专题19 空间向量与立体几何（填空题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题19 空间向量与立体几何（填空题）
一、单空题
1．在空间直角坐标系中，点到原点的距离是________．
【试题来源】新疆喀什巴楚县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】点到原点的距离是，
故答案为
2．已知空间向量，，则与的夹角为________．
【试题来源】上海市建平中学2020届高三下学期7月摸底
【答案】
【解析】由已知条件可得，，因此，与的夹角为．
故答案为．
3．已知空间中的点，，若，，则________．
【试题来源】人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试
【答案】或．
【解析】因为，，，
，所以存在，使得，
所以，解得，
所以或．故答案为或．
4．已知，在y轴上求一点B，使，则点B的坐标为________．
【试题来源】安徽省安庆市宜秀区白泽湖中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】或
【解析】由于点B在y轴上，所以设点B的坐标，
因为，所以，解得或，
所以点B的坐标为或，故答案为或，
5．是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________．

【试题来源】四川省江油中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（5月）（理）
【答案】
【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
设平面的法向量是，，
所以由，可得，取得，
，所以到平面的距离．故答案为．

6．，两点间的距离是________．
【试题来源】四川省成都市青白江区南开为明学校2020-2021学年高二九月月考
【答案】
【解析】由题意得：两点间的距离为．
7．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则________．
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】1
【解析】因为向量，，共面，所以存在实数，，使得，
则，
则，解得．故答案为1
8．若，，则________．
【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】
【解析】因为，所以．
9．在空间直角坐标系中，已知点，，点在轴上，且点到点与其到点的距离相等，则点的坐标是________．
【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【分析】设，利用距离公式可得关于的方程，解方程后可得的坐标．
【解析】设．由，得
，解得．
所以 ．
10．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________．
【试题来源】江苏省扬州市扬大附中东部分校2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

因为在长方体中，，
，，
设异面直线与所成角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．故答案为．
11．在正方体中，是线段上的一点，且，若为锐角，则的取值范围是________．
【试题来源】陕西省商洛市2019-2020学年高二上学期期末（理）
【答案】
【解析】如下图，建立空间坐标系，

设正方体的边长为，设，则，
由，得，，
则，为锐角，，
，则或，
又，故．故答案为．
12．如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为________．

【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（二）
【答案】
【解析】设底面边长为1，则测棱长为2，如下图建立空间直角坐标系，

、 、 、
所以
所以．
13．设平面与向量垂直，平面与向量垂直，则平面与位置关系是________．
【试题来源】人教A版（2019） 选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 单元测试
【答案】平行
【解析】因为，所以．因为平面与向量垂直，
所以平面与向量也垂直．而平面与向量垂直，所以可得．
故答案为平行．
14．四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是________．

【试题来源】江苏省扬州市宝应县2020-2021学年高三上学期初调研测试
【答案】
【解析】以A为坐标原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，

因此异面直线BE与AC所成角的余弦值是．

15．与向量同向的单位向量________．
【试题来源】河北省廊坊高二上学期期末考试数学（理）
【答案】
【解析】与向量同向的单位向量.
16．在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是________．

【试题来源】安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）
【答案】
【解析】以D为原点，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，则，
．
又因为异面直线所成的角的范围是，所以直线与所成角的余弦值是．

17．在正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．
【试题来源】四川省江油中学2019-2020学年高二6月月考（理）
【答案】
【解析】以点为原点，分别以直线，，为，，轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：
， ， ， ，
，，
异面直线与所成角的余弦值为．
【名师点睛】本题考查了通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法，向量夹角的余弦公式，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．如图，在长方体中，，，，分别是面、面的中心，则、两点间的距离为________．

【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】
【分析】以为坐标原点，分别以，，所在方向为、、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别列出E与F的空间坐标，然后，利用两点间距离公式即可求解
【解析】以为坐标原点，分别以，，所在方向为、、轴的正半轴，

建立空间直角坐标系，由条件知，．所以，
所以、两点间的距离为．
19．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量________．

