专题21 导数及其应用（单选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题21 导数及其应用（单选题）
1．已知函数在处的导数为1，则
A．0 B．
C．1 D．2
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测
【答案】B
【解析】因为函数在处的导数为1，
则．故选B．
2．若函数，则的值为
A．0 B．
C． D．
【试题来源】蓉城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考（理）
【答案】B
【解析】因为，所以令，则，
所以，则，故选B．
3．曲线 在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】B
【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可
【解析】由，，所以过点切线方程为，故选B．
【名师点睛】本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程．
4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为，设其在时间段内的平均速度为，在时的瞬时速度为，
A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） （文）全国卷II试题
【答案】B
【解析】由题意，该质点在时间段内的平均速度
，因为，所以，
即该质点在时的瞬时速度为，所以，故选B．
5．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为
A． B．6
C．12 D．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】A
【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得的值．
【解析】由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得．故选A．
6．曲线在点处切线的斜率为
A．1 B．2
C．3 D．4
【试题来源】广东省东莞市2017-2018学年高二（下）期末（理）
【答案】C
【解析】的导数为，
可得曲线在点处切线的斜率为．故选C．
7．已知函数，则其单调增区间是
A． B．
C． D．
【试题来源】江西省赣县第三中学2021届高三上学期期中适应性考试（文）
【答案】A
【解析】由，函数定义域为，求导，
令，得或（舍去），所以单调增区间是，故选A．
8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为
A．1 B．2
C．0 D．－1
【试题来源】【全国百强校】四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期月考
【答案】C
【解析】依题意，令得，解得，故选C．
9．已知函数的导函数为，若，则
A．4 B．2
C．1 D．
【试题来源】重庆市2019-2020学年高二下学期期末联合检测
【答案】B
【解析】由题意知．因为，所以，解得．
故选B．
10．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏银川一中2021届高三第三次月考（文）
【答案】C
【解析】由题意可得在上恒成立，整理可得，
函数在上递减，所以，所以，故选C．
【名师点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题．
11．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第二次双基检测（文）
【答案】B
【分析】设切点坐标为，利用导数求出切线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，进而可求得直线的斜率．
【解析】设切点坐标为，，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，直线的斜率为．
故选B．
12．曲线在点处的切线方程是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】D
【解析】曲线为，所以；当时，，
曲线在点处的切线方程为，即，故选D．
13．函数区间上的平均变化率为
A．2 B．4
C．c D．2c
【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】B
【解析】，故选B
【名师点睛】求平均变化率的方法：利用公式．
14．已知函数在处的切线与直线垂直，则实数等于
A．2 B．1
C． D．
【试题来源】内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考（文）
【答案】B
【解析】函数的导数为，由曲线在处的切线与直线垂直，可得，解得．故选B．
15．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古通辽市奈曼旗实验中学2019-2020学年高二下学期期末
【答案】A
【解析】由题意，函数，可得，则，即切线的斜率为，所以切线方程为，即．故选A．
16．已知函数，若曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x-y+1＝0平行，则a＝
A． B．
C．1 D．2
【试题来源】湖南省长沙市长郡、雅礼、一中、附中2020-2021学年高三上学期11月联合编审名校卷
【答案】A
【解析】函数的导数为，
可得曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为，
由切线与直线2x-y+1＝0平行，可得1-2a＝2，解得．故选A．
17．函数在处的瞬时变化率为
A．2 B．
C． D．1
【试题来源】北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末试题
【答案】B
【解析】，，
所以函数在处的瞬时变化率为，故选B．
18．曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末试题
【答案】A
【解析】，，当时，，故切线斜率为，
切线方程为，即．故选A．
19．函数在区间上是
A．增函数 B．减函数
C．在上增，在上减 D．在上减，在上增
【试题来源】新疆和田地区第二中学2020届高三（重点普通班）12月月考（文）
【答案】A
【解析】，在上递增，故选A．
20．将曲线绕着点逆时针方向旋转后与轴相切，则的最小正值是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文）
【答案】B
【分析】首先根据导数的几何意义，求出过点与曲线相切的切线的切点，并求直线的斜率和倾斜角，再根据题意得出的最小正值．
【解析】由题意得，设过点的直线与曲线相切于点，则，解得，所以直线的斜率，故的最小正值是．故选B．
21．若函数满足，则的值为．
A．1 B．2
C．0 D．
【试题来源】安徽省六安市城南中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】C
【分析】求导得到，取带入计算得到答案．
【解析】，则，
