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人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第2课时学案，共9页。学案主要包含了课程标准，知识要点归纳，经典例题，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.1集合的概念
第2课时集合的表示方法
【课程标准】
初步掌握表示集合的两种方法
会用这两种方法规范的表示集合
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。
【知识要点归纳】
二．集合的表示方法
列举法
把集合的元素 一一列举 出来，并用 大括号 括起来表示集合的方法叫做列举法．
描述法
（1）定义：用集合所含元素的 特征性质 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 代表元素 及 所属集合 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 特征性质 .
【经典例题】
例1用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数（质数）组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3) 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1))的解集．
例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合；
(3)在平面内，线段AB的垂直平分线.．
例3 下面三个集合：
①A={x|y＝x2＋1}；②B={y|y＝x2＋1}；③C={(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合? 不是
[跟踪训练]
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
k=1
已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．下面关于集合的表示，正确的个数是
①，，；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
2．已知集合，，则
A．B．或C．，0，1，D．，，0，
3．下列命题中正确的
①0与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，；
③方程的所有解的集合可表示为，1，；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③
C．只有②D．以上语句都不对
4．方程组的解集不可以表示为
A．B．
C．，D．
二．填空题（共2小题）
5．方程组的解集中元素的个数为 ．
6．用列举法表示方程组的解集 ．
三．解答题（共1小题）
7．已知集合，其中．
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．下面关于集合的表示，正确的个数是
①，，；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
【分析】集合中的元素具有无序性，故①不成立；是点集，而不是点集，故②不成立；③正确，根据的定义判断④．
【解答】解：集合中的元素具有无序性，①，，，故①不成立；
是点集，而不是点集，故②不成立；
由集合的性质知③正确；
时没有任何元素的集合，故④不正确．
故正确的只有1个．
故选：．
【点评】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法，属基础题．
2．已知集合，，则
A．B．或C．，0，1，D．，，0，
【分析】通过解不等式并利用列举法求得集合．
【解答】解：由题意知，，，0，1，．
故选：．
【点评】本题考查了不等式解集表示、集合的元素表示法，属于基础题．
3．下列命题中正确的
①0与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，；
③方程的所有解的集合可表示为，1，；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③
C．只有②D．以上语句都不对
【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【解答】解：①0表示元素，不是集合，所以①错误．
②根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，，正确．
③根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为，，所以③错误．
④满足的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以④错误．
故选：．
【点评】本题主要考查与集合有关的命题的真假判断，要求数列掌握集合的关系以及集合的表示方法．
4．方程组的解集不可以表示为
A．B．
C．，D．
【分析】先解出方程组的解集，方程组的解集是，的一对值，所以用集合表示的话应该是点集，所以选项，是正确的，选项，是数集，不正确．
【解答】解：解方程组得：，
方程组的解集是，的一对值，
用集合表示的话应该是点集，
选项，，是正确的；选项是数集，不正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了方程组解集的集合表示方法，是基础题．
二．填空题（共2小题）
5．方程组的解集中元素的个数为 1 ．
【分析】通过解方程组得到所求解集和元素个数．
【解答】解：解方程组得到：．
所以原方程组解集为，
则解集的元素个数为1．
故答案是：1．
【点评】本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．
6．用列举法表示方程组的解集 ， ．
【分析】解方程组，然后用列举法表示该方程组的解集即可．
【解答】解：解得，，
用列举法表示方程组得，．
故答案为：．
【点评】本题考查了列举法的定义及表示，考查了计算能力，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知集合，其中．
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围．
【分析】（1）若，则，解方程可用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，分，和且△两种情况，分别求出满足条件的值，可得集合．
（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况，①中有且仅有一个元素，②中一个元素也没有，分别求出即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）是的元素，是方程的一个根，
，即，
此时．
，，此时集合；
（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，
若，则当且仅当方程的判别式△，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所求集合，；
（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况，
①中有且仅有一个元素，由（2）可知此时或，
②中一个元素也没有，即，此时，且△，解得，
综合①②知的取值范围为或
【点评】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题．
1.1集合的概念
第2课时集合的表示方法
【课程标准】
初步掌握表示集合的两种方法
会用这两种方法规范的表示集合
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。
【知识要点归纳】
二．集合的表示方法
列举法
把集合的元素 一一列举 出来，并用 大括号 括起来表示集合的方法叫做列举法．
描述法
（1）定义：用集合所含元素的 特征性质 表示集合的方法称为描述法．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 代表元素 及 所属集合 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 特征性质 .