【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】（答案不唯一）
【分析】易知，，从而可得，结合，，从而解得
【解析】是正方形，且，，，
，，，，
，，，故，
故，因为向量是平面OCB1的法向量，
，，故，，取，故，
平面的法向量,故答案为（答案不唯一）
20．若向量，，，则________．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据坐标运算先求解出，再利用坐标形式下空间向量的数量积计算公式求解出的值．
【解析】因为，所以，
【名师点睛】本题考查空间向量的数量积计算，主要考查学生对空间向量的数量积计算公式的运用，难度较易．已知，则．
21．已知平面和平面的法向量分别为，，且，则________．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据平面垂直对应的法向量也垂直，从而法向量的数量积为，由此求解出的值．
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，故答案为．
【名师点睛】本题考查根据向量垂直求解参数值，难度较易．平面互相垂直，则两个平面的法向量也互相垂直；若平面互相平行，则两个平面的法向量共线．
22．棱长为1的正方体中，是的中点，则的长为________．

【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】建立空间直角坐标系如图所示：
所以，所以，
故答案为．

【名师点睛】本题考查空间中距离公式的运用，难度较易．已知，则．
23．已知向量，则向量夹角的余弦值为________．
【试题来源】江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020学年高二上学期11月检测
【答案】
【分析】根据计算可得；
【解析】因为
所以，，
所以,故答案为
24．已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为，，则正方体的体积为________．
【试题来源】广西兴安县第三中学2019-2020学年高一下学期开学适应性检测
【答案】
【解析】因为正方体中不在同一表面上两顶点，，所以是正方体的体对角线，，所以正方体的棱长为，正方体的体积为．
25．已知向量且与互相垂直，则k的值是________．
【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【解析】由向量，则，，
因为与互相垂直，所以，即，
解得．故答案为
26．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为________．

【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【解析】
所以，所以．
27．空间中点关于轴的对称点，点，则，连线的长度为________．
【试题来源】山西省大学附属中学校2019-2020学年高二上学期期中（文）
【答案】
【解析】由题意可得，则．
28．正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为________．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】利用向量的方法，以为基底表示，，并计算，然后根据空间向量的夹角公式计算即可．
【解析】如图，，
，
由侧棱和底面垂直，所以,且，
所以
,，
,
所以，且，
所以，所以异面直线与成角的大小为．

29．若向量，且夹角的余弦值为________．
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】，
．
30．若，且，则实数_________．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【分析】利用已知条件求出，然后，求出即可．
【解析】，，
，，
即，解得．
31．已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则的值为________．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】如图，四面体是正四面体，
四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为，
又点E、F分别是BC，AD的中点，，
．

【名师点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题．
32．在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为________．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可．
【解析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，设面的一个法向量为，
则，当，面的一个法向量为，
则到平面的距离．

33．如图，在三棱柱中，，，，，，点，分别在棱和棱上，且，，则二面角的正切值________．

【试题来源】吉林省白城市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试（理）
【答案】
【解析】因为，，，且平面，
所以平面，所以向量为平面的一个法向量；分别以，为轴，轴，以垂直于平面过点的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，所以，，，
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则 ，即，解得，
令，则，所以，
由图像可得，二面角为锐角，记为，
所以，因此，
所以．

34．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是________．

【试题来源】2020届山西省太原市高三一模（理）
【答案】
【分析】将问题转化为异面直线与之间距离的求解问题，以为原点建立空间直角坐标系，根据异面直线间距离的空间向量求法可求得结果．
【解析】是异面直线，上两点，的最小值即两条异面直线间距离．
平面平面，，平面平面，
平面，又，则以为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设异面直线，的公垂向量，
则，令，则，，，
，即的最小值为．

【名师点睛】本题考查空间向量法求解异面直线间距离的问题，关键是能够将两异面直线上点的连线的最小值问题转化为异面直线间距离的求解问题．
35．在正方体中，分别为棱、的中点，为棱（含端点）上的任一点，则直线与平面所成角的正弦值的最小值为________．
【试题来源】湖北省四校（曾都一中，枣阳一中，襄州一中，宜城一中）2019-2020学年高二上学期期中
【答案】
【解析】如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，，
则，0，，，，，，0，，，2，，
设平面的法向量为，，，，
由，，得，令，，故，0，，
由，设直线与平面所成角为，
，因为，，所以当时，
的最小值为，故答案为．

