专题22 导数及其应用（多选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题22 导数及其应用（多选题）
1．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是
A．（）′ B．（cos2x）'＝﹣2sin2x
C． D．（lgx）′
【试题来源】山东省潍坊市潍坊中学2019-2020学年高二下学期4月阶段测试
【答案】BC
【解析】，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选BC．
2．已知函数，其导函数为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】BC
【解析】因为，所以．
又，所以．故．故选BC
3．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是

A．-3是的一个极小值点 B．-2和-1都是的极大值点
C．的单调递增区间是 D．的单调递减区间是
【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】ACD
【解析】当时，，时，
所以是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．故选ACD．
4．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是．

A．在上是增函数
B．当时，取得极小值
C．在上是增函数、在上是减函数
D．当时，取得极大值
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】BC
【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取极大值，左减右增取极小值．
【解析】由图象可以看出，在，上导数小于零，故不对；左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以是的极小值点，故对；在，上导数大于零，在上导数小于零，故对；左右两侧导数的符号都为正，所以不是极值点，不对．故选BC．
5．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是
A．在单调递增 B．在单调递增
C．在上有极大值 D．在上有极小值
【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练
【答案】AC
【解析】由得，则，
即，设，，，
即在单调递增，在单调递减，
即当时，函数取得极小值．故选AC．
6．已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷）
【答案】BD
【解析】设，，，
则，．
因为对恒成立，
所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，，
即，即．故选BD．
7．函数在定义域R内可导，若，且，若，则a，b，c的大小关系正确的有
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】AC
【分析】确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案．
【解析】由得，则函数关于对称，
当时，由得，函数单调递减；
当时，由得，函数单调递增．
又，，，故．故选AC．
8．已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是
A． B．
C．是上的增函数 D．若，则有
【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测调研
【答案】AD
【解析】由，得，即，所以函数为增函数，故，所以，故A正确，B不正确；函数为增函数时，不一定为增函数，如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确．故选AD．
9．已知函数为上的可导函数，则下列判断中正确的是（ ）
A．若在处的导数值为，则在处取得极值
B．若为奇函数，则为偶函数
C．若为偶函数，则为奇函数
D．若的图象关于某直线对称，则的图象关于某点成中心对称
【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】BD
【解析】A选项，若，则，所以，而显然是单调函数，没有极值，故A错；B选项，若为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数后，也为偶函数，故B正确；C选项，若为偶函数，则不一定为奇函数，如显然为偶函数，但，若不为，则不是奇函数；故C错；D选项，若的图象关于直线对称，则，
两边求导，可得，即，
所以函数的图象关于中心对称，故D正确．故选BD．
10．已知函数，下列说法中正确的有
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调减区间为
D．曲线在点处的切线方程为
【试题来源】河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考
【答案】ACD
【解析】因为，所以，
由，得或，由，得，
所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，
所以当时，取得极大值，
在时，取得极小值，故选项正确，
当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确．故选ACD．
11．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为

A．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
D．甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测
【答案】ABC
【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．D错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C正确；
故选ABC．
12．若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】BCD
【解析】直线的斜率为，
由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由的导数为，而，解得，故B正确；
由的导数为，而有解，故C正确；
由的导数为，而，解得，故D正确，故选BCD
13．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质，下列函数中具有T性质的是
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省本溪满族自治县高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】AD
【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数，否存在点，，使得成立．
【解析】由题意具有T性质，则存在，，使得．
对于选项A，因为，存在，，使得；
对于选项B，因为，不存在，，使得；
对于选项C，因为，不存在，，使得；
对于选项D，因为，存在，，使得．
故选AD．
14．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】BC
【解析】当时，，则
由得，即，此时为减函数，
由得，即，此时为增函数，
即当时，取得极小值，作出的图象如图：

由图象可知当时，有三个不同的x与对应，
设，方程有六个不等的实数根，
所以在内有两个不等的实根，
设，即，
则实数a可取的值可能是，1，故选BC．
15．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是
A．函数f(x)不存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－e D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2
【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考
【答案】BCD
【解析】A．，解得，所以A不正确；
B．，
当时，，当时，或
是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
C．当趋向于时，趋向于0，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