则，故．故选C．
22．已知函数，则的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末试题
【答案】B
【解析】因为
所以，
所以，故选B．
23．若函数的导数满足，则
A．e B．2
C．1 D．0
【试题来源】江西省赣州市2019-2020学年高二下学期期末（理）
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，可得，解得，
因此，，故选D．
24．设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】A
【解析】由函数得
设，则曲线在点P处的切线的斜率
又点P处的切线倾斜角为α，则．
又，所以，故选A．
25．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】D
【分析】利用导数求瞬时速度即可
【解析】因为，
所以，故选D．
26．曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2019-2020学年度高二下学期期末质量检测
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
所以曲线上任意一点P处的切线斜率的取值范围是．故选B．
27．若函数在上是减函数，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（文）
【答案】A
【解析】因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
因为，所以，故选A．
28．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为

A． B．
C． D．
【试题来源】吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考（文）
【答案】C
【分析】根据原函数图象，由导函数与原函数图象之间关系，逐项判断，即可得出结果．
【解析】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故选C．
29．已知函数，，设，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（文）
【答案】D
【分析】根据导数求得函数在上单调递增，结合函数的单调性，即可求解．
【解析】由题意，函数，可得，所以在上单调递增，又由，可得，
所以．故选D．
30．设，则
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏海原县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）
【答案】A
【解析】，故选A．
31．若函数无极值点则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】贵州省遵义市2021届高三上学期第一次联考（理）
【答案】B
【解析】，，
由函数无极值点知，至多1个实数根，
，解得，实数a的取值范围是，故选B．
32．函数，，，对任意的，都有成立，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（文）
【答案】D
【解析】设，则，所以在上为增函数，
，而，即，所以．故选D．
33．若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测
【答案】B
【解析】设函数，则，
因为，可得，所以，函数单调递减，
因为为偶函数，可得函数关于对称，
又由，所以，所以，
不等式，可得化为，即，所以，
即不等式的解集为．故选B．
【名师点睛】本题主要考查了导数的四则运算公式，利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调求解不等式，其中解答中结合题意，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，结合单调性求解是解答的关键，着重考查构造思想，以及推理与运算能力．
34．是定义在上的非负､可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期期中联考
【答案】A
【分析】构造新函数求导利用新函数的单调性得解．
【解析】设则因为；所以时，则函数在上是减函数或常函数；所以对任意正数a，b，若，则必有是定义在上的非负､可导函数，，两式相乘得，故选A．
35．设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（文）
【答案】C
【解析】设，所以，
因为，所以，
所以在上单调递减，且，
因为等价于，所以解集为，故选C．
【名师点睛】本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条件构造出合适的抽象函数，难度较难．常见的构造方法：（1）若出现形式，可考虑构造；（2）若出现，可考虑构造；（3）若出现，可考虑构造；（4）若出现，可考虑构造．
36．已知曲线在处的切线方程为，则函数图象的对称轴方程为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考（理）
【答案】A
【解析】因为，曲线在处的切线方程为，所以，结合可得，所以，解得，所以图象的对称轴方程为，故选A．
37．若双曲线的一条渐近线与函数的图象相切，则该双曲线离心率为
A． B．
C．2 D．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】A
【分析】易得切点为原点，再根据导数的几何意义求函数在的切线斜率，继而得出的关系求解离心率即可．
【解析】由题可知，切点为原点．又的导函数，故．故．故选A．
38．设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝
A．0 B．1
C．2 D．3
【试题来源】甘肃省兰州一中2019-2020学年高二（下）期中（理）
【答案】D
【解析】，，当x＝0时，y′＝a－1．
故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，
即，从而a－1＝2，即a＝3．本题选择D选项．
39．函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考2020-2021学年高三10月质量检测（文）
【答案】B
【解析】由题意得，所以切线斜率，
所以．故选B．
40．下列求导运算不正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】B
【解析】A． 由导数公式得，故正确；B． 由导数运算法则得，故错误；C． 由导数公式得，故正确；D． 由导数公式得，故正确；故选B．
41．设函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省鄂西北五校（宜城一中、枣阳一中、襄州一中、曾都一中、南漳一中）2020-2021学年高三上学期期中
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以．故选A．
42．已知函数的导函数为，且满足，则
