专题20 空间向量与立体几何（解答题）（11月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题20  空间向量与立体几何（解答题）

1．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为2，，3，，1，，求证：是直角三角形．

2．已知，，，．

（1）求实数的值；

（2）若，求实数的值．

3．已知三点

（1）求以为邻边的平行四边形面积

（2）求平面一个法向量

（3）若向量分别与，垂直，且求的坐标．

4．如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设．

（1）试用表示；

（2）已知为对角线的中点，求的长．

5．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，边的中点，是正方形的中心，求，的长．

6．已知，．

（1）若，求实数的值．

（2）若，求实数的值．

7．如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．

（1）求平面与平面夹角的余弦值；

（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离．

8．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

9．如图，已知、分别为四面体的面与面的重心，且为上一点，且，设，，，试用，，表示，．

10．已知空间三点，，．

（1）求的值；

（2）若，求的值

11．如图1，在中，，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．

（1）求证：平面平面；

（2）设E为的中点，，求二面角的余弦值．

12．如图，三棱柱中，底面，是的中点，，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

13．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．

（1）确定E的位置，使平面；

（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．

14．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

15．已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

16．如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．

（1）求证：．

（2）求二面角的余弦值．

17．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且．

（1）求与平面所成的角；

（2）求二面角的正弦值．

18．如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．

19．如图，在平行六面体中，，，

（1）求的长；

（2）求证：直线平面．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且，设平面与平面的交线为．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．

21．如图四边形PABC中，，，，现把沿折起，使与平面成60°，设此时在平面上的投影为点(与在的同侧)，

（1）求证：平面；

（2）求二面角大小的正切值．

22．如图（1）所示，在中，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）所示．

（1）求证：平面；

（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；

（3）线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．

23．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且．

（1）求证： 平面；       

（2）求直线到平面的距离．

24．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．

（1）求证：；

（2）求与平面所成角的正弦值．

25．已知空间三点．

（1）若点在直线上，且，求点的坐标；

（2）求以为邻边的平行四边形的面积．

26．如图所示，在多面体中，四边形为正方形，平面平面∥．

（1）若，证明：平面平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的长．

27．如图，四边形与均为菱形，，，且．

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值．

28．如图，四棱锥中，面面，，，，，．

（1）证明：；

（2）求与面所成角的正弦值．

29．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，．

（1）证明：；

（2）若为的中点，求二面角的余弦值．

30．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面BEF平面PAC；

（2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

31．如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，．

（1）若为的中点，求点到平面的距离；

（2）设平面与平面所以的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．

32．如图所示，在正方体中，为对角线的中点，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若平面平面，求证：．

33．在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

34．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面平面ABCD，．

（1）求证：；

（2）若直线PA与BC所成角为，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

35．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．

36．如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，．证明：四边形EFGH是梯形．

37．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

38．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且．

（1）设，，，试用、、表示；

（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长．

39．如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，．

（1）试用，，表示向量，；

（2）若，求直线与所成的角．

40．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（1）证明

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．

41．已知在平行六面体中，，，，且．

（1）求的长；

（2）求与夹角的余弦值．

42．已知向量，．

（1）若，求实数；

（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围．

43．如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面，点在侧棱上．

（1）当为侧棱的中点时，求证：平面；

（2）若二面角的大小为60°，求的值．

44．如图，在中，，，，沿BD将翻折到的位置，使平面平面．

（1）求证：平面；

（2）若在线段上有一点M满足，且二面角的大小为，求的值．