D．由图象可知，的最大值是2，所以正确．故选BCD．
16．关于函数，下列判断正确的是
A．当时，；
B．当时，不等式的解集为；
C．当时，函数有两个零点；
D．当的最小值为2时，．
【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】ABD
【解析】对函数求导得，
当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故A正确；
当时，，在上单调递减，因为即，所以，解得，故B正确；
当时，，，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，函数只有一个零点，故C错误；
当时，单调递减，无最小值；
当时，由可得当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，解得，故D正确．故选ABD．
17．已知实数a，b，c，d满足，其中e是自然对数的底数，则的值可能是
A．7 B．8
C．9 D．10
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】BCD
【解析】由，令，
由，令
则的表示上一点与上一点的距离的平方，设上与平行的切线的切点为
由，切点为
所以切点为到的距离的平方为的距离为与的距离的平方的最小值．故选BCD．
18．已知函数的定义域为，则
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．恰有4个极大值点 D．有且仅有4个极值点
【试题来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试
【答案】BD
【解析】因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，
，，

当时，，则在上单调递增．
显然，令，得，
分别作出，在区间上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点．故选BD．
19．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为
A．的单调减区间是
B．的极小值是
C．当时，对任意的且，恒有（a）（a）
D．函数有且只有一个零点
【试题来源】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考
【答案】BCD
【解析】，其导函数为．
令，解得，，当时，即，或时，函数单调递增，当时，即时，函数单调递减；
故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，错误，正确；
令，则故在上，即在上单调递增，根据切割线的定义可知，当时，对任意的，恒有，即，
对任意的，恒有，即，
故正确；故选．
20．定义在的函数，已知是它的极大值点，则以下结论正确的是
A．是的一个极大值点 B．是的一个极小值点
C．是的一个极大值点 D．是的一个极小值点
【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】AD
【解析】是的极大值点，就是存在正数，使得在上，，在上，．，，当时，，，，同理时，，所以是的一个极大值点，从而是的一个极小值点，是的一个极小值点．不能判定是不是的极值点．故选AD．
21．设函数，则下列说法正确的是
A．定义域是 B．时，图象位于轴下方
C．存在单调递增区间 D．有且仅有一个极值点
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B卷试题
【答案】BCD
【分析】求出函数定义域判断A，根据函数值的正负判断B，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D．
【解析】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；
由，当时，，所以，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；
因为，所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；
由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确；
故选BCD．
22．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市吴江区平望中学2020-2021学年高三上学期阶段性测试（一）
【答案】AD
【解析】对于A，的定义域为R，且，是奇函数，关于原点对称，又，则单调递增，故A正确；
对于B，满足，解得，即定义域为，不关于原点对称，故B错误；
对于C，，故是偶函数，不关于原点对称，故C错误；
对于D，定义域为R，且，则是奇函数，关于原点对称，又，可知其单调递增，故D正确．故选AD．
23．已知函数，则
A．的单调递增区间为 B．在上是减函数
C．当时，有最小值 D．在定义域内无极值
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】BC
【分析】先求解出，根据分析出的单调性以及极值，由此可确定各选项是否正确．
【解析】因为，令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，是极小值点，
所以A错误，B正确；当时，根据单调性可知，，故C正确；显然有极小值，故D错误，故选BC．
24．已知函且，，，则
A．为偶函数 B．在单调递增
C． D．
【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一）
【答案】ABC
【解析】对于：因为，所以函数为偶函数，故选项正确；
对于：当时，，，此时单调递增；故选项正确；
对于和：令，则，则在单调递增，在单调递减，因为，所以，由函数的单调性有：
．即，故选项正确，选项不正确
故选．
25．若函数在上单调递减，则称为函数．下列函数中为函数的为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测
【答案】AC
【解析】对于A，，当，为增函数，故为减函数，所以为函数，故A符合；
对于B，，求导，令，得
当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；所以不是函数，故B不符合；
对于C，，求导，所以在上单调递减，所以为函数，故C符合；
对于D，，求导，令，得
当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；所以不是函数，故D不符合；故选AC．
26．关于函数，其中为自然对数的底数，下列说法正确的是
A．当时，在上单调递增
B．当时，在上恒成立
C．对任意，在上一定存在零点
D．存在，有唯一的极小值
【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】CD
【分析】就的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项．
【解析】对于A，当时，，，
当时，，故在上单调递减，故A不正确．
对于B，当时，，此时，
因为，故B错误．
对于C，当时，，，
故在上为单调递增函数，又，，
故在上一定存在零点，故C正确．
对于D，取，则，则，
当时，，当时，，
故有唯一的极小值点，故D正确．故选CD．
27．已知函数有两个互异的极值点，下列说话正确的是
A．
B．有三个零点的充要条件是
