专题一 直线的方程（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题一 直线的方程（专题训练）

一、单选题

1．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.

故.故选：B

2．已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点,且点在直线上,则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题,两圆的公共弦方程为,即,定点满足,即,故.

又点在直线上,故,即.故的轨迹为直线.又的几何意义为原点到点的距离的平方.

故最小值为,故的取值范围是.故选：C

3．直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

斜率，则，，

令，则，故直线在轴上的截距为，故选：

4．已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P在直线x+y＝0上，则|PA|+|PB|取最小值是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】已知A（3,﹣1），B（5,﹣2），点P在直线x+y＝0上

则A（3,﹣1）关于x+y＝0对称点的坐标为

|PA|+|PB|取最小值时，即为，故选：C

5．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数等于(    )

A．1 B． C．2或1 D．-2或1

【答案】C

【解析】当，即时，在两坐标轴上的截距均为零，符合题意；

当时，由直线可得直线过点，，

则，得，

故实数或，故选：C.

6．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a>0，c>0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l的最大距离为3，则 的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．9

【答案】B

【解析】因为动直线l：ax＋by＋c－2＝0（a>0，c>0）恒过点P（1，m），所以a＋bm＋c－2＝0，

点Q（4，0）到直线l的距离为d，当d＝|PQ|时取最大值，

所以 ，解得m＝0.所以a＋c＝2，

则 ，

当且仅当c＝2a＝时取等号.故选：

7．下列命题中正确的是（    ）．

A．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等

B．若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等

C．若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角越大的，斜率也越大

D．若两直线的斜率不相等，则它们中斜率越大的，倾斜角也越大

【答案】B

【解析】当倾斜角都为时，斜率都不存在，所以A项不正确；

钝角的正切是负值，锐角的正切是正值，不是角越大斜率越大，所以C、D都不正确；

因为直线的斜率确定，则倾斜角就确定了，直线的斜率相等，倾斜角一定相等，所以B正确.

8．两条直线和，，在同一直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，直线的横、纵截距分别为

选项A，由的图象可得，可得直线的截距均为正数，故A正确；

选项B，只有当时，才有直线平行，故B错误；

选项C，只有当时，才有直线的纵截距相等，故C错误；

选项D，由的图象可得，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，

由图像不对应，故D错误；故选：A

9．直线经过点（    ）

A．（1，0） B．（0，1） C． D．

【答案】A

【解析】将选项A代入直线方程，检验满足题意；

将选项B代入直线方程，检验不满足题意；

将选项C代入直线方程，检验不满足题意；

将选项D代入直线方程，检验不满足题意.故选：A.

10．已知，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】可看成点到点的距离的平方，

点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上，

问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小.

注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称，

观察图象知点P到直线的距离最短，，

最短距离为，所以的最小值为.故选：C

11．直线的斜率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线可化为，

∴直线的斜率是，故选：A.

12．设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

，.

故选：.

二、填空题

13．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________.

【答案】6x－8y＋1＝0

【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，

则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2

即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，

∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b

取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，

，解得b＝.

∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.

故答案为：6x－8y＋1＝0

14．在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点，若点，之间的最短距离为，则满足条件的正实数的值为______.

【答案】3

【解析】设点，，

则

，

令，由，可得，

令，

①当时，时取得最小值，

解得，均舍去；

②当时，在区间，上单调递减，在单调递增，

可得，取得最小值，可得，解得（负的舍去）．

综上可知：．

故答案为：．

15．已知变量x，y满足，则z＝的取值范围是________.

【答案】

【解析】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，

其中A(2，4)，k＝的几何意义为可行域内的动点(x，y)与定点连线的斜率.

直线的斜率率为：

由图可知，，或.

故答案为：

16．已知一束光线通过点，经直线：反射，如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______.

【答案】

【解析】设关于直线的对称点为，故，故.

故反射光线为：，化简得到.

故答案为：.

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1，5)，B(﹣3，7)，C(﹣8，2)．

（1）求AC边上的高所在直线方程；

（2）求ABC的面积．

【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）15.

【解析】（1）由题意，，

因此AC边上的高所在直线的斜率为：，

所以AC边上的高所在直线方程为：y﹣7＝﹣3(x＋3)，即3x＋y＋2＝0；

（2） AC＝，

AC边所在直线方程为：y﹣5＝(x﹣1)， 即x﹣3y＋14＝0，

B到AC的距离，

所以ABC的面积.

18．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．

（1）求的面积；

（2）求斜边AB中点D的坐标．

【答案】（1）20（2）

【解析】（1）顶点到斜边的距离为.

所以斜边，

故的面积为．

（2）由题意知，，设直线方程为

点代入方程点，

所以直线的方程为，

由，解得，

所以点的坐标为．

19．求经过点P（﹣3，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．

【答案】2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．．

【解析】若直线原点，设所求的直线方程为y＝kx，

把点P的坐标代入得k，

∴所求直线的方程是2x+3y＝0，

若直线不过原点时，

设直线方程为：，

把点P的坐标代入得，

∴a＝﹣5，

所求直线方程为：x﹣y+5＝0

综上所述：直线方程为：2x+3y＝0，或x﹣y+5＝0．

20．已知点关于直线的对称点为.

（1）求点的坐标；

（2）若点在直线上，点为坐标原点，在下列条件下求点的坐标；

①最小   

②最小

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】（1）设点的坐标为，依题意得

，解得，即，

所以点坐标为；

（2）①关于直线对称，点在直线上，

，

当且仅当三点共线时，等号成立，

所以的最小值为；

②，

当且仅当三点共线时，等号成立，

所以的最小值为.

21．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的，且过点.

（1）求的方程；

（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）∵直线的方程为，

∴，倾斜角，

由题知所求直线的倾斜角为，即斜率为，

∵直线经过点，

∴所求直线方程为，

即；

（2）∵直线与平行，

可设直线的方程为

∴，

即，

∴或

∴所求直线的方程为或

22．已知直线过点.

（1）若原点到直线的距离为，求直线的方程；

（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）①当直线的斜率不存在时，方程符合题意；

②当直线的斜率存在时，设斜率为，则方程为，即

根据题意，得，解得，则直线的方程为

故直线的方程为或

（2）当原点到直线的距离最大时，直线

因为，所以直线的斜率

所以其方程为，即