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省兰州一中2019-2020学年高二（下）期中（理）
【答案】A
【分析】对函数求导，再令，可得出关于的方程，即可解出的值．
【解析】，求导得，则，解得．故选A．
43．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则
A．12贝克 B．12 ln2贝克
C．6贝克 D．6 ln2贝克
【试题来源】河北省石家庄市2021届高三上学期教学质量检测（一）
【答案】A
【分析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求．
【解析】，所以，
，(贝克)，故选A．
44．某物体作直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式，那么该物体在s时的瞬时速度是
A．2m/s B．4m/s
C．7m/s D．12m/s
【试题来源】北京市朝阳区2019-2020学年度高二下学期期末质量检测
【答案】D
【解析】对求导，得，当时，（m/s），
所以物体在s时的瞬时速度是12m/s．故选D．
45．已知函数，则
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省湛江市2019-2020学年高二上学期期末（文）
【答案】A
【解析】，，
因此，．故选A．
46．已知，则
A． B．
C． D．
【试题来源】蓉城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考（理）
【答案】C
【解析】由．故选C．
47．在等比数列中，，，函数，若的导函数为，则
A．1 B．
C． D．
【试题来源】湖南师大附中2020届高三下学期月考（七）（理）
【答案】B
【分析】设，对函数进行求导发现中，含有的项的值均为0，而常数项为，由此求得的值．
【解析】设，，，
，故选．
48．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设、在放射性同位素铯衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，则铯含量在时的瞬间变化率为
A．（太贝克/年） B．（太贝克/年）
C．（太贝克/年） D．（太贝克/年）
【试题来源】重庆市第八中学2019-2020学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，令即可得到含量在时的瞬间变化率．
【解析】依题意，，，
所以铯含量在时的瞬间变化率为（太贝克年），
故选．
49．函数，若，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】B
【分析】求导，可得在的单调性，利用单调性，即可得答案．
【解析】因为，所以，
当时，，则在为减函数，因为，
所以，即，故选B
50．已知函数的单调递增区间是，则
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省高考选考科目2020-2021学年高三上学期9月联考（B卷）
【答案】C
【解析】由题可得，则的解集为，即，，可得，所以，故选C．
51．若定义在上的函数满足，且当时，，则满足的值
A．恒小于0 B．恒等于0
C．恒大于0 D．无法判断
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）
【答案】C
【解析】当时，，则在内是增函数．
由得的图象关于直线对称，所以在内是减函数，
所以．故选C．
52．函数是上的单调函数，则的范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期期中联考
【答案】D
【分析】函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．
【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，，解得，故选D．
53．函数在区间上的最大值是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】C
【解析】对于函数，．
当时，；当时，．
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，．故选C．
【名师点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
54．已知，则
A．的最大值是 B．在区间上是增函数
C．的图象关于直线对称 D．在内有4个极值点
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】D
【解析】，
选项A：函数的最大值是，故本选项错误；
选项B：当，单调递增，且，
而此时在上单调递减，
故函数在上单调递减，故本选项错误；
选项C：令，解得，
不存在整数使得，故本选项错误；
选项D：，令，解得，
当，1，2，3时，极值点满足题干要求，正确，故选D
55．记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】A
【解析】由解得，即，令，
则，则是R上的奇函数；
又显然恒成立，所以是增函数；
由得，
即，即，
由是R上的奇函数且为增的函数，所以得．
所以，当时，．
所以．故选A．
【名师点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，考查导数的方法判定函数单调性，属于常考题型．
56．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】甘肃省兰州一中2020-2021学年高三年级第一学期10月月考（文）
【答案】D
【解析】因为在区间内存在单调递增区间，
所以在区间上成立，即在区间上有解，
因此，只需，解得．故选D．
57．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是
①的解集是；
②是极大值，是极小值；
③没有最大值，也没有最小值；
④有最大值，没有最小值；
⑤有最小值，没有最大值．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【试题来源】陕西省西安交大附中、龙岗中学2020-2021学年高三上学期第一次联考（文）
【答案】B
【分析】直接不等式可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤
【解析】由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正确；由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以②错误；因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值，所以有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，故选B
58．设函数在上可导，导函数为图象如图所示，则

A．有极大值，极小值 B．有极大值，极小值
C．有极大值，极小值 D．有极大值，极小值
【试题来源】新疆维吾尔自治区和田地区第二中学2020届高三10月月考（理）
【答案】C