C．时，在区间上单调递减
D．时，为极大值，为极小值
【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】ABC
【解析】因为函数，所以，
因为有两个互异的极值点，所以，故A正确；所以若有三个零点则，故B正确；当时，开口向上，则时，，所以区间上单调递减，故C正确；当时，当或时，，当时，，所以为极小值，为极大值，故D错误；故选ABC．
28．定义在上的函数的导函数为，且对恒成立．下列结论正确的是
A．
B．若，，则
C．
D．若，，则
【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考
【答案】CD
【分析】构造函数，然后求导，可得到函数的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误．
【解析】构造函数，则
，
因为对恒成立，
所以在上恒成立，即在上递减，所以，即，整理得，故A错；所以，即，整理得，故C正确；对于B选项，若，，则在恒成立，
所以整理得，所以B错；
对于D选项，当时，，则可得，故D正确．
故选CD．
29．已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数必有2个零点 D．
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】BD
【解析】函数，则，
当时，，故在上为增函数，A错误；
当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；
若，则有两个零点，若，则有一个零点，
若，则没有零点，故C错误；
在上为增函数，则，即，化简得，D正确；故选BD
30．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是
A． B．
C．是R上的增函数 D．，则有
【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考
【答案】AD
【解析】由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确．故选AD．
31．关于函数，下列说法正确的是
A．是的极大值点
B．函数有且只有个零点
C．存在正整数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】BD
【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，
所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以是的极小值点，故A错误；
对于B选项，，所以，
所以 函数在上单调递减，因为，，所以函数有且只有1个零点，故B正确；
对于C选项，若，可得，
令，则，令，
则，所以在上，，函数单调递增，
上，，函数单调递减，所以，
所以，所以在上函数单调递减，函数无最小值，
所以不存在正实数，使得成立，故C错误；
对于D选项，由，可知，
要证，即证，且，
由函数在是单调递增函数，所以有，
由于，所以，即证明，
令，
则，所以在是单调递减函数，
所以，即成立，故成立，所以D正确．综上，故正确的是BD．故选BD
【名师点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法．
32．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是
A．无极小值 B．有极小值
C．无极大值 D．有极大值
【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一）
【答案】AD
【解析】根据材料知，
所以，
令得，当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
所以有极大值且为，无极小值．故选AD．
33．已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】山东省泰安市泰山国际学校2020-2021学年高三10月月考
【答案】BC
【解析】在时，，，设切点的坐标为，，
因此有，所以切线方程为，当该切线过原点时，
，所以切点的坐标为，
因为直线与交于三个不同的点，所以有，
当切线与直线相交时，解方程组：，
因此有，于是有，
所以，显然选项BC符合，故选BC．
34．已知函数，若在和处切线平行，则
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考
【答案】AD
【解析】由题意知，因为在和处切线平行，所以，即，化简得，A正确；由基本不等式及，可得，即，B错误；，C错误；，D正确．故选AD．
35．已知函数，下列说法正确的是
A．，使得是周期函数；
B．，函数在单调递增；
C．当时，在处的切线方程为；
D．当时，在内存在唯一极小值点，且．
【试题来源】福建省三明市泰宁一中学2021届高三上学期第二阶段考试
【答案】BCD
【分析】逐一验证选项，选项A，假设成立，推出矛盾，则不成立；选项B，求导后判断正负，得出结论；选项C，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项D，通过导数求出函数极值并判断极值范围．
【解析】选项A，若是周期函数，周期为，则不，使得成立，故选项A不符合题意；
选项B，，，，，，，，即函数在单调递增，故选项B符合题意；
选项C，当a＝1时，f（x）＝ex+sinx，所以f（0）＝1，故切点为（0，1），f′（x）＝ex+cosx，所以切线斜率K＝f′（0）＝2，故切线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0．故选项C符合题意；选项D，当a＝1时，f（x）＝ex+sinx，x∈（﹣π，+∞），f′（x）＝ex+cosx，f″（x）＝ex﹣sinx＞0恒成立，所以f′（x）在（﹣π，+∞）单调递增，
又f′（﹣）＝e+cos（﹣）＜0 ， f′（﹣）＝，故f（x）在（﹣π，+∞）存在唯一极值点，不妨设∈（﹣，），则f′（）＝0，即，
f（x0）＝e+sinx0＝sinx0﹣cosx0＝sin（x0﹣）∈（﹣1，0），故选项D符合题意；
故选BCD．
36．函数在处的切线方程为，若是函数的两个极值点，且，则的值可能为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】决胜新高考名校交流2020-2021学年高三9月联考卷
【答案】CD
【解析】由已知得，所以，
由已知得，，解得，所以，
，．
若，则，，．
又，所以，，不满足要求，排除A选项；
若，则，，．
又，所以，，不满足要求，排除B选项；
若，则，，．
又，所以，，满足要求，故C选项正确；
若，则，，．
又，所以，，满足要求，故D选项正确．
故选CD．
37．已知函数，则函数的零点个数可能为
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】河北省邯郸市永年县第二中学2021届高三上学期月考（一）
【答案】BCD
【解析】由可得，
则函数的零点即是函数与直线图象交点的横坐标，
画出的大致图象如下，
由得，所以曲线在点处的切线斜率为，
此时的切线方程为，即，恰好过点，
又直线也过点，所以由图象可得，当时，直线与函数的图象有两个交点；即函数有两个零点；当时，直线只与函数在的图象有一个交点，即函数有一个零点；当时，直线与函数有三个不同的交点，即函数有三个零点；
综上，函数的零点个数可能为，，．故选BCD．

