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    专题一 直线的方程(知识串讲)-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(圆锥曲线篇)

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    专题一  直线的方程

    ★★★★必备知识★★★★

    1直线的倾斜角

    (1)定义:当直线lx轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

    (2)规定:当直线lx轴平行或重合时,它的倾斜角为0.

    (3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0π)

    2.斜率公式

    (1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率ktan α.

    (2)坐标式:P1(x1y1)P2(x2y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k.

    3.直线方程的5种形式

    名称

    方程

    适用条件

    点斜式

    yy0k(xx0)

    不含垂直于x轴的直线

    斜截式

    ykxb

    不含垂直于x轴的直线

    两点式

    不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)

    截距式

    不含垂直于坐标轴和过原点的直线

    一般式

    AxByC0A2B2≠0

    平面内所有直线

     

    平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.即直线与倾斜角是多对一的映射关系.

    如果y2y1x2x1,则直线与x轴平行或重合,斜率等于0;如果y2y1x2x1,则直线与x轴垂直,倾斜角等于90°,斜率不存在.

    斜率与倾斜角的关系

    (1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.

    (2)当直线l的倾斜角α时,α越大,直线l的斜率越大;当α时,α越大,直线l的斜率越大.

    (3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.

    (4)已知倾斜角α的范围,求斜率k的范围,实质是求ktan α的值域;已知斜率k的范围,求倾斜角α的范围,实质是在上解关于正切函数的三角不等式问题,可借助正切函数图象来解决此类问题.

    (1)把直线AxByC0(ABC≠0)化为下面的形式:

    化为截距式:AxBy=-C,即.

    化为斜截式:y=-x.

    化为点斜式:先求出直线过定点k=-,则点斜式为y=-(x0)

    (2)在一般式AxByC0(AB不全为0)中,

    A0,则y=-,它表示一条与y轴垂直的直线;

    B0,则x=-,它表示一条与x轴垂直的直线.

    ★★★★基础达标★★★★

    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)

    (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(  )

    (2)过点M(ab)N(ba)(ab)的直线的倾斜角是45°.(  )

    (3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大.(  )

    (4)经过点P(x0y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示.(  )

    (5)经过任意两个不同的点P1(x1y1)P2(x2y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.(  )

    答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√

    二、选填题

    1.若直线x2的倾斜角为α,则α的值为(  )

    A0       B.

    C. D.不存在

    解析:选C 因为直线x2垂直于x轴,所以倾斜角α.

    2.直线xya0的倾斜角为(  )

    A. B.

    C.  D.

    解析:选B 设直线的倾斜角为α,则tan α

    α[0π)α.

    3.如果A·C0,且B·C0,那么直线AxByC0不经过(  )

    A.第一象限 B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    解析:选C A·C0B·C0AxByC0y=-xA·B0,-00直线AxByC0经过第一、二、四象限,故选C.

    4.若过点M(2m)N(m,4)的直线的斜率等于1,则m________.

    解析:由k1,得m1.

    答案:1

    5.过点P(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为_____________

    解析:由点斜式得直线方程为y(3)tan 45°(x2),即xy50.

    答案:xy50

    ★★★★典型例题★★★★

    考点一  直线的倾斜角与斜率 

     [典例精析]

    (1)直线xsin αy20的倾斜角的范围是(  )

    A[0π)      B.

    C.  D.

    (2)已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1)B(0)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________

    [解析] (1)设直线的倾斜角为θ

    则有tan θ=-sin α

    又-sin α[1,1]θ[0π)

    所以0≤θ

    θπ.

    (2)如图,因为kAP1

    kBP

    所以直线l的斜率k(,-][1,+∞)

    [答案] (1)B (2)(,-][1,+∞)

    [解题技法]

    斜率取值范围的2种求法

    数形结合法

    作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定

    函数图象法

    根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可

     

    [过关训练]

    1.若图中的直线l1l2l3的斜率分别为k1k2k3,则(  )

    Ak1k2k3 B.k3k1k2

    Ck3k2k1 Dk1k3k2

    解析:选D 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k10.直线l2l3的倾斜角α2α3均为锐角,且α2α3,所以0k3k2,因此k1k3k2.故选D.

    2.已知点(1,2)在直线laxy10(a≠0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是________

    解析:点(1,2)在直线laxy10同侧的充要条件是(a21)0,解得-a<-1,即直线l的斜率的范围是(,-1),故其倾斜角的取值范围是

    答案:

    考点二  直线的方程

     [典例精析]

    (1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程.

    (2)求经过点A(5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

    [解析] (1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y3=- (x1),即4x3y130.

    (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为,将(5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x2y10;当直线过原点时,设直线方程为ykx,则-5k2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x5y0.

    故所求直线方程为2x5y0x2y10.

    [解题技法]

    求直线方程的方法

    (1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,求出方程中的系数,写出直线方程;

    (2)待定系数法:先根据已知条件恰当设出直线的方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程()解得系数,最后代入设出的直线方程.

    [提醒] (1)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.

    (2)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式AxByC0,且A≥0.

    [过关训练]

     求适合下列条件的直线方程:

    (1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等.

    (2)经过点A(1,-3),倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍.

    (3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

    解:(1)设直线lx轴,y轴上的截距均为a

    a0,即l过点(0,0)(4,1)

    所以l的方程为yx,即x4y0.

    a≠0,设l的方程为

    因为l过点(4,1),所以

    所以a5,所以l的方程为xy50.

    综上可知,所求直线的方程为x4y0xy50.

    (2)由已知设直线y3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.

    因为tan α3,所以tan 2α

    又直线经过点A(1,-3)

    因此所求直线方程为y3=- (x1)

    3x4y150.

    (3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.

    又过点(3,4),由点斜式得y4±(x3)

    故所求直线的方程为xy10xy70.

    考点三  直线方程的综合问题  [师生共研过关]

    [典例精析]

    1.已知直线(a1)xya30(a1),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,实数a的值是(  )

    A1         B.

    C2 D3

    解析:选D 当x0时,ya3,当y0时,x,令ta35(a1).因为a1,所以a10.所以t≥52 9.

    当且仅当a1,即a3时,等号成立.故选D.

    (1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于AB两点,O为坐标原点,当AOB面积最小时,直线l的方程为__________________

    (2)已知直线l1ax2y2a4l22xa2y2a24,若0a2时,直线l1l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a________.

    [解析] (1)设直线l的方程为y1k(x2)(k0),则AB(0,12k)SAOB(12k (44)4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.故直线l的方程为y1=-(x2),即x2y40.

    (2)直线l1可写成a(x2)2(y2),直线l2可写成2(x2)a2(2y),所以直线l1l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2a,直线l2的横截距为a22,所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a42,故当a时,四边形的面积最小.

    [答案] (1)x2y40 (2)

    [解题技法]

    与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

    (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.

    (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

    (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.

    [过关训练]

    1.过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于AB两点,

    O为坐标原点.

    (1)AOB面积最小时,求直线l的方程.

    (2)|OA||OB|取最小值时,求直线l的方程.

    解析:设直线l (a0b0)

    因为直线l经过点P(4,1),所以.

    (1) ≥2,所以ab≥16

    当且仅当a8b2时等号成立,

    所以当a8b2时,AOB的面积最小,

    此时直线l的方程为,即x4y80.

    (2)因为a0b0

    所以|OA||OB|ab(ab)5≥52 9,当且仅当a6b3时等号成立,

    所以当|OA||OB|取最小值时,直线l的方程为1,即x2y60.

     

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