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- 专题三 圆的方程(知识串讲)-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(圆锥曲线篇) 试卷 2 次下载
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专题一 直线的方程(知识串讲)-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试(人教A版2019选择性必修第一册)(圆锥曲线篇)
展开专题一 直线的方程
★★★★必备知识★★★★
1.直线的倾斜角❶
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.
(3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).
2.斜率公式
(1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率k=tan α.
(2)坐标式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)❷在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的5种形式
名称 | 方程 | 适用条件 |
点斜式 | y-y0=k(x-x0) | 不含垂直于x轴的直线 |
斜截式 | y=kx+b | 不含垂直于x轴的直线 |
两点式 |
| 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2) |
截距式 |
| 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 |
一般式❸ | Ax+By+C=0,A2+B2≠0 | 平面内所有直线 |
平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等;倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.即直线与倾斜角是多对一的映射关系.
如果y2=y1,x2≠x1,则直线与x轴平行或重合,斜率等于0;如果y2≠y1,x2=x1,则直线与x轴垂直,倾斜角等于90°,斜率不存在.
斜率与倾斜角的关系
(1)当直线不垂直于x轴时,直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时,α越大,直线l的斜率越大;当α∈时,α越大,直线l的斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率.
(4)已知倾斜角α的范围,求斜率k的范围,实质是求k=tan α的值域;已知斜率k的范围,求倾斜角α的范围,实质是在∪上解关于正切函数的三角不等式问题,可借助正切函数图象来解决此类问题.
(1)把直线Ax+By+C=0(ABC≠0)化为下面的形式:
①化为截距式:Ax+By=-C,即.
②化为斜截式:y=-x-.
③化为点斜式:先求出直线过定点,k=-,则点斜式为y-=-(x-0).
(2)在一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)中,
若A=0,则y=-,它表示一条与y轴垂直的直线;
若B=0,则x=-,它表示一条与x轴垂直的直线.
★★★★基础达标★★★★
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( )
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.( )
(3)直线的倾斜角越大,斜率k就越大.( )
(4)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
二、选填题
1.若直线x=2的倾斜角为α,则α的值为( )
A.0 B.
C. D.不存在
解析:选C 因为直线x=2垂直于x轴,所以倾斜角α为.
2.直线x-y+a=0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 设直线的倾斜角为α,则tan α=,
∵α∈[0,π),∴α=.
3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选C ∵A·C<0,B·C<0,Ax+By+C=0,∴y=-x-,∴A·B>0,->0,∴-<0,∴直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,故选C.
4.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m=________.
解析:由k==1,得m=1.
答案:1
5.过点P(2,-3),倾斜角为45°的直线方程为_____________.
解析:由点斜式得直线方程为y-(-3)=tan 45°(x-2),即x-y-5=0.
答案:x-y-5=0
★★★★典型例题★★★★
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例精析]
(1)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的范围是( )
A.[0,π) B.∪
C. D. ∪
(2)已知直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率的取值范围是________.
[解析] (1)设直线的倾斜角为θ,
则有tan θ=-sin α,
又-sin α∈[-1,1],θ∈[0,π),
所以0≤θ≤或
≤θ<π.
(2)如图,因为kAP==1,
kBP=,
所以直线l的斜率k∈(-∞,-]∪[1,+∞).
[答案] (1)B (2)(-∞,-]∪[1,+∞)
[解题技法]
斜率取值范围的2种求法
数形结合法 | 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定 |
函数图象法 | 根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可 |
[过关训练]
1.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2
解析:选D 直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2.故选D.
2.已知点(-1,2)和在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l倾斜角的取值范围是________.
解析:点(-1,2)和在直线l:ax-y+1=0同侧的充要条件是(-a-2+1)>0,解得-<a<-1,即直线l的斜率的范围是(-,-1),故其倾斜角的取值范围是
答案:
考点二 直线的方程
[典例精析]
(1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程.
(2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.
[解析] (1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×=-.又直线经过点A(1,3),因此所求直线方程为y-3=- (x-1),即4x+3y-13=0.
(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,则-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
[解题技法]
求直线方程的方法
(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,求出方程中的系数,写出直线方程;
(2)待定系数法:先根据已知条件恰当设出直线的方程,再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数,最后代入设出的直线方程.
[提醒] (1)选择直线方程时,应注意分类讨论思想的应用,选用点斜式或斜截式时,先分类讨论直线的斜率是否存在;选用截距式时,先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.
(2)求直线方程时,如果没有特别要求,求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0,且A≥0.
[过关训练]
求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等.
(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
(3)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
解:(1)设直线l在x轴,y轴上的截距均为a,
若a=0,即l过点(0,0)和(4,1),
所以l的方程为y=x,即x-4y=0.
若a≠0,设l的方程为,
因为l过点(4,1),所以,
所以a=5,所以l的方程为x+y-5=0.
综上可知,所求直线的方程为x-4y=0或x+y-5=0.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α=3,所以tan 2α=
又直线经过点A(-1,-3),
因此所求直线方程为y+3=- (x+1),
即3x+4y+15=0.
(3)由题意可知,所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4),由点斜式得y-4=±(x-3).
故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.
考点三 直线方程的综合问题 [师生共研过关]
[典例精析]
1.已知直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,实数a的值是( )
A.1 B.
C.2 D.3
解析:选D 当x=0时,y=a+3,当y=0时,x=,令t=a+3+=5+(a-1)+.因为a>1,所以a-1>0.所以t≥5+2 =9.
当且仅当a-1=,即a=3时,等号成立.故选D.
(1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,直线l的方程为__________________.
(2)已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,若0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.
[解析] (1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A,B(0,1-2k),S△AOB=(1-2k)·=≥ (4+4)=4,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
(2)直线l1可写成a(x-2)=2(y-2),直线l2可写成2(x-2)=a2(2-y),所以直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=2+,故当a=时,四边形的面积最小.
[答案] (1)x+2y-4=0 (2)
[解题技法]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.
[过关训练]
1.过点P(4,1)作直线l分别交x轴,y轴正半轴于A,B两点,
O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
(2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.
解析:设直线l: (a>0,b>0),
因为直线l经过点P(4,1),所以.
(1) ≥2,所以ab≥16,
当且仅当a=8,b=2时等号成立,
所以当a=8,b=2时,△AOB的面积最小,
此时直线l的方程为,即x+4y-8=0.
(2)因为,a>0,b>0,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5++≥5+2 =9,当且仅当a=6,b=3时等号成立,
所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.