38．在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图象在点处的切线经过点，在点处的切线经过点．若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是
A．曲线在点处的切线方程为
B．
C．曲线关于点对称
D．当时，
【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试
【答案】ABC
【分析】A．根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B．根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C．由B得到判断；D． 由B结合，有，判断．
【解析】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确．
因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确．
由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确．
当时，有，，所以，故D不正确．故答案为ABC．
39．已知函数，下列说法正确的是
A．在处的切线方程为 B．单调递增区间为
C．的极大值为 D．方程有两个不同的解
【试题来源】江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高三上学期9月月考
【答案】AC
【解析】（），因为，， 所以在处的切线方程为，故A正确；
令，即，解之得，因为，
所以的单调递增区间为，故B错误；
再令，即，解之得， 所以的单调递减区间为，所以在处取得极大值，极大值为，故C正确；
方程即，也即，函数与函数的图象只有一个交点，所以方程有一个解，故D错误．故选AC．
【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数与方程的关系，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
40．已知函数，则下列说法正确的有
A．函数的图象在点处的切线方程是
B．函数有两个零点
C．
D．函数有极大值，且极大值点
【试题来源】广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】AD
【解析】由，得，则，
所以函数的图象在点处的切线方程是，
即函数的图象在点处的切线方程是，故A正确；
令，，则在上是单调递减的，
又，所以存在，使得，
即，则在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极大值，且极大值点，故D正确；
由在上单调递减，所以，故C错误；
所以当时，单调递增，又，利用零点存在性定理可知在有一个零点，当时，，则在上无零点，即只有一个零点，故B错误．故选AD．
41．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是

