专题18 空间向量与立体几何（多选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题18 空间向量与立体几何（多选题）
1．已知空间三点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】AC
【解析】，
，
，故A正确；
不存在实数，使得，故不共线，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．故选AC．
2．已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】ABCD
【解析】若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件为它们的方向向量平行（或垂直），故A、B均正确．
若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件为它们的法向量平行（或垂直），故C、D均正确．故选ABCD．
3．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17 B．－17
C．－1 D．1
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】AC
【分析】求出，以及，代入夹角公式即可求出．
【解析】∵，，
，解得或，故选AC．
4．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】AC
【解析】对A，存在实数，使，
且，正确；
对B，不存在实数，使，错误；
对C，存在实数，使，且，正确；对D，，不是单位向量，错误．故选AC．
5．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（ ）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测
【答案】ABC
【解析】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：
A中，；B中，；C中，；D中，；
综上所述，选项A，B，C符合题意，故选ABC．
6．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）．
A． B．
C． D．
【试题来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何
【答案】AD
【解析】由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；
而运算后是实数，没有这种运算，B不正确；
，C不正确．故选AD．
7．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）

A．点的坐标为
B．点关于点对称的点为
C．点关于直线对称的点为
D．点关于平面对称的点为
【试题来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末
【答案】ACD
【解析】根据题意知：点的坐标为，选项A正确；
的坐标为，坐标为，故点关于点对称的点为，选项B错误；
在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确；
点关于平面对称的点为，选项D正确；故选ACD．
8．下列说法中正确的是（ ）
A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，A选项正确；
对于B选项，一个平面的所有法向量互相平行，B选项正确；
对于C选项，由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知，如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直，C选项正确；
对于D选项，只有当、不共线时，才能得出结论，依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直，D选项错误．
故选ABC．
9．已知6，，3，，则下列各向量中是平面是坐标原点的一个法向量的是（ ）
A． B．
C．4， D．4，
【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试
【答案】BD
【分析】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，利用求解方程组，得到法向量．
【解析】设平面是坐标原点的一个法向量是y，，
则即得，令，解得
令，解得故或，．故选BD．
10．已知，，且与夹角为，则的取值可以是（ ）
A．17 B．-17
C．-1 D．1
【试题来源】山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】AC
【分析】根据向量的数量积公式的推论得夹角公式求解即可．
【解析】因为，且，，与夹角为．
所以，解得或．故选AC
11．在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法不正确的是（ ）
A．点关于轴对称点的坐标是
B．点关于平面对称点的坐标是
C．点关于轴的对称点坐标是
D．点关于原点的对称点坐标是
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】ABC
【解析】A．点关于轴的对称点是，所以A不正确；
B．点关于平面对称点的坐标是，所以B不正确；
C．点关于轴的对称点坐标是，所以C不正确；
D．点关于原点的对称点坐标是，所以D正确．
故选ABC
12．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】AC
【分析】根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
【解析】设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．
故，而，所以或．
故选AC．
13．已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（ ）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6)
C．(，，) D．(0，3，2)
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】BD
【分析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到，然后利用空间向量共线定理逐项验证．
【解析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得，
A． ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
B． ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
C． ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
D．，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；故选BD
14．已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(1，0，2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2 B．
C． D．1
【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考
【答案】AB
【分析】首先求得，再求得的值，设出与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果．
【解析】由题设条件可知，，
所以，设与的夹角为，
则，所以，
所以点到直线的距离为，
P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，故选AB．
15．设动点在正方体的对角线上，记当为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B．
C． D．1
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】AB
【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据题意得到，再解不等式即可得到答案．
【解析】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为，则，，，，

，，，所以．
又因为，
，
因为为钝角，所以，
即，解得．故选AB
16．设，，是任意的非零空间向量，且两两不共线，则下列结论中正确的有（ ）．
A．
B．
C．不与垂直
D．
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何
【答案】BD
【分析】由向量的数量积定义和运算律，可得A错误；经过化简运算，可知存在与垂直的情况，故C错误；由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确．
【解析】根据空间向量数量积的定义及性质，可知和是实数，而与不共线，故与一定不相等，故A错误；
因为，所以当，且或时，，即与垂直，故C错误；
由向量两两不共线，可得B正确；由运算律可得D正确．故选BD．
17．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】CD
【解析】如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
底面是边长为的正方形，，
，，
则，
，
，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，
，
即，故D正确．故选CD．

