2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法导学案

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第2课时　函数的表示方法课程标准在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．新知初探·自主学习——突出基础性教 材 要 点知识点　函数的表示方法状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.基 础 自 测　1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　)A．2    B．4C．0    D．33．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)A．3x＋2    B．3x＋1C．3x－1    D．3x＋44．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x123f(x)211 x123g(x)321 则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________． 　课堂探究·素养提升——强化创新性 题型1　列表法表示函数[逻辑推理、数学运算]例1　观察下表：x－3－2－1123f(x)41－1－335g(x)1423－2－4则f(g(2))－f(－1)＝(　　)A. 2　      B. 3　　　C. 4　　    D. 5方法归纳列表法表示的函数的求值问题的解法解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解．跟踪训练1　已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为________．x123f(x)231状元随笔　观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较． 题型2　求函数的解析式[经典例题]例2　(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(4)已知2f()＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．                 状元随笔　(1)(2)待定系数法：设一次函数的一般式f(x)＝kx＋b(k≠0)．设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (3)换元法：设＋1＝t，注意新元的范围．跟踪训练2　(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________；(3)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)＝________；(4)已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，则f(x)的解析式为________. 状元随笔　(1)换元法：设x2＋2＝t.(2)待定系数法：设f(x)＝ax＋b.题型3　函数图象状元随笔　函数图象可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域．例3　(1)作出下列函数的图象并求出其值域．①y＝2x＋1，x∈[0，2]；②y＝，x∈[2，＋∞)；③y＝x2＋2x，x∈[－2，2].      (2)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)状元随笔　由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律． 方法归纳 (1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，确定抛物线的开口方向(a＞0开口向上，a＜0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．(3)对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．跟踪训练3　(1)作出下列函数的图象：①y＝－x＋1，x∈Z；②y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；                状元随笔　②先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)． (2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．      教材反思理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．    第2课时　函数的表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点数学表达式　图象　表格[基础自测]1．解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.答案：D2．解析：结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.答案：C3．解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝.∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.方法二　∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：1　1课堂探究·素养提升例1　【解析】　g(2)＝－2，f(－2)＝1，f(－1)＝－1，所以f(g(2))－f(－1)＝f(－2)－f(－1)＝1－(－1)＝2.【答案】　A跟踪训练1　解析：由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))＞f(3)即为f(f(x))＞1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.答案：3或1例2　【解析】　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1. (3)方法一　(配凑法 )因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二　(换元法)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．【解析】(4)f(x)＋2f()＝x，令x＝，得f()＋2f(x)＝.于是得到关于f(x)与f()的方程组解得f(x)＝(x≠0)．跟踪训练2　解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.所以解得或所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.所以解得所以f(x)＝－x2＋x－3.解析：(4)由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，即f(x)－2f()＝3x，用代换上式中的x，可得f()－2f(x)＝，联立得解得f(x)＝－x－(x≠0)．答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)　(2)2x－或－2x＋1　(3)－x2＋x－3　(4)f(x)＝－x－(x≠0)例3　【解析】　(1)①列表：x012y12345当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].②列表：x2345…y1…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].③列表：x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可知函数的值域是[－1，8]. (2)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.【答案】　(1)见解析　(2)D跟踪训练3　解析：(1)①函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．②由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．【解析】(2)列表法：x/台12345678910y/元3 0006 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000图象法：如图所示．解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．