专题12 空间向量与立体几何（解答题）（10月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题12  空间向量与立体几何（解答题）

一、解答题

1．（辽宁省多校联盟2019-2020学年高一下学期数学期末试题）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点．

（1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)；

（2）为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

2．（陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学（理））如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

3．（江苏省南京大学附属中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且.

（1）求证：对任意的，都有

（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

4．（山东省2021届高三开学质量检测）如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面．

（1）求线段的长度；

（2）求二面角的余弦值．

5．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理））如图，直三棱柱中，，，、分别为、的中点．

（1）平面；

（2）若直线与所成的角为，求二面角的正弦值．

6．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面CDP，已知，Q为线段DP的中点．

（1）求证：平面ACQ；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在直线三棱柱中，，延长至点，使，连接交棱于点．以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．

（1）写出、、、、、的坐标；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

8．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高三上学期初检测）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．

（1）若，求二面角的大小；

（2）若直线与平面所成角的正弦值，求的值．

9．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间中三点，，，设，．

（1）求向量与向量的夹角的余弦值；

（2）若与互相垂直，求实数的值．

10．（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，．

（1）求证：；

（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．

11．（安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高二下学期期末数学（理））如图，平面，，．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．

12．（四川省宜宾市叙州区第二中学校2021届高三上学期开学考试数学（理））如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且．

（1）求证：；

（2）若，，直线与平面所成角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

13．（江苏省无锡市江阴市2020-2021学年高三上学期开学检测）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（1）平面；

（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

14．（江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试）如图，已知，平面，平面，过点且垂直于的平面与平面的交线为，，，．

（1）平面；

（2）设点是上任意一点，求平面与平面所成锐二面角的最小值．

15．（江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期期初调研）如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，．

（1）平面平面；

（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值．

16．（浙江省平阳县浙鳌高级中学2021届高三上学期期初教学质量监测）正三棱锥的底面正三角形的边长为，侧棱，，分别为，中点，为中点，棱上有一点（不为中点），直线与直线交于，直线与直线交于．

（1）平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

17．（湖南省岳阳市汨罗市二中2020-2021学年高三上学期入学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；

（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．

18．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．

（1）平面；

（2）若二面角的余弦值为，线段的长．

19．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学（理）模拟（一））在四棱锥中，，，．

（1）平面平面；

（2）求直线与平面夹角的正弦值．

20．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考）如图，在三棱台中，平面平面，，，．

（1）；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

21．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试（理））如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．

22．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE．

（1）求证：平面平面DCE；

（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．

23．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为．

求证：平面BDE；

求二面角的余弦值；

设点是线段BD上的一个动点，试确定点的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．

24．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，．

（1）若，求异面直线与所成角的余弦值的大小；

（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长．

25．（江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试）如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点．

（1）求证：CM∥平面PAB；

（2）求二面角的余弦值．

26．（西藏山南市第二高级中学2020届高三第三次模拟考试数学（理））在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．

（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；

（2）求二面角的余弦值大小．

27．（山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；

（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．

28．（广东省河源市2019-2020学年高二下学期期末数学（理））如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，为侧棱上一点，且，，，．

（1）平面．

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

29．（佛山市第四中学2021届高三上学期8月开学考试）如图，底面 是边长为1的正方形，平面，，与平面所成角为60°．

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值．

30．（广东省广州市六区2021届高三上学期9月教学质量检测（一））如图，在圆柱中，为圆的直径，C，D是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线．

（1）求证：平面；

（2）设，，求二面角的余弦值．

31．（安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科）在三棱锥中，平面，平面平面．

（1）平面；

（2）若为的中点，且，，求二面角的余弦值．

32．（四川省成都市第七中学2020-2021学年高三入学考试理科）如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为，底面圆的直径AB长为2，O为圆心．C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切．连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED．

（1）求证：平面平面PAC；

（2）若二面角的大小为，求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值．

33．（江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高三上学期期初检测）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

34．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期6月月考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．

（1）平面平面；

（2）求钝二面角的余弦值．

35．（山西省大同市2021届高三上学期学情调研数学（理））在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面的交点为，且，求截面与底面所成锐二面角的大小．

36．（2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理））如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的大小．

37．（江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测）如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．

求证：平面BDEF；

求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

38．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理））如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．

（1）B1C∥平面A1DE；

（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．