专题一 直线的方程（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题一  直线的方程

★★★★必备知识★★★★

1．直线的倾斜角❶

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．

(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.

(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.

(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)❷在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的5种形式

平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．即直线与倾斜角是多对一的映射关系．

如果y2＝y1，x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1，x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在．

斜率与倾斜角的关系

(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．

(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大．

(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．

(4)已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在∪上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题．

(1)把直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)化为下面的形式：

①化为截距式：Ax＋By＝－C，即.

②化为斜截式：y＝－x－.

③化为点斜式：先求出直线过定点，k＝－，则点斜式为y－＝－(x－0)．

(2)在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中，

若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；

若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线.

★★★★基础达标★★★★

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　　)

(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(　　)

(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．(　　)

(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、选填题

1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为(　　)

A．0　　　　　　 B.

C. D．不存在

解析：选C　因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α为.

2．直线x－y＋a＝0的倾斜角为(　　)

A. B.

C.  D.

解析：选B　设直线的倾斜角为α，则tan α＝，

∵α∈[0，π)，∴α＝.

3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)

A．第一象限 B.第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析：选C　∵A·C＜0，B·C＜0，Ax＋By＋C＝0，∴y＝－x－，∴A·B＞0，－＞0，∴－＜0，∴直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、四象限，故选C.

4．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝________.

解析：由k＝＝1，得m＝1.

答案：1

5．过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为_____________．

解析：由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)，即x－y－5＝0.

答案：x－y－5＝0

★★★★典型例题★★★★

考点一  直线的倾斜角与斜率 

 [典例精析]

(1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A．[0，π)　　　　　 B.∪

C.  D. ∪

(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．

[解析]　(1)设直线的倾斜角为θ，

则有tan θ＝－sin α，

又－sin α∈[－1,1]，θ∈[0，π)，

所以0≤θ≤或

≤θ＜π.

(2)如图，因为kAP＝＝1，

kBP＝，

所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

[答案]　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)

[解题技法]

斜率取值范围的2种求法

[过关训练]

1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2

解析：选D　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D.

2．已知点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．

解析：点(－1,2)和在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)＞0，解得－＜a＜－1，即直线l的斜率的范围是(－，－1)，故其倾斜角的取值范围是

答案：

考点二  直线的方程

 [典例精析]

(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．

[解析]　(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－ (x－1)，即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

[解题技法]

求直线方程的方法

(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系数，写出直线方程；

(2)待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．

[提醒]　(1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0.

(2)求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax＋By＋C＝0，且A≥0.

[过关训练]

　求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等．

(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．

(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．

解：(1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，设l的方程为，

因为l过点(4,1)，所以，

所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tan α＝3，所以tan 2α＝

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－ (x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．

故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

考点三  直线方程的综合问题  [师生共研过关]

[典例精析]

1．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)

A．1　　　　　　　　 B.

C．2 D．3

解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2 ＝9.

当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．故选D.

(1)(2019·成都模拟)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为__________________．

(2)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，若0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

[解析]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥ (4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

(2)直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，故当a＝时，四边形的面积最小．

[答案]　(1)x＋2y－4＝0　(2)

[解题技法]

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．

(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

[过关训练]

1．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，

O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解析：设直线l： (a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以.

(1) ≥2，所以ab≥16，

当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为，即x＋4y－8＝0.

(2)因为，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＝1，即x＋2y－6＝0.