【分析】根据的单调性与正负的关系，由函数图象分别判断函数导数的符号，结合函数单调性和极值的关系进行判断即可．
【解析】由图象知，当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
即当时，，当时，，
当时，，即当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值．故选C．
59．已知，，记，则
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟
【答案】D
【解析】设，，，，点在函数的图象上，点在直线上，的最小值转化为函数的图象上的点与直线上点距离最小值的平方．由，得，与直线平行的直线的斜率为．令，得，则切点坐标为，切点到直线的距离．
即的最小值为．又过且与垂直的直线为，即，联立，解得，即当最小时，．故选D．
60．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是
A． B．1
C． D．
【试题来源】内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（（理））模拟试题
【答案】C
【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出、的值，再利用构造函数利用导数求的最大值即可．
【解析】由题得，设切点，，则，；
则切线方程为，即，因为，
所以，，则，
令，则，
则有，；，，即在上递增，在上递减，
所以时，取最大值，即的最大值为．故选C．
61．已知函数的图象与x轴切于点，则的极值为
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】A
【分析】根据题意，求得，得到，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案．
【解析】由题意，函数，则，因为函数的图象与轴切于点，则，且，
联立方程组，解得，即，
则，当时，函数单调递增，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以函数的极大值为，极小值为，故选A．
62．若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围
A． B．
C． D．
【试题来源】天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考
【答案】D
【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
【解析】在点的切线斜率为，在点的切线斜率为，如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到， 由此得到，则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，
则，且，可得
即有切点，，故的取值范围是．故选．
63．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则
A． B．1
C．或3 D．3
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考2020-2021年第一学期高三（理）
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出曲线在处的切线，将切线斜率代入到中，求出切点坐标，根据切点在曲线上可得的值．
【解析】由得，，故，故切线方程为．
由得．令，解得．
代入切线方程，求得切点为或．将切点坐标代入，求得或．故选C．
64．若直线是曲线的切线，且，则实数的最小值是
A．2 B．4
C． D．5
【试题来源】河南省信阳市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测（文）
【答案】C
【解析】的导数为，由于直线是曲线的切线，设切点为，则，所以，又，
所以 ， ，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以为极小值点，也为最小值点，所以的最小值为．故选C．
65．已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2019-2020学年度高二下学期期末质量检测
【答案】B
【解析】 ，所以，，即与在有交点，分情况讨论：①直线过点，即，得；
②直线与相切，设切点为，得，
切点为，故实数a的取值范围是，故选B.

66．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】D
【解析】因为函数的导数，由切线的方程可得切线的斜率为1，所以即切点的横坐标为，所以切点为，
代入得，即，
又、为正实数，所以，
当且仅当，时，等号成立．所以的最小值是．故选D．
67．若实数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】D
【解析】因为，故可得，，
故点可理解为函数上的任意两点．
又，令，故可得，
即函数在处的切线与平行，又切线方程为，
则函数在处的切线方程与直线之间的距离，
故的最小值即为．故选．
68．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考
【答案】A
【解析】，
因为函数是区间上的双中值函数，
所以区间上存在 ，
满足
所以方程在区间有两个不相等的解，
令，
则，解得
所以实数的取值范围是．故选A．
69．函数在的图象大致为
A． B．
C． D．
【试题来源】陕西省汉中市汉台二中2020-2021学年高三上学期10月月考（文）
【答案】C
【解析】，由此排除BD选项．
当时，，，
，由此排除A选项．故选C．
70．设函数，若的导函数是偶函数，则可以是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省张家界市民族中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】A
【解析】因为，
所以，
因为为偶函数，所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以对任意实数恒成立，
所以，所以，．当时，．故选A．
71．已知对任意实数都有，，若恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）
【答案】D
【解析】因为，所以，即，所以（为常数），，由，，
不等式为，时，不等式为，成立，
时，，时，，设，
则，当或时，当或时，
所以在和上是减函数，在和上是增函数，
时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，综上有．故选D．
72．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：
①；②；③；④
其中为恒均变函数的序号是
A．①③ B．①②
C．①②③ D．①②④
【试题来源】2020届北京市八一学校高三第一学期高三10月月考（理）
【答案】B
【解析】对于①，，，满足，故①为恒均变函数；
对于②，
，，满足，
故②为恒均变函数；
对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；对于④，当，时，，
，