【经典例题】
例1用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数（质数）组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3) 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1))的解集．
例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数的集合；
(3)在平面内，线段AB的垂直平分线.．
例3 下面三个集合：
①A={x|y＝x2＋1}；②B={y|y＝x2＋1}；③C={(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合? 不是
[跟踪训练]
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合.
k=1
已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．下面关于集合的表示，正确的个数是
①，，；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
2．已知集合，，则
A．B．或C．，0，1，D．，，0，
3．下列命题中正确的
①0与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，；
③方程的所有解的集合可表示为，1，；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③
C．只有②D．以上语句都不对
4．方程组的解集不可以表示为
A．B．
C．，D．
二．填空题（共2小题）
5．方程组的解集中元素的个数为 ．
6．用列举法表示方程组的解集 ．
三．解答题（共1小题）
7．已知集合，其中．
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．下面关于集合的表示，正确的个数是
①，，；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
【分析】集合中的元素具有无序性，故①不成立；是点集，而不是点集，故②不成立；③正确，根据的定义判断④．
【解答】解：集合中的元素具有无序性，①，，，故①不成立；
是点集，而不是点集，故②不成立；
由集合的性质知③正确；
时没有任何元素的集合，故④不正确．
故正确的只有1个．
故选：．
【点评】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法，属基础题．
2．已知集合，，则
A．B．或C．，0，1，D．，，0，
【分析】通过解不等式并利用列举法求得集合．
【解答】解：由题意知，，，0，1，．
故选：．
【点评】本题考查了不等式解集表示、集合的元素表示法，属于基础题．
3．下列命题中正确的
①0与表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，；
③方程的所有解的集合可表示为，1，；
④集合可以用列举法表示．
A．只有①和④B．只有②和③
C．只有②D．以上语句都不对
【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【解答】解：①0表示元素，不是集合，所以①错误．
②根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，，正确．
③根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为，，所以③错误．
④满足的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以④错误．
故选：．
【点评】本题主要考查与集合有关的命题的真假判断，要求数列掌握集合的关系以及集合的表示方法．
4．方程组的解集不可以表示为
A．B．
C．，D．
【分析】先解出方程组的解集，方程组的解集是，的一对值，所以用集合表示的话应该是点集，所以选项，是正确的，选项，是数集，不正确．
【解答】解：解方程组得：，
方程组的解集是，的一对值，
用集合表示的话应该是点集，
选项，，是正确的；选项是数集，不正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了方程组解集的集合表示方法，是基础题．
二．填空题（共2小题）
5．方程组的解集中元素的个数为 1 ．
【分析】通过解方程组得到所求解集和元素个数．
【解答】解：解方程组得到：．
所以原方程组解集为，
则解集的元素个数为1．
故答案是：1．
【点评】本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．
6．用列举法表示方程组的解集 ， ．
【分析】解方程组，然后用列举法表示该方程组的解集即可．
【解答】解：解得，，
用列举法表示方程组得，．
故答案为：．
【点评】本题考查了列举法的定义及表示，考查了计算能力，属于基础题．
三．解答题（共1小题）
7．已知集合，其中．
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合；
（3）若中至多有一个元素，试求的取值范围．
【分析】（1）若，则，解方程可用列举法表示；
（2）若中有且仅有一个元素，分，和且△两种情况，分别求出满足条件的值，可得集合．
（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况，①中有且仅有一个元素，②中一个元素也没有，分别求出即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）是的元素，是方程的一个根，
，即，
此时．
，，此时集合；
（2）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根，
若，则当且仅当方程的判别式△，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，
所求集合，；
（3）集合中至多有一个元素包括有两种情况，
①中有且仅有一个元素，由（2）可知此时或，
②中一个元素也没有，即，此时，且△，解得，
综合①②知的取值范围为或
【点评】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题．
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