36．如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为________．

【试题来源】上海市建平中学2019届高三下学期2月月考
【答案】
【解析】根据题意：为轴，则圆锥底面在平面上，点在圆锥的母线上，圆锥底面圆半径为2，故点是底面圆周与轴负半轴的交点，又点在圆锥的母线上，所以这条母线在平面内，必过和两点，其与轴交于点；即圆锥的高为4，由圆锥的体积公式可得体积为．
37．a，b为空间两条互相垂直的直线，直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴旋转，，有下列结论：
①当直线与a成60°角时，与b成30°角；
②当直线与a成60°角时，与b成45°角；
⑤直线与a所成角的最大值为60°；
④直线与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是________．（填写所有正确结论的编号）
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二下学期期中
【答案】②④
【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，
不妨设图中所示的长方体高为1，底面边长为，故|AC|＝1，|AB|=2，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，

直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cos，sin，0），
其中为B′C与CD的夹角，，
所以AB′在运动过程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=2，
设与所成夹角为α∈[0，]，
则|sin|∈[0，]，
所以∈[，]，所以③错误，④正确．
设与所成夹角为∈[0，]，
|cos|，
当与夹角为60°时，即α，|sin|，
因为cos2θ+sin2θ＝1，所以cos|cosθ|，
因为β∈[0，]，所以，此时与的夹角为45°，
所以②正确，①错误．故答案为②④．
38．在边长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为________．
【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：，

设，，则，
，
据此可得：，由空间中两点之间距离公式可得：

当时，，当时，，
结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为．
【名师点睛】1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
2．两种思路：（1）选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．（2）建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．
39．在空间直角坐标系中，正四面体的顶点，分别在轴，轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则的取值范围是________．
【试题来源】2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟（理）
【答案】
【分析】在变化过程中，原点到中点距离不变，始终为1，因此固定正四面体位置，则则原点在以为直径的球上运动，为定值，这样利用类比圆的性质有的最大值为加上球半径，最小值为减去球半径，从而得出结论．
【解析】如图所示，若固定正四面体位置，设为的中点，

因为，则原点在以为直径的球上运动，，
则的最大值为加上球半径，最小值为减去球半径，
所以，故答案为．
【名师点睛】本题考查空间直角坐标系，考查球的性质，本题解题方法中对“定”和“动”的转化值得借鉴．本题让空间直角坐标系动起来，反而容易得出距离的最值．
40．如图，长方体中，、与底面所成的角分别为和，，点为线段上一点，则最小值为________．

【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】
【解析】如图：因为平面，所以，，

设，则，，，，
因为，所以，所以，即，解得，
所以，，，
所以，
当时，取最小值，最小值为，
所以的最小值为，即的最小值为．
41．如图，在正三棱柱中， 分别是 的中点．设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为________．

【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】
【解析】以E为原点，EA，EC为x，y轴建立空间直角坐标系，如下图．


，
解得t=1，所以，填．
【名师点睛】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
42．已知B与点关于点对称，则点B的坐标是________．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】
【解析】设B，则，所以，所以的坐标为．
43．在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则=________．（用，，表示）

【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】因为在四面体中，，为的中点，为的中点
所以
44．如图所示，已知平行六面体中，，，．为的中点，则长度为_________．

【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】
【解析】因为，所以

，
所以．
45．点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是________．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】如下图所示：

正四面体的棱长为，其内切球球心为点，连接并延长交底面于点，
则为正的中心，且平面，
连接并延长交于点，则为的中点，且，
，，
平面，平面，，则，
的面积为，
正四面体的体积为，设球的半径为，
则，
，，
，，
，
当点位于正四面体的顶点时，取最大值，
因此，．
二、双空题
46．空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是________，________．
【试题来源】浙江省“9 1”高中联盟2019-2020学年高二上学期期中联考
【答案】
【分析】依据题意对称性以及空间两点之间的距离可得结果．
【解析】①空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标横坐标不变，
纵坐标和竖坐标分别与的纵坐标和竖坐标互为相反数即；
②利用空间直角坐标系中两点距离公式即可求得．
故答案为①；②
47．已知向量，，，若，则________，若共面，则_________．
【试题来源】浙江省衢州四校2019-2020学年高二上学期期中
【答案】
【解析】因为，所以，即，解得，
因为，，所以不共线，
因为共面，所以存在一对实数，使，
所以
所以，解得，故答案为；
48．已知向量，，若，则________；若，则________．
【试题来源】人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试
【答案】
【分析】由向量垂直和平行直接列方程，可求得结果
【解析】若，则，；
若，则，．故答案为；
49．如图，在菱形中，，分别是的中点，若线段有一点满足，则________，________．