即此时，故④不为恒均变函数．故选B．
73．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省合肥一六八中学2020-2021学年高三上学期第二次段考（文）
【答案】A
【分析】分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围．
【解析】由在处取得极大值可知，当时，；
当时，，其等价于①存在，使得，
且②存在，使得；
若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；
若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；
若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值．综上，的取值范围是．故选A．
【名师点睛】求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值．
74．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第八中学 2019-2020学年高二下学期期末练习题
【答案】B
【解析】已知函数，则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，解得 ，
所以实数的取值范围为，故选B．
75．已知函数，设，，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（理）
【答案】D
【解析】由，则是偶函数，
当时，，所以在单调递增，
由，，，
则，所以
又，所以，故选D．
76．若函数的极值为，则实数的值为
A． B．
C． D．
【试题来源】天一大联考2021届高三（文）阶段性测试试题（二）
【答案】D
【分析】对分和两种情况讨论，分析函数的单调性，结合函数的极值为，可求得实数的值．
【解析】由已知可得．当时，对任意的，，此时函数在上单调递增，函数无极值；
当时，令，可得，此时函数单调递减；
令，可得，此时函数单调递增．
所以，函数的极小值为，
令，则且，．
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减．
所以，，由于，．故选D．
77．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为，底面半径为，上部为半径为的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径的值为
A．1 B．
C． D．2
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测
【答案】C
【解析】由题意知，
故，由可知．所以建造费用，
()，则．
当时，，时，．
当时，该容器的建造费用最小．故选C．
78．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是

A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测
【答案】A
【解析】函数的图象如图所示，
所以时，；时，；时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减．
所以有极大值．故选A．
79．已知偶函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考
【答案】D
【解析】令，因，故由题设可得，即函数在上单调递增且是偶函数．又因，故，即，所以，故应选D．
80．已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一上学期9月月考
【答案】A
【解析】由函数没有零点，即方程无解，则或恒成立，所以为上的单调函数，都有，则为定值，设，则，易知为上的增函数，因为，
所以，
又与的单调性相同，所以在上单调递增，则当时，恒成立．当时，，所以，
所以．所以，即，故选A．
81．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：

①-3是函数y=f(x)的极值点； ②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；
③-1是函数y=f(x)的最小值点； ④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是
A．①② B．③④
C．①③ D．②④
【试题来源】宁夏青铜峡市高级中学2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】A
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【解析】根据导函数图象可知：当时，，在时，
函数在上单调递减，在上单调递增，故②正确；
则是函数的极小值点，故①正确；
因为在上单调递增，不是函数的最小值点，故③不正确；
因为函数在处的导数大于，切线的斜率大于零，故④不正确．故选A
82．已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是
①，②，③，④
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】B
【解析】的定义域为，，
令在上单调递减，
，，
所以，，所以，
，，
因为，所以，所以，即；
所以②③正确；故选B
【名师点睛】要判断不等式或等式成立，首先要对函数求导，判断单调性，如果导函数大于或小于0无法求出解集，若导函数的分子符号是定的，需要看导函数的分子是否有单调性，如果看不出导函数分子的单调性，就要设分子为一个新的函数，再求导，利用零点存在定理，即可得出新函数的符号，即可判断原导函数的符号，即可解决问题．
83．设函数．若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】A
【解析】由题意可得，，，
曲线上存在点，使得，
存在，，使成立．
函数在它的定义域内单调递增，下面证明．
假设，则（c），不满足．
同理假设，则不满足．综上可得．
则问题等价于方程，有解，即在有解，分离参数可得，令，因为，所以函数在上单调递增，
所以，所以．故选A．
84．已知函数，则下列关系不正确的是
A．函数是奇函数 B．函数在上单调递减
C．是函数的唯一零点 D．函数是周期函数
【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题
【答案】D
【解析】因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，故A正确；
因为，所以在R上为减函数，故B正确；
因为，且在R上为减函数，所以函数的唯一零点是0，故C正确；因为，不存在，使得，故D错误．故选D
【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，零点，周期性，属于中档题．
85．“”是“函数在上有极值”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】A
【分析】求出函数的极值点，利用该极值点在内求得实数取值范围，利用集合的包含关系可得出结论．
【解析】，则，令，可得．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极小值．