18．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点．若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）．

A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何 素养检测
【答案】ABC
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则由，，，，，，所以，，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，所以平面的一个法向量为．
假设平面，且，
则．
因为也是平面的法向量，所以与共线，
所以成立，但此方程关于无解．
因此不存在点，使与平面垂直，故选ABC．

19．下列命题中正确的是（ ）
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 本章达标检测
【答案】ABD
【分析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．
【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，因为，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选ABD．
20．正三棱柱中，，则（ ）
A．与底面的成角的正弦值为
B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为
D．与侧面的成角的正弦值为
【试题来源】辽宁省丹东市2019-2020学年高二上学期期末
【答案】BC
【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；
设，则．
．
．底面的其中一个法向量为，
与底面的成角的正弦值为，错对．的中点的坐标为，
所以侧面的其中一个法向量为，
与侧面的成角的正弦值为
，故对错；故选BC．

21．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题
【答案】ABC
【分析】求出关于、、的表达式，可求得关于、、的表达式，可得出、、的值，进而可判断出各选项的正误．
【解析】如下图所示，

为的中点，
则，
为的中点，则，，
，则，
，
，，则．故选ABC．
【名师点睛】本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题．
22．如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（ ）

A． B．
C． D．二面角的余弦值为
【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题
【答案】BD
【解析】依题意可知，，，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

设，，则，，，
，，，，，
所以，，
因为，所以，即，
解得或（舍），
所以，，故选项正确，
，故选项不正确，
因为，
所以，故不正确，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
由，即，取，则，，所以，
显然二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，故选项正确．
故选BD
23．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【试题来源】山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】ABC
【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确．
【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以是正确的；
对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，
根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的；
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，
可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的；
对于D中，若，由，得，所以不正确．故选ABC
24．如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（　　）

A．；
B．；
C．三棱锥是正三棱锥；
D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】BC
【分析】通过线面垂直的判定得出平面ADC，进而，故而可判断A；通过证明是等边三角形可判断B；通过正三棱锥的定义可判断C；通过平面和平面不垂直可判断D．
【解析】因为D为BC的中点，所以，
又平面平面ACD，平面平面ACD=AD，，平面ABD，
所以平面ADC，又平面ADC，
所以，即，故A不正确；
由A知，平面ADC，平面ADC，
所以，设，则，
所以由勾股定理得：，所以是等边三角形，故B正确；
因为是等边三角形，，
所以三棱锥是正三棱锥，故C正确；
由A知，平面ADC，而面内不存在与平行的直线，
故平面和平面不垂直，
即平面的法向量和平面的法向量互相垂直错误；故D错误；故选BC．
25．如图，已知在棱长为1的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）

A．平面 B．平面
C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为30°
【试题来源】江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高三上学期10月学情调研测试
【答案】ABD
【分析】中，利用线面平行的判定定理，得出平面；
中，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断垂直，得出平面；
中，计算三棱锥的体积即可；中，利用向量的数量积求夹角即可．
【解析】如图1所示，由题意，，平面，平面，所以平面，所以正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；
由，则，1，，，，，，0，；
所以，，所以，，
所以平面，所以正确；

三棱锥的体积为，
所以错误；，，，，0，，所以，，，，0，，
所以，，
所以与所成的角是，所以正确．故选ABD．
26．如图，已知是棱长为2的正方体的棱的中点，是棱的中点，设点到面的距离为，直线与面所成的角为，面与面的夹角为，则（ ）

A．面 B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】BCD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可．
【解析】以为坐标原点，，，的方向为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，则由，得
令，则，，故．
因为，不存在使，即与不共线，
所以与面不垂直故A不正确；
又因为，所以，故B正确；
又．所以．所以C正确；
又为平面的一个法向量，所以，故D正确，故选BCD．
27．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是，共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】ABC
【分析】根据向量共线的性质，即可判断A选项；根据零向量与任意向量共线以及向量共线定理，即可判断B选项；根据向量的共面定理的定义，即可判断C选项；根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理，即可判断D选项．
【解析】对于A，当，则，共线成立，但，同向共线时，，所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确；
对于B，当时，，不存在唯一的实数，使，故B不正确；
对于C，由于，而，
根据共面向量定理知，，，，四点不共面，故C不正确；
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，
由基底的定义可知，不共面，
则构成空间的另一个基底，故D正确．故选ABC．
28．在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，然后利用空间向量数量积运算求解．
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1．