【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】设，在菱形中，分别是的中点，所以
，
又，所以，解得，所以，
所以，
因为在菱形中，，
所以．故答案为；．
50．在空间直角坐标系中，点到原点的距离是________，到轴的距离是________．
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据空间中两点的距离公式和点到z轴的距离公式计算即可．
【解析】点到原点的距离是，
点到轴的距离是．故答案为，．
51．已知，，则线段的中点坐标为________；________．
【试题来源】人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试
【答案】
【解析】设线段的中点坐标为，由中点坐标公式可得，
即线段的中点坐标为，所以．
故答案为，
【名师点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用以及空间向量模的坐标表示，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．
52．已知，，三点在同一直线上，则________，________．
【试题来源】人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试
【答案】2 4
【分析】首先根据三点共线，得到向量共线，利用向量共线坐标之间的关系，求得结果．
【解析】因为，，三点共线，所以．
又，，所以，解得，．
故答案为①2；②4．
53．已知空间向量，若，则实数________，________．
【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题
【答案】
【解析】设，则即，解得
故答案为；
54．如图在三棱锥中，，且，分别是和的中点．则异面直线与所成的角的余弦值为________，直线与面所成角大小为________．

【试题来源】人教B版（2019） 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 本章达标检测
【答案】
【解析】因为，所以以S为坐标原点，SA，SB，SC为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，
则
因为，
所以异面直线与所成的角的余弦值为，面一个法向量为
则由得
即直线与面所成角大小为．
【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
55．正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为_________，和该截面所成角的正弦值为________．
【试题来源】福建省福州第一中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】
【解析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，因为，，，，
所以平面平面，所以过且与平行的平面截正方体所得截面为，因为，，四边形是矩形，
所以过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，则，

取，得，设和该截面所成角为，
则，所以和该截面所成角的正弦值为．
故答案为；．
56．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是上底面A1B1C1D1内相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E．则PQ与BD的位置关系是________；|A1P|的最小值为________．
【试题来源】山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】平行
【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则，

因为P，Q是上底面A1B1C1D1内相异两点，设，
则，
因为BP⊥A1E，BQ⊥A1E，所以，即，
解得， 所以，则PQ与BD的位置关系是平行，
因为 ，所以，
，
当时，即，|A1P|取得最小值，最小值为．
故答案为（1）平行；（2）．
57．正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为________；与对角面所成角的正弦值是________．
【试题来源】山东省枣庄市第八中学（东校区）2020-2021学年高二9月月考
【答案】
【分析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，计算，，对角面的一个法向量为，计算得到答案．
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则，，，，故，．
故，故与直线所成角的大小为．
易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为，
故．故答案为；．

58．在长方体ABCD-A’B’C’D’中，AB＝AA’＝2AD＝2，以D为原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则________，若点P为线段AB的中点，则P到平面A’BC’距离为________．
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】： ； ： ．
【解析】如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，，，，所以；
，，，

设平面的法向量为，，得即，
令，则，，
则P到平面距离为，
故答案为①；②．
59．如图，在正四棱中，底面边长为2，=4，直线与所成角的余弦值为________，直线与平面所成角的正弦值为________．

【试题来源】福建省泰宁第一中学2020-2021学年高二上学期学分认定暨第一次阶段考试
【答案】
【解析】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，

则，，，，，
所以，，所以，，，所以
所以直线与所成角的余弦值为；
则，，，
设平面的法向量为，则，
，令可得，故．
直线与平面所成角的正弦值为，故答案为；
60．在直四棱柱中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且，点在边上，且满足，动点在该四棱柱的表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹围成的图形的面积为________；当与平面所成角最大时，异面直线与所成角的余弦值为________．
【试题来源】2020年普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考（理）
【答案】
【分析】首先可证，在上取，使得，连接，则，可得．记与的交点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，在上取一点，由，求出点的位置，从而得到动点轨迹，即可求出动点的轨迹围成的图形的面积，显然当与重合时，与平面所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值；
【解析】如图，在直四棱柱中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，
所以平面，所以．
在上取，使得，连接，则，所以．
记与的交点为，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．
在上取一点，记为，于是，．
由，得，即，
所以的边为点的运动轨迹．
由题意得，，
动点的轨迹围成的图形的面积为．
显然当与重合时，与平面所成角最大．
因为，，所以，
，
因为直线的一个方向向量为，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为；．