若函数在上有极值，则，．
因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件．故选A．
86．设是定义在上的函数，为其导函数，已知，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河北省2021届高三上学期10月联考
【答案】B
【解析】由，可知为偶函数，
构造新函数，则，当时．
所以在上单调递增，又，即．
所以由可得，此时．
又为偶函数，所以在上的解集为．
故选B．
【名师点睛】本题考查的奇偶性与单调性，考查由导数确定函数的单调性，具有奇偶性的函数的不等式求解时，如果是偶函数，可利用单调性求出上的解，然后再利用奇偶性得出上的解集，如果是奇函数可由奇函数定义得出函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．
87．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）
【答案】A
【分析】对任意，总存在，使得成立，等价于的值域是值域的子集，只要求出两函数在上的值域，列出不等式组可求得答案
【解析】依题意，
则，当时，，故函数在上单调递增，
当时，；而函数在上单调递减，
故，则只需，故，
解得，所以实数的取值范围为．故选A．
【名师点睛】结论点睛：本题考查恒成立问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
88．点P在函数y＝ex的图象上．若满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为
A． B．
C．3 D．4
【试题来源】北京市昌平区2020届高三第二次统一练习（二模）
【答案】C
【分析】要满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y＝ex的图象相交，而且点P在函数y＝ex的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【解析】过函数y＝ex的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a平行
y′＝ex，于是，则x0＝0，y0＝1，所以P（0，1），于是当点P到直线y＝x+a的距离为时，则满足到直线y＝x+a的距离为的点P有且仅有3个，
所以，解得a＝﹣1或a＝3，又当a＝﹣1时，函数y＝ex的图象与直线y＝x﹣1相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；故a＝3．故选C．
89．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数．若对任意都有则满足的θ的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测
【答案】D
【解析】令，，，为奇函数，为偶函数，
为奇函数．，，有，
，在区间，上单调递减，
又为奇函数，在区间，上单调递减，当，，，
，， ，，故选D
90．已知函数定义在上，且满足，当时，，则不等式的解集是
A． B．
C． D．
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） （文）全国卷II试题
【答案】B
【分析】推导出函数为奇函数，且函数在在区间上单调递增，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得不等式的解集．
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，
，函数为奇函数．
当时，，．
当时；当时．由于为奇函数，该函数在上也为增函数，
由于函数在区间上连续，所以，函数在区间上单调递增．
则等价于，解得，故选B．
91．已知函数，若，且 ，则的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省中山纪念中学2021届高三上学期10月月考
【答案】A
【分析】作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论．
【解析】作出函数的图象，如图所示，若，且，
则当时，得，即，则，
则，即，则，
设，则，
当，解得，当，解得，
当时，函数取得最小值，
当时，；
当时，，
所以，即的取值范围是，故选A．

92．已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试
【答案】D
【解析】由于定义在上的偶函数在上递减，则在上递增，又
，则 可华化为
，即对恒成立，则
，所以： 且 对同时恒成立．
设，，则 在上递增，在上递减，．设 ， ， 在 上递减， ．综上得 的取值范围是．
93．已知函数，，若，，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】D
【解析】由题意知，对于，，
可得在上的最小值不小于在上的最大值，
由，则，
可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，又由，，即在区间上的最大值为4，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
令，则，
当时，，函数单调递减，即在上单调递减，
又由，所以在上大于，在上小于，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，所以．
94．已知函数的定义域为，为的导函数．若，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【试题来源】内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考数学高三大联考数学 （理）
【答案】A
【解析】设，则．
因为，所以，即函数在定义域上单调递减．
因为，所以，所以不等式等价于，
即，解得．故不等式的解集为．故选A．
【名师点睛】本题考查了含导函数的抽象函数的构造问题，常见的构造法如下：
（1）关系式为“加”型，常构造为乘法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，；
（2）关系式为“减”型，常构造为除法
①，构造，，
②，构造，，
③，构造，．
95．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省八市全国百强名校“领军考试”联考2020-2021年第一学期高三（理）
【答案】C
【解析】由得，即．
当时，令，则，得，则时，，单调递减，时，，单调递增，故，故．所以．
设，则存在，使，需要．
又，当时，，
所以当，，单调递减；
当，，单调递增，又，，
所以，所以．故选C．
96．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】D
【解析】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，显然，
所以有两个不同实数根，记，，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为时，；当时，；当时，，所以当有两个不同实数根时 ，
所以，所以，故选D．