专题四 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题四 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系（专题训练）

一、单选题

1．若圆与图中阴影部分（含边界）表示的平面区域有公共点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当直线与圆相切时，；当圆经过点时，，

故的取值范围为.故选：.

2．若圆与直线相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由

可得：，

故圆心为，半径为，

又因为直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得，故选：D

3．圆截轴所得弦的长度等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】在圆方程中令，

得

因此弦长为，故选：A

4．已知直线与圆交于两点，则弦的长度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆心到直线的距离，

由直线与圆相交的性质可知，，即.

，故选：A．

5．过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线，即，

由，求得，直线经过定点．

由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动，

可得圆心为PQ的中点，半径为，

则与M的最大值为，

则与M的最小值为，

故MN的范围为：，故选：B．

6．已知圆，若点P在圆上，并且点P到直线的距离为，则满足条件的点P的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】设，由点P到直线的距离为，得

两边平方整理得到①

在圆上，，即②

联立①②得

解得或

当时，由①②可得，解得或，即或

当时，由①②可得，解得或，即或

综上，满足条件的点P的个数为个故选：C

7．直线与圆相交于、两点，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，

圆心到直线的距离为，

由于，，即，即，解得.

因此，实数的取值范围是.故选：C.

8．一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（    ）

A．圆 B．椭圆

C．双曲线的一支 D．抛物线

【答案】C

【解析】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为，

圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为，

根据圆与圆相切，则，，两式相减得，

根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支.故选：C

9．已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】B

【解析】圆的圆心为，半径为.

圆心到直线的距离为，解得.

∴圆的圆心为，半径为2，

圆的标准方程为：，

圆心坐标为，半径，

圆心距，

∴两圆相内切，故选：B.

10．点在圆，点在圆上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

圆的半径为，圆的半径为，

因为，故圆与圆相离，

故的最小值为.故选：C.

11．圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．外离 C．内含 D．相切

【答案】A

【解析】圆，所以，圆心坐标为半径为

圆，所以，圆心坐标为半径为

圆心之间的距离

因为，所以两圆相交，故选：A

12．两圆与的公切线条数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由题意，圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为；

所以，且，所以，

所以两圆外切，此时两圆有且仅有3条公切线．

故选:C．

二、填空题

13．已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．

【答案】

【解析】两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．

考点：相交弦所在直线的方程

14．某中学为了了解学生年龄与身高的关系，采用分层抽样的方法分别从高一400名，高二300名，高三250名学生中共抽取19名学生进行调查，从高一、高二、高三抽取的学生人数分别为，若圆与圆外切，则实数m的值为______________.

【答案】0或16

【解析】由分层抽样方法知，，所以分别为

所以圆的圆心为（8,6），半径为5，圆的圆心为，半径为5

由两圆外切知：，解得或.

故答案为：0或16

15．已知直线与圆交于，两点，过，分别做的垂线与轴交于，两点，若，则______．

【答案】

【解析】圆，圆心，半径，

，直线过圆心，

，，

直线，倾斜角为，

过，分别做的垂线与轴交于，两点，

，故答案为：．

16．已知圆与曲线，曲线上两点，，（、、、均为正整数），使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则______.

【答案】

【解析】设，则，

且点到点的距离与到点的距离之比为定值，

，

消去，得

所以，，此时，

此时.

故答案为：0.

三、解答题

17．如图，在平面直角坐标系中，已知圆，圆，A是第一象限内的一点，其坐标为．

（1）若，求t的值；

（2）过A点作斜率为k的直线l，

①若直线l和圆，圆均相切，求k的值；

②若直线l和圆，圆分别相交于和，且，求t的最小值．

【答案】（1）；（2）①或；②．

【解析】（1）因为，，，所以，因为，所以，又，所以，所以A点的坐标为．

（2）①设直线，则，所以，因为，所以．

因为直线l和圆，圆均相切，所以，所以，所以或，即或，

当时，得；当时，得，总之，．

将代入得；将代入得，故k的值为或．

②直线l的方程为，即，到直线l的距离，所以，

同理，

因为，所以，

且，

将化简得，因为，所以，所以，，

设，则，

等号当且仅当即时取得，

所以，等号当且仅当时取得．

当时，成立，故t的最小值为．

18．在平面直角坐标系中，圆：.

