：选D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，

所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，

则0＜≤1且m≠5，

故m≥1且m≠5.

2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不重合的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点．

解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．

这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．

这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．

[名师微点]

判断直线与椭圆位置关系的方法

(1)判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．

(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．

[典例精析]

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 (a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.

(1)求椭圆的方程；

(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．

[解析]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，

所以椭圆方程为.

(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．

②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，

所以|AB|＝ |x1－x2|

＝·＝.

同理，|CD|＝＝.

所以|AB|＋|CD|＝＋

＝，解得k＝±1，

所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

[解题技法]

1．弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．

(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：

①|AB|＝|x1－x2|；

②|AB|＝ |y1－y2|(k≠0)；

③|AB|＝ ；

④|AB|＝ .

2．弦长公式的运用技巧

弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小．我们的经验是：若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y＝kx＋b便于运算，即“定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，一般设为my＝x－a可以减小运算量，即“直线定点落横轴，斜率倒数作参数”．

[口诀记忆]

弦长公式形式多，巧设直线是杰作；

定点落在纵轴上，斜截式帮大忙；

直线定点落横轴，斜率倒数作参数．

[典例精析]

(1)过椭圆内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)

A．4x＋3y－13＝0　　　　　　 B．3x＋4y－13＝0

C．4x－3y＋5＝0 D．3x－4y＋5＝0

(2)如图，已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围为________．

[解析]　(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故，，两式相减得＝0.

∵P(3,1)是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，

∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，故kAB＝，

直线AB的方程为y－1＝－ (x－3)，

即3x＋4y－13＝0，故选B.

(2)设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.

因为直线AB过椭圆的左焦点F，所以方程有两个不等实根，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，

则x1＋x2＝－，x0＝(x1＋x2)＝－，y0＝k(x0＋1)＝，

所以AB的垂直平分线NG的方程为y－y0＝－(x－x0)．

令y＝0，得xG＝x0＋ky0＝－＋＝－＝－＋.

因为k≠0，所以－＜xG＜0，

所以点G横坐标的取值范围为.

[答案]　(1)B　(2)

[解题技法]

1．处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

 2．解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意“如果点A，B关于直线l对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上”的应用．

[典例精析]

设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若＋＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积．

 [解析](1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，所以＝.

因为椭圆的离心率为，所以＝，

又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.

所以椭圆的方程为

(2)由(1)可知F(－1,0)，

则直线CD的方程为y＝k(x＋1)．

联立

消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

又A(－，0)，B(，0)，

所以＋

＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)

＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2

＝6＋＝8，

解得k＝±.

从而x1＋x2＝－，x1x2＝＝0.

所以|x1－x2|＝

＝ ，

|CD|＝|x1－x2|＝×＝.

而原点O到直线CD的距离为d＝＝＝，

所以△OCD的面积为S＝|CD|×d＝××＝.

[解题技法]

1．由直线与椭圆的位置关系解决离心率问题的思路

(1)由题中直线、直线与椭圆的条件寻找a，b，c间的关系式(等式或不等式)．

(2)借助a2＝b2＋c2转化为的方程或不等式即可．

2．直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法

(1)合理消元，消元时可以选择消去y，也可以消去x.

(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来．

(3)构造不等式或利用函数知识求解．