专题20 空间向量与立体几何（解答题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题20 空间向量与立体几何（解答题）
1．在空间直角坐标系中，已知的顶点分别为2，，3，，1，，求证：是直角三角形．
【试题来源】安徽省蚌埠市田家炳中学2020-2021学年高二上学期10月月考（理）
【答案】证明见解析
【解析】在空间直角坐标系中，的顶点分别为2，，3，，1，，1，，，，
，，是直角三角形．
2．已知，，，．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）．
因为 ，设，所以 ，
所以 即所以 的值为2．
（2），
．
因为 ，所以 ，所以 ．
3．已知三点
（1）求以为邻边的平行四边形面积
（2）求平面一个法向量
（3）若向量分别与，垂直，且求的坐标．
【试题来源】山东省郓城一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1），，
，
．
（2）设平面的一个法向量为，
，可得，取．
（3）因为，，所以，
设，因为，解得，所以．
4．如图，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，设．

（1）试用表示；
（2）已知为对角线的中点，求的长．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
；
（2）由题意知，
，
，

．
5．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，边的中点，是正方形的中心，求，的长．

【试题来源】福建省永安市第三中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】；．
【解析】如图所示，可知：，，，，
所以；
所以，所以，，
6．已知，．
（1）若，求实数的值．
（2）若，求实数的值．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）（2）
【解析】，．
（1）因为，所以，所以．
（2）因为，所以，
所以．
7．如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离．

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）
【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则各点的坐标为B（1，0，0），，，
（1）因为平面，且面，
，又，且，AD⊥平面PAB，
所以是平面PAB的一个法向量，
因为，．
设平面PCD的法向量为，则，
即，令，解得，．
所以是平面PCD的一个法向量，从而，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为；
（2）因为，设为直线PB上一点，且，
又，，则，
则点到直线的距离
，因为，所以，所以异面直线PB与CD之间的距离为．
8．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．

（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．
因为为中点，所以，所以，，
所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
9．如图，已知、分别为四面体的面与面的重心，且为上一点，且，设，，，试用，，表示，．

【试题来源】山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】；．
【解析】
；
．
10．已知空间三点，，．
（1）求的值；
（2）若，求的值
【试题来源】广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）因为，，所以．
因为，，所以，
所以．
（2）由（1）可知，，
所以，．
因为，所以，解得．
11．如图1，在中，，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．

（1）求证：平面平面；
（2）设E为的中点，，求二面角的余弦值．
【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在中，，
所以 ，因为 D为中点，所以，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
因为 二面角为直二面角，所以平面平面，
又因为 平面平面，所以 平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点B且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

可求得，，
因为E为的中点，，所以，，
所以 ，
设平面的法向量为，平面的法向量为，则
得，所以 取，
得，所以 取，
所以 ，所以二面角的余弦值为．
【名师点睛】本题考查立体几何的综合应用，其中涉及了面面垂直的证明、二面角的向量求法，难度一般．（1）面面垂直的证明思路：先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理完成证明；（2）利用向量法求解二面角的余弦值时，要注意结合图形判断二面角的平面角是钝角还是锐角．
12．如图，三棱柱中，底面，是的中点，，．

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三（6月份）数学适应性试题
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连结，交于，则是的中点，
连结，是的中点，，
平面，平面，平面．
（2）三棱柱中，底面，是的中点，，．，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
，0，，，0，，，1，，
设平面的法向量，，，则，
取，得，，，设直线与平面所成角为，
则．直线与平面所成角的正弦值为．

13．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．

（1）确定E的位置，使平面；
（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．
【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）
【答案】（1）E为的中点；（2）．
【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
【解析】（1）E为的中点，
连接，使交于点O，取的中点为E，连接，
因为O，E分别为，的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．

（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，所以，，
所以平面的法向量为．设平面的法向量为，
由，令，则，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值为．
14．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或．
【解析】（1）由题意，因为，，，所以，
又所以，所以，因为侧面，所以．
又因为，，平面，所以直线平面．
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
设平面的一个法向量为，，
因为，所以，令，则，所以
设平面的一个法向量为，，，
因为，所以，令，则，所以，
，，，所以．
设二面角为，则．
所以设二面角的余弦值为．
（3）假设存在点，设，因为，，
所以，所以所以
设平面的一个法向量为，
所以，得．
即，所以或，所以或．

