专题04 数列（解答题）（10月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题04  数 列（解答题）

一、解答题

1．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））已知递增的等差数列满足，，成等比数列，且．

（1）求的通项公式；

（2）若求的前项和．

2．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））已知数列满足，且．

（1）证明：是等比数列；

（2）求的前项和．

3．（甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（文））已知等比数列的各项均为正数，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

4．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国（理））已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．

（1）证明是等比数列；

（2）求使得成立的最小正整数的值．

5．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理））已知在等比数列中，，且是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和．

6．（云南省弥勒市第一中学2019-2020学年高二下学期第三次月考（文））已知数列的首项，，

（1）证明：数列是等比数列：

（2）设，求数列的前n项和．

7．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）记等差数列的前项和为，设，且成等比数列． 求

（1） a1和d．

（2）求数列的前项和．

8．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研）（1）在等差数列中，若，求；

（2）已知为等差数列，，，求．

9．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）各项均为正数的数列满足，其中为的前项和．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式．

10．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在等比数列中，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

11．（陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理））设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，且数列的前n项和为．

（1）求､的通项公式；

（2）数列中，，且，求的通项公式．

12．（四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理））设数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求数列 的前项和．

13．（陕西省安康市高新中学2020-2021学年高三上学期8月摸底（理））已知等比数列是递减数列，且满足，．

（1）求数列的通项公式;

（2）设，数列的前项和为，求的最大值及取得最大值时的值．

14．（湖南省衡阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考）已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

15．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测（文））已知数列满足，且，数列是公差为的等差数列．

（1）探究：数列是等差数列还是等比数列，并说明理由；

（2）求使得成立的最小正整数的值．

16．（山东省青岛市2021届高三调研检测）已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求．

17．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知数列是公差的等差数列，其前n项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

18．（安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考）等比数列的各项均为正数，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设 ，求数列的前项和．

19．（新力量联盟2019-2020学年第二学期期中联考高一）已知数列满足：，，．

（1）求证是等差数列并求；

（2）求数列的前项和；

（3）求证：．

20．（安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试）已知数列满足，

（1）求，；

（2）设，，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；

（3）已知，求证：．

21．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2） 求数列的前n项和．

22．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一上学期开学考试）在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有根．现将它们堆放在一起．

（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?

（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多根)，且不少于七层，

（i）共有几种不同的方案?

（i i）已知每根圆钢的直径为，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？

23．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（文））已知 是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列 的前 项和．

24．（河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考）已知数列的前项和，在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

25．（湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）在①；②中选一个条件使数列是等比数列，并说明理由，然后求出数列的前项和．

26．（河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考）已知等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，证明：．

27．（北京市延庆区2021届高三上学期统测）设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）求的公比；

（2）求数列的前项和．

条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

28．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求数列的前项和．

29．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）设数列的前项和为，已知．

（1）求的值；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）求的通项公式．

30．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）已知为等差数列，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．

31．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）记为等差数列的前项和，已知．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，求使得的的取值范围．

32．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）已知等差数列满足，．

（1）求的通项公式；

（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和．

33．（山东省2021届高三开学质量检测）已知数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和．

34．（重庆市育才中学2021届高三上学期入学考试）已知各项都是正数的数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：，求数列的前项和．

35．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）已知数列满足，．

（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设为数列的前项和，证明：．

36．（江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考（理））记首项为1的数列的前项和为，且，数列满足．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求满足成立的最小正整数的值．

37．（安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第一次联考）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由．

38．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考（理））设数列的前n项和为，已知，，．

（1）求通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：．

39．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）已知数列满足：

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，数列的前项和，求证：

40．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试（文））已知正项等比数列满足，，数列满足．

（1）求数列的前项和；

（2）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．

41．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试（理））已知正项等比数列满足，，数列满足．

（1）求和；

（2）求数列的前项和；

（3）若，且对所有的正整数都有成立，求实数的取值范围．

42．（吉林省长春市第二实验中学2020-2021学年高二第一学期开学考试）已知数列满足，（为常数，且）．

（1）证明：为等比数列；

（2）当时，求数列的前几项和最大？

（3）当时，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

43．（江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期学情分析（一））已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，．数列满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．

44．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期开学摸底检测（理））已知数列的前n项和为，点在抛物线上．

（1）求；

（2）求数列的前n项和．

45．（江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第一次月度检测）设数列的前项和为，点，均在函数的图象上．

（1）数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

46．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期开学考试（零诊模拟）（理））已知数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

47．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理））设数列的前项和为，，且对任意正整数，点都在直线上．

（1）求的通项公式；

（2）若，求的前项和．

48．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（文））已知数列为公比不为1的等比数列，且，，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式和前项和；

（2）设数列满足，对任意的，．

（i）求数列的最大项；

（ii）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．

49．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理））已知数列中，，且当，时满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若对任意的，数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

50．（中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三数学9月测试）已知数列中，，且（且）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求满足的所有正整数的值．

51．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）已知数列中，，，且．

（1）求、的值，

（2）设试用表示，并求的通项公式；

（3）设，求数列的前项和．

52．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知，数列{an}的首项，an＋1＝f(an)(n∈N*)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn>2012的最小正整数n．

53．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）已知数列满足，且，．

（1）若，求数列的前项和；

（2）若，求数列的通项公式．

54．（安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理））等差数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足且，求的前n项和．

55．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列满足，且

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

56．（江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训练）设数列的前n项和为，

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．

（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．

57．（四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理））已知等比数列的前n项和为，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和．

（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围．

58．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）已知正项数列满足：，．

（1）求；

（2）证明：；

（3）设为数列的前n项和，证明：．

59．（上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底考试节选）已知数列（）的首项，前项和为，设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．

（1）若等差数列是“”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式．