（1）为直线：上一点.

①若点在第一象限，且，过点作圆的切线，求切线方程；

②若存在过点的直线交圆于点，且恰为线段的中点，求点纵坐标的取值范围；

（2）已知，为圆上任一点，求一定点（异于点），使为定值.

【答案】（1）①或；②；（2）存在点，使得为定值.

【解析】（1）①设点的坐标为，∵，∴ ，解得，

又∵点在第一象限，∴，易知过点的圆的切线斜率必存在，可设切线斜率为，

∴ 切线方程为：，即：，

∴ 圆心到切线的距离，解得或

∴点的圆的切线方程为：或；

②设，则，

∵ 均在圆上，∴ 圆与圆有公共点，

∴ ，解得，

即点纵坐标的取值范围为

（2）设，假设存在点，使为定值，

则，即，

∴ ，

∵ 在圆：上，

∴ ，解得

∴ 存在点，使得为定值.、19．如图所示，在平面直角坐标系中，圆的方程为，圆与轴交于，两点，且在的右侧，设直线的方程为．

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；

（2）已知直线与圆相交于，两点．

①直线与轴交于点，若（在之间），求直线的方程；

②连接，，并分别延长相交于点，问是否存在一定直线，使得点恒在该直线上运动，若存在，请求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）或；（2）①或 ；②存在，.

【解析】（1）直线，相切时圆心到直线的距离等于半径1，

所以，

解得，

所以，

所以的方程为：或．

（2）①设的中点为，连接，，

则，

设，，

则在和中，，

解得，

所以，

解得，

，

即直线，

即或 ；

②设，

联立方程组，

消得，

所以，，

解得，

又，，

所以直线，

直线，

联立解得，

由（1）进一步得

，

所以存在直线：，使得动点在该直线上运动．

20．如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于，与圆相交于，两点，是中点．

（Ⅰ）当与垂直时，求证：过圆心．

（Ⅱ）当时，求直线的方程．

（Ⅲ）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）或．（Ⅲ）．

【解析】（I）由已知，故，所以直线的方程为，即可证明；（II）当直线与轴垂直时，易知符合题意；当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；（III）当与轴垂直时，易得，，求得；当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系，化简即可求解定值.

试题解析：（Ⅰ）由已知，故，所以直线的方程为.

将圆心代入方程易知过圆心.

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，易知符合题意；

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由于，

所以，由，解得.

故直线的方程为或.

（Ⅲ）当与轴垂直时，易得，，又，则，

，故,即.

当的斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程得

，则.

，即，

.又由得，

则.

故，

综上，的值为定值，且.

另解一：连结，延长交于点，由（Ⅰ）知，又于，

故.于是有.

由，，得.

故.

另解二：连结并延长交直线于点，连结，，由（Ⅰ）知，又，

所以四点都在以为直径的圆上，由相交弦定理得

.

21．已知圆和动圆交于A，B两点．

（1）若直线过原点，求a；

（2）若直线交轴于Q，当面积最小时，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由圆和动圆，

可得圆心坐标分别为，半径都是，

因为圆和动圆交于A，B两点，

可得圆心距小于半径之和，,即，解得，

又由两圆相减，可得公共弦直线， 

因为直线过原点，可得，解得，检验成立，

所以实数的值为.

（2）由直线，

令，即，解得，即

则，

所以当且仅当时取得等号，且满足，

此时直线，

又由圆心到直线距离为，所以弦长为.

22．如图所示，已知直线，圆的圆心为，且经过点．

（1）求圆的方程；

（2）若圆与圆关于直线对称，点分别为圆，上任意一点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵圆的圆心为，且经过点，

∴圆的半径,

∴圆的方程为：；

（2）若圆与圆关于直线对称，则圆的圆心为(0,3),半径为，

圆心距为，

∴两圆相离，

点分别为圆，上任意一点，则的最小值为．

如图所示，在分别与重合时取到最小值.