15．已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．
【试题来源】广西柳州市2020届高三第二次模拟考试（理）
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）设的中点为，连接，，

由题意，得，，．
因为在中，，为的中点，所以，
因为在中，，，，，所以
因为，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面
（2）由（1）问可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，则
由得：．令，得，，即．
设平面的法向量为，由得：

，令，得，，即
．由图可知，二面角的余弦值为．
16．如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．
（1）求证：．
（2）求二面角的余弦值．

【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为平面，所以．
又因为，，所以平面，
平面，所以．
（2）证明：等腰梯形中，设．
因为且平分，，
，则，，
所以，．，则中．
以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，
平面法向量，设平面法向量为，
，有，即，令，
所以，，所以，
平面法向量，
，，平面法向量，
，即，令，所以．
，所以二面角的余弦值为．

17．如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，的中点O在为三角形的外接圆的圆心，点N在边上，且．

（1）求与平面所成的角；
（2）求二面角的正弦值．
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）证明 连接，
在中，由的中点O在为三角形的外接圆的圆心，，可知三角形为等腰直角三角形，所以，O为的中点，则，且．在中，，O为的中点，则，且．在中，满足，所以，
又，，平面，
故平面，所以与平面所成的角为．

（2） 因为，，两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
，，
由，所以，则，
设平面的法向量为，
则
令，得，
因为平面，所以为平面的法向量，
所以．
所以二面角的正弦值为．
18．如图，在正方体中，分别是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

设正方体棱长为，则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为，，，
，即异面直线与所成角的余弦值为；
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，，
设平面的法向量，，
令，则，，，
，解得 ，
棱上存在点，满足，使得平面．
【名师点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量．
19．如图，在平行六面体中，，，

（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）设，，，则．
因为，，，
所以，
所以
，所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，所以平面．
20．如图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且，设平面与平面的交线为．

（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的大小．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为底面是菱形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以．
（2）取的中点，连结，，，
因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，所以，
同理，得，
因为平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
所以，，两两垂直，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
由，取，得，
是平面的一个法向量，所以，
所以，所以平面与平面所成锐二面角的大小为．

21．如图四边形PABC中，，，，现把沿折起，使与平面成60°，设此时在平面上的投影为点(与在的同侧)，

（1）求证：平面；
（2）求二面角大小的正切值．
【试题来源】辽宁省联合校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连，因为平面，得．
又因为，得平面，．
因为是与平面的角，．因为，得．
在中，，故有，
从而有，得平面．
（2）以､､为､､轴，建立坐标系，可得，，，．可求得平面的法向量是，

， ，设平面的法向量，
则，当时，，
平面的法向量 ，所以二面角大小的余弦值是， ，即．
22．如图（1）所示，在中，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）所示．

（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；
（3）线段（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）不存在，答案见解析．
【解析】（1），，是平面内的两条相交直线，
平面，又平面，，
又，是平面内的两条相交直线，平面．
（2）如图建系，

则，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为
则 所以 所以
所以取，得，又因为，
所以，与平面所成角
所以，，
所以与平面所成角的大小．
（3）设点的坐标为，，
设平面的法向量为，
则，，，
令，则．要使平面与平面垂直，需
，解得，不满足条件．
所以不存在这样的点．
23．如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且．

（1）求证： 平面；
（2）求直线到平面的距离．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，
如图建立空间直角坐标系，，

，设平面的法向量为，
则，，，令，则，
，所以，
因为平面，所以平面．
（2）因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，，
设直线到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为．
24．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：以为 原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，，

，
，所以，所以．
（2），设平面的法向量为，
则，，，令，则．
设与平面所成角为，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
25．已知空间三点．
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解．
【解析】（1），点在直线上，设，
，
，
，
，，．
（2），