则，，，，，，，
所以，，，，．因为，，
．．
所以与不垂直的有、、，故选ACD．
29．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）

A．平面
B．该三棱柱的外接球的表面积为
C．异面直线与所成角的正切值为
D．二面角的余弦值为
【试题来源】广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研备考
【答案】AD
【分析】对于A，欲证平面，只需证明，由易证，故A项正确；
对于B，由、、三条直线两两垂直，可知直三棱柱是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱的外接球的表面积易求，然后再判断．
对于C，由于，异面直线与所成角为，在中，的正切值易求，然后判断．
对于D，由、、三条直线两两垂直，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量的夹角，然后再判断即可．
【解析】在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，不在平面内，平面，
所以平面，A项正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，
易知是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，所以，所以C项错误；
二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：

则，
，，，
设平面的法向量，则，即，
令可得，设平面的一个法向量为，
则，即，令可得
故二面角的余弦值为，所以D项正确．故选AD．
30．正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）

A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】BC
【分析】通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项．
【解析】由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：

，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则．
得知二面角的大小不是，所以不正确．故选BC．

【名师点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维．
31．在长方体中，，，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．的坐标为(2，2，3)
B．=(-2，0，3)
C．平面的一个法向量为(-3，3，-2)
D．二面角的余弦值为
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】ABD
【解析】因为，，所以，，，，
所以，，即A，B正确；
设平面的法向量，所以，即，
令，则，，即平面的一个法向量为，故C错误；
由几何体易得面的一个法向量为，
由于，
结合图形可知二面角的余弦值为，故D正确；故选ABD．

32．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A．，，可以为任意向量
B．对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使
C．若，，则
D．可以作为构成空间的一组基底
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】BD
【解析】A选项：，，为不共线的非零向量；
B选项：由向量的基本定理知，空间任一向量，存在唯一有序实数组，使；
C选项：，，则不一定垂直；
D选项：中三个向量间无法找到实数使得它们之间有的等式形式成立，即可以构成基底．故选BD．
33．下列命题中不正确的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若共线，则
C．三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有不共线，则是三点共线的充分不必要条件
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】ABD
【分析】由向量的共线性质，可判定A不正确；由向量的共线与点共线的关系，可判定B不正确；由空间向量的基本定理可判定C正确；由向量的共线定理，可判定D不正确．
【解析】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，
反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；
若共线，则或四点共线，所以B不正确；
由三点不共线，对空间任意一点，若，
因为，可得四点共面，故C正确；
若为空间四点，且有不共线，
当时，即，可得，即，
所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，
所以D不正确．故选ABD
34．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）

A．与EF相交 B．平面DEF
C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为
【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试
【答案】BCD
【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．
【解析】对选项A，由图知平面，平面，且
由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；
对于选项B，在直三棱柱中， ．
，F分别是AC，AB的中点，， ．
又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确；
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．
，，．
与所成的角为，故C正确；
对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．
0，，1，，由，即，得
取，则，0，，设点到平面DEF的距离为d．
又2，，，
点到平面DEF的距离为，故D正确．故选BCD
【名师点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
35．已知正方体棱长为，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是（ ）

A．直线与平面所成角的正弦值范围为
B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．己知为中点，当的和最小时，为的中点
【试题来源】山东师范大学附属中学2020届高三6月模拟检测
【答案】AC
【解析】对于A选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则点、、设点，
平面，则为平面的一个法向量，且，，
，
所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，A选项正确；

对于B选项，当与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面，
平面，，四边形是正方形，则，
，平面，
平面，，同理可证，
，平面，易知是边长为的等边三角形，
其面积为，周长为．
设、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，

则的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面交棱于点，点，，

平面，平面，，即，得，，所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点，则，，而，，且，
由空间中两点间的距离公式可得，
，，
所以，四边形为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：

若最短，则、、三点共线，
，，
，所以点不是棱的中点，D选项错误．故选AC．