A．函数图象的对称轴方程为
B．函数的最大值为
C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行
D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测
【答案】ABD
【解析】根据函数的图象知，
，，，，
根据五点法画图知，当时，，，
，，

；
令，，解得，，
函数的对称轴方程为，，A正确；
当，时，函数取得最大值，B正确；
，假设函数的图象上存在点，
使得在P点处的切线与直线l：平行，则，
解得，显然不成立，所以假设错误，即C错误；
方程，则，
，，或，，
方程的两个不同的解分别为，，
则，其最小值为，故D正确．故选ABD．
42．已知函数，，则下列说法正确的有
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间上，有且只有一个极值点
D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条
【试题来源】重庆市南开中学2021届高三上学期第二次质量检测
【答案】ACD
【解析】对于A，因为函数的定义域为，显然，所以函数是偶函数，正确；对于B，若存在非零常数，使得，令，则，即，令，则，因为，所以，即或．若，则，解得，舍去；若，则，解得，所以若存在非零常数，使得，则．
即，令，则，而，，不符合题意．故不存在非零常数，使得，B错误；
对于C ，，，，，
当，，故单减，
又，，故在上有且仅有一个解，有且只有一个极值点，故C正确；
对于D，设切点横坐标为，则切线方程为，
将 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，则切线方程为；若，则，D正确．故选ACD．
43．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是
A．的单调减区间是
B．的极小值是﹣6
C．过点只能作一条直线与的图象相切
D．有且只有一个零点
【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．
【解析】因为，令，得或，则在，上单调递增；令，得，则在上单调递减．
所以极小值为，极大值为，而，
故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；
设过点的直线与的图象相切，切点为，
因为，，
所以切线方程为．
将代入，得．令，则，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
因为，，，
所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．故选BCD．
【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
44．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值可以是
A．0 B．
C． D．
【试题来源】湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021学年高三上学期期中
【答案】CD
【解析】，，
由已知得，过点作曲线的三条切线，情况如下：
①点在曲线上，故此时，切点为，把点代入函数可得，，利用切线公式得，，所以，此时，切线为轴，但此时，切线只有一条，不符题意；
②点不在曲线上，故此时，设切点为，故切线经过
切线方程为，所以，
，因为切点在曲线上，所以，，
因为切线的斜率为联立方程得，
，化简得，，
令，即有三个解，即与有三个交点，
令，可得两极值点为，；
对于，在和时，单调递增，在时单调递减，
所以，当时，因为，，所以，当时，满足与有三个交点，而，故选CD．
【名师点睛】本题考查切线方程的应用，关键点在于区分在点和过点两种情况，难点在于利用数形结合考虑的取值范围．
45．已知函数有两个零点、，且，则下列结论不正确的是
A． B．的值随的增大而减小
C． D．
【试题来源】江苏省镇江市四校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】ABD
【解析】令，可得，构造函数，定义域为，．当时， ，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
所以，，如下图所示：

由图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，A选项正确；当时，，由图象可得，，C选项错误，D选项正确；
任取、，且，
设，其中；设，其中．
由于函数在区间上单调递增，且，；
函数在区间上单调递减，且，．
由不等式的基本性质可得，则．
所以，的值随的增大而减小，B选项正确．故选ABD．
【名师点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定有两个实根时实数应满足的条件，并注意的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．
46．函数、，下列命题中正确的是．
A．不等式的解集为
B．函数在上单调递增，在上单调递减
C．若函数有两个极值点，则
D．若时，总有恒成立，则
【试题来源】山东省潍坊市第一中学2020-2021学年高三开学质量检查
【答案】AD
【解析】对A，因为，，
令，得，故在该区间上单调递增；
令，得，故在该区间上单调递减．
又当时，，，故的图象如下所示：