，
，，
，所以以为邻边得平行四边形的面积为．
26．如图所示，在多面体中，四边形为正方形，平面平面∥．

（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在中：，，，
故，故．
平面平面，，故平面，
平面，故，，
故平面，平面，故平面平面．
（2）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设，
，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到；设平面的法向量为，
则，取得到；
故，解得或（舍去）．
故．

27．如图，四边形与均为菱形，，，且．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【试题来源】山东省潍坊市五县市2020-2021学年高三上学期阶段性监测
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设与相交于点，连接，
因为四边形为菱形，所以，为的中点，
因为，所以，又，所以平面，
平面，所以；

（2）连接，因为四边形为菱形，且，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又，，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，
、、、，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，则，
设平面的法向量为，，
则，即，
令，则，，可得，
所以，
由图形知，二面角为钝角，它的余弦值为．
28．如图，四棱锥中，面面，，，，，．

（1）证明：；
（2）求与面所成角的正弦值．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图所示，设与交点为0，
因为，，，
所以四边形为等腰梯形，所以易得，又因为，
所以，，同理可得，所以，，
因为，所以
又因为面面，且面面，面
所以面，又因为面，所以．

（2）建立如图所示空间直角坐标系，以0为原点，以为轴，为轴，过点作面的垂线为轴．则，，，，，因为面，面，所以，
又因为，，所以．
所以，．，
设平面的一个法向量．则，
即所以，
不妨设，则，设与面所成角为，
．
29．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，，点在底面的投影恰好为与的交点，．

（1）证明：；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）如图，在平面图形中，过点作的垂线交于点，
易得，故，在中，由余弦定理知，
，
故．由相似可知，，
又，所以，故，所以．
又点在底面的投影为，所以平面，所以，
又，所以平面，所以．

（2）如图，以为原点，，，分别为，，轴
建立空间直角坐标系，由（1）知，
故，，，
，，，
故，，．
设平面的一个法向量为，则，
即，令，解得，故．
同理，可求得平面的一个法向量为，
设二面角为，则．

30．如图，在三棱锥中，底面是正三角形，，底面，点E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面BEF平面PAC；
（2）在线段PB（不含端点）上是否存在点G，使得平面EFG与平面PBC所成锐二面角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题
【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析．
【解析】（1）因为，E为AC的中点，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以．
因为，PA，平面PAC，所以平面PAC，
又因为平面BEF，所以平面平面PAC．
（2）如图，由（1）知，，，点E，F分别为AC，PC的中点，
所以，所以，又，所以EB，EC，EF两两垂直，
以E为原点，以方向为x，y，z轴建立坐标系，

则，．
设（），所以，
，
，．设平面EFG的法向量为，
则，所以，
令，则，．
，，设平面PBC的法向量，
则，令，则，，．
由已知，，
又，故线段PB上不存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的正弦值为．
【名师点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把空间角的计算归结平面图形中的角的计算．
31．如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，．

（1）若为的中点，求点到平面的距离；
（2）设平面与平面所以的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】（1）；（2）的最大值，此时点与点重合．
【解析】以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．
（1）由图可得，，，，
则，，．
设平面的一个法向量为，
由可得．
设点到平面的距离为，则．

（2）因为动点在线段（包含端点，）上，可设，
则，．设平面的一个法向量为，
由可得．
因为平面的一个法向量，
所以
所以当时，取得最大值，此时点与点重合．
32．如图所示，在正方体中，为对角线的中点，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若平面平面，求证：．
【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考
【答案】（1）90°；（2）证明见解析．
【解析】（1）如图所示，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为，则，，，，．
所以，，
则，所成角的余弦值为，
所以异面直线与所成角为90°．
（2）证明：在中，，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面．所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
33．在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在等腰直角三角形中，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．因为平面，所以；
（2）在平面内过点作垂直于，由（1）知，平面，因为平面，所以．
如图，以为原点，为，，轴建立空间直角坐标系．

则，，，，．
，，．
设平面的法向量为，则，即．
令则，，所以．
直线与平面所成角大小为，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
34．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面平面ABCD，．

