专题七 双曲线（知识串讲）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题七  双曲线

★★★★必备知识★★★★

1．双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F1F2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.

2．双曲线的标准方程和几何性质

若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．

设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则0＜2a＜|F1F2|，这一条件不能忽略．

①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；

②若2a＞|F1F2|，则点M的轨迹不存在；

③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

★★★★常用结论★★★★

1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.

4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2.

5．若P是双曲线 (a＞0，b＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.

6．等轴双曲线

(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．

(2)性质：①a＝b；②e＝；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．

7．共轭双曲线

(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．

(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.

★★★★基础达标★★★★

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)

(2)方程 (mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)

(3)双曲线方程 (m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是，即.(　　)

(4)若双曲线 (a＞0，b＞0)与 (a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、选填题

1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)

A．2　　　　　　　 B．2

C．4 D．4

解析：选C　双曲线2x2－y2＝8的标准方程为，故实轴长为4.

2．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)

A. B.

C.  D．(，0)

解析：选C　∵原方程可化为，

∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，

∴右焦点坐标为

3．若方程表示双曲线，则m的取值范围是

________.

解析：因为方程表示双曲线，

所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞－1或m＜－2.

答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)

4．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.

解析：由已知可得a＝1，c＝，

所以e＝＝＝，解得m＝2.

答案：2

5．双曲线C的焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5,2)，则该双曲线的标准方程为____________________．

解析：由题意得2a＝| |＝4，所以a＝2，又c＝6，

所以b2＝c2－a2＝36－20＝16，

所以双曲线的标准方程为.

答案：

★★★★典型例题★★★★

1．(2019·绵阳联考)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为(　　)

A. 　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为.

2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是(　　)

A. －y2＝1 B. －y2＝1

C. －＝1 D．x2－＝1

解析：选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．

设双曲线标准方程为 (a＞0，b＞0)，

因为双曲线过点P(2,1)，

所以，又a2＋b2＝3，

解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是－y2＝1.

法二：设所求双曲线标准方程为 (1＜λ＜4)，

将点P(2,1)的坐标代入可得，

解得λ＝2(λ＝－2舍去)，

所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.

3．过双曲线C： (a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为.

4．经过点P(3,2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为____________．

解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线标准方程为.

答案：

5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．

解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ＞0)，即，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为.

答案：

[名师微点]

求双曲线标准方程的2种方法

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)．

(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

[提醒]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．(如第4题)

[典例精析]

(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

(3)已知F是双曲线的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

[解析]　(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|，

|MC2|－|BC2|＝|MB|.

因为|MA|＝|MB|，

所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2＜6.

这表明动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2且小于|C1C2|.

根据双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，且a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，则其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

(2)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

则cos∠F1PF2

＝

＝.

(3)因为F是双曲线的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋＝4＋5＝9.

[答案]　(1)x2－＝1(x≤－1)　(2)　(3)9

[解题技法]

双曲线定义的应用策略

(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．

(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．

(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．

[考法全析]

考法(一)　求双曲线的离心率(或范围)

[例1]　(1)已知点F是双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　 B．(1,2)

C．(2,1＋) D．(1,1＋)

(2)设双曲线C： (a＞0，b＞0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为(　　)

A．5 B.

C. D.

[解析]　(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝ ，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.

(2)根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5,0)，可知半焦距c＝5，

设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，

如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，

又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.

[答案]　(1)B　(2)A

考法(二)　求双曲线的渐近线

[例2]　(2019·武汉调研)已知双曲线C： (m＞0，n＞0)的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．4x±3y＝0

B．3x±4y＝0

C．4x±3y＝0或3x±4y＝0

D．4x±5y＝0或5x±4y＝0

[解析]　由题意知，椭圆中a2＝25，b2＝16，∴椭圆的离心率e＝ ＝，

∴双曲线的离心率为 ＝，∴，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0.故选A.

[答案]　A

考法(三)　求双曲线的方程

[例3]　已知双曲线 (a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)

A.  B.

C.  D.

[解析]　由离心率为，可知a＝b，c＝a，

所以F(－a,0)，

由题意知kPF＝＝1，

所以a＝4，解得a＝2，

所以双曲线的方程为.

[答案]　B

[规律探求]