数形结合可知，的解集为，故正确；
对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
对C，若函数有两个极值点，即有两个极值点，又，要满足题意，则需有两根，
也即有两根，也即直线的图象有两个交点．
数形结合则，解得．故要满足题意，则，故错误；
对D，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数，，对任意的恒成立，
故单调递增，则 恒成立，
也即，在区间恒成立，则，故正确．故选AD．
47．设的最大值为，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【试题来源】2020届浙江省金华十校高三上学期期末
【答案】AB
【解析】对于选项A，当时，在区间上递减，
所以，故选项A正确．
对于选项B，当时，，则，
在区间上递增，即，故选项B正确．
对于选项C，当时，当时，恒成立，
所以，所以，故选项C错误．
对于选项D，当时，，则，
在区间上递增，，故选项D错误．故选AB．
48．已知．
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线 D．若，则
【试题来源】河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底
【答案】BC
【分析】首先根据得到，分别画出和的图象，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案．
【解析】，令，得到．
分别画出和的图象，如图所示：

由图知有三个解，即有三个解，分别为，，．
所以，，为增函数，
，，为减函数，
，，为增函数，
，，为减函数．
所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，
当时，取得极大值为，所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确．
因为在为增函数，为减函数，所以存在，满足，且，显然，故D错误．故选BC．
49．已知函数，若，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．当时，
【试题来源】江苏省南通市四校（四星级学校）2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】AD
【解析】设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；当时，，故，函数单调递增，
故，
即，又，所以，，所以，故 D正确．故选AD．
50．关于函数，，下列结论正确的有
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】ABD
【解析】对于A：当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜，故直线方程为，
即切线方程为，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，恒成立，
所以单调递增，又，，
所以存在，使得，即，则在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以存在惟一极小值点，故选项B正确；
对于 C、D：，，令得，
则令，，，令，
得，，，由函数图象性质知
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当，，时，取得极小值，
即当时，取得极小值，
又 ，即，
因为在，单调递减，所以，
所以，，时，取得极大值，
即当 时，取得极大值．
又，即，
当时，，
所以当，即时，在上无零点，所以选项C不正确；
当时，即时，与的图象只有一个交点，
即存在，在有且只有一个零点，故选项D正确．故选ABD
51．对于函数，下列说法正确的是
A．在处取得极大值
B．有两个不同的零点
C．
D．若在上恒成立，则
【试题来源】湖南省邵阳市邵东创新实验学校2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】ACD
【解析】由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确．故选ACD．
52．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），则下列结论正确的是
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C．和间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”
【试题来源】福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
【答案】AD
【解析】对于选项A：，，
当时，，
所以函数在内单调递增；故选项A正确
对于选项BC：设、的隔离直线为，则对一切实数x都成立，即有，即，又对一切都成立，则，即 ，，，，即有且，，
可得，同理可得，故选项B不正确，故选项C不正确；
对于选项D：函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线的方程为，即，由，可得
对于恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，
令，
，当时，，当时，，当时，，则当时，取到极小值，极小值是，也是最小值．所以
，则当时恒成立．所以和之间存在唯一的“隔离直线”，故选项D正确．故选AD
53．已知，，记，则
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时
【试题来源】江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期9月阶段性测试
【答案】AB
【解析】由和，则的最小值，可转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方，又由，可得，
因为与直线平行的直线的斜率为，
所以，解得，则切点的坐标为，
所以到直线上的距离，
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，所以的最小值为，
又过且与直线垂直的直线为，
即，联立方程组，解得，
即当最小时，．故选AB．
54．若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列结论正确的是
A．直线在点处“切过”曲线
B．直线在点处“切过曲线
C．直线在点处“切过”曲线
D．直线在点处“切过”曲线
【试题来源】百万联考2021届高三9月联考
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得，则从而可得曲线在点处的切线为． 当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故A正确．
对于B，由，得，则，从而可得曲线在点处的切线为．
因为，
故当时，，当时，，
则曲线在点附近位于直线的两侧，故B正确．
对于C，由，得，则，从而可得曲线在点的切线为．因为，所以，则曲线在点附近位于直线的同侧，故C错误．
对于D，由得，则，从而可得曲线在点处的切线为．
令，则且，
，故且，
当时，；当时，，
故在为增函数，在上为减函数，
故在上，，在上，
故当且仅当时等号成立，
故当时，，当时，，
故当时，，
当，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故D正确．故选ABD．