（1）求证：；
（2）若直线PA与BC所成角为，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
【试题来源】湖南省益阳市2020-2021学年高三上学期9月调研考试
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）四棱锥P-ABCD的底面为正方形，
，又面ABCD，面面ABCD，面面ABCD =，
平面PAD，又平面PAD，所以．
（2）取AD，BC的中点O，N，连接PO，ON，则，结合（1）知平面PAD，因为有，以O为坐标原点，OA，ON，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
因为且直线PA与BC所成的角为，所以，又，即，令，则，所以，
设是平面BPC的一个法向量，
则，即，取，则，所以，
又是平面PAD的一个法向量，
所以，，所以，所求二面角的余弦值为．

35．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．

【试题来源】江西省南昌二中2020届高三高考数学（（理））校测试卷题（三）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取中点，连结，．
因为为的中点，所以，，由得，又，所以．四边形为平行四边形， ．
又，，故
（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则，，，，，，

则，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，，即（x-1）²+y²-z²=0，
又M在棱PC上，设，
由①，②得，所以M，
设是平面ABM的法向量，则
所以可取．于是，
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
36．如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，．证明：四边形EFGH是梯形．

【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】证明见解析
【分析】要证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①；②，二者缺一不可．同时还必须指明点E不在FG上，即E，F，G，H四点不能共线．
【解析】因为E，H分别是边AB，AD的中点，所以，，
所以．
又，，所以，，
所以，
所以且，又点E不在FG上，所以四边形EFGH是梯形．
【名师点睛】判断向量共线就是利用已知条件找到实数，使得成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形进行化简，从而得到，即与共线．
37．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1），
因为，同理可得，
所以
．
（2）因为，所以，
因为
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
38．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且．
（1）设，，，试用、、表示；
（2）已知为四棱柱的中心（体对角线中点），求的长．

【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测（9月月考）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，，
由向量加法的平行四边形法则可得，
因此，；
（2）为四棱柱的中心，即为线段的中点．
由已知条件得，，，，．
由（1）得，
则
．
所以的长为，所以的长为．
39．如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，．

（1）试用，，表示向量，；
（2）若，求直线与所成的角．
【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）由向量的加减运算法则知：
在平行四边形中，，
又由．
（2）由题意知，，，，，
可得
．
又由，
，
所以，
因为，所以．所以与所成的角为．
【名师点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟记空间向量的数量积和夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
40．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．

（1）证明
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．
【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）证明过程见详解；（2）：（3）．
【解析】依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得．

（1）向量，，故． 所以．
（2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．
于是有，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3），
由点在棱上，故，
由，得，解得，即．
设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．
易知二面角是锐角，所以其余弦值为．
【名师点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直、利用空间向量求线面所成的角、利用空间向量求面面所成的角．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离．是中档题.
41．已知在平行六面体中，，，，且．

（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值．
【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题可知，，那么
，因此，的长为；
（2）由题知，，
则，

，
所以，．
42．已知向量，．
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题
【答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）求出，，根据可解得结果；
（2）根据可得，除去可得解．
【解析】（1）由已知可得，，，
因为，所以，可得．
（2）由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，可得实数的范围为且．
43．如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面，点在侧棱上．

（1）当为侧棱的中点时，求证：平面；
（2）若二面角的大小为60°，求的值．
【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为为等边三角形，所以．
因为为等边三角形，所以，所以，．
在等腰和等腰中，因为为的中点，所以，．
又因为，，平面，所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，则在等边和等边中，有，，所以为二面角的平面角．因为平面平面，所以，即．所以，，两两垂直．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，．
因为在上，设，，
则，，
解得，，即．
显然平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，
因为，．
所以，即，令，则，所以．
因为二面角的大小为60°，所以，
所以．又，解得，即．
44．如图，在中，，，，沿BD将翻折到的位置，使平面平面．

（1）求证：平面；
（2）若在线段上有一点M满足，且二面角的大小为，求的值．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）中，由余弦定理，可得．
， ， ．
作于点F，平面平面，平面平面，
平面．又平面，．
又，，平面．
又平面，．又，，
平面．
（2）由（1）知DA，DB，两两垂直，以D为原点，以方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，．

设，则，
由，
设平面MDB的一个法向量为，
则由，
取．
平面CBD的一个法向量可取，
二面角的大小为
．
，．