人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第二课时学案及答案，共8页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，参考答案，自我检测1，自我检测2，自我检测3等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


1．掌握含参数的一元二次不等式的解法，渗透分类谈论的思想．


2．通过一元二次不等式的求解过程，了解分式不等式、高次不等式的解法，渗透类比转化的思想．


3．会利用一元二次不等式求解实际问题，体会数学抽象、数学建模的学科素养．





（预习教材P50~ P54，回答下列问题）


复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格


















































情景：类比一元二次不等式的解法，


我们如何得到的解集呢？谈谈你的想法？














【知识点一】含参数的一元二次不等式的解法


形如，除了主元变量以外，还含有其他的变量（参变量）的不等式，我们称为含参数的一元二次不等式．


规律方法：在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：


（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a=0，a<0；


（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(>0)，一根(=0)，无根(<0)；


在有根的前提下，恰当的使用十字相乘可有效简化运算．


（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：．


自我检测1：如何得到含参数的一元二次不等式的解集？

















【知识点二】分式不等式


形如（其中是常数）的不等式，称为分式不等式．





规律方法：分式不等式向整式不等式转化时一定要注意等价转化，即分母为时的取舍．





自我检测2：求分式不等式的解集．











【知识点三】高次不等式





不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式，形如、 等．


规律方法：（穿针引线）


①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)；


②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；


③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；


④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集（注意端点的取舍）．


自我检测3：求高次不等式、 等．


的解集．








题型一 含参数的一元二次不等式的解法


【例1】解关于x的不等式．





























题型二 分式不等式、高次不等式的解法


【例2】解下列不等式：


(1) ； (2) ．

















题型三 一元二次不等式的实际应用


【例3】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．




















1．设，则“”是“”的（ ）


A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件


C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件


2．不等式的解集为（ ）


A．B．


C． D．


3．若，则不等式的解集是（ )


A．B．


C．D．


4．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_














5．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0．


























【参考答案】


学后反思 巩固提高





复习：完成下列“三个二次”之间关系的表格












































情景：当时，该不等式的解集为；


当时，该不等式的解集为；


当时，该不等式的解集为．


【自我检测1】，所以该不等式的解集同上．


【自我检测2】．


【自我检测3】；．

















【例1】【答案】当a＝0时，原不等式可化为x>1．


当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．


当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，


∵eq \f(1,a)<1，∴x1．


当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0．


若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)

若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；


若eq \f(1,a)>1，即0

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)))或x>1))；


当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；


当0

当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)

【例2】【答案】(1)eq \f(x－3,x＋2)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2

∴原不等式的解集为{x|－2

(2)∵eq \f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq \f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq \f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq \f(x－4,x－\f(3,2))≥0．


此不等式等价于(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq \f(3,2)≠0，解得x

∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)或x≥4))))．


【例3】【答案】设税率调低后“税收总收入”为y元．


y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)(0

依题意，得y≥2 400m×8%×78%，


即－eq \f(12,25)m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，


整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．


根据x的实际意义，知x的范围为0







1．设，则“”是“”的（ ）


A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件


C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件


【答案】A


2．不等式的解集为（ ）


A．B．


C． D．


【答案】B


3．若，则不等式的解集是（ )


A．B．


C．D．


【答案】D


4．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_


【答案】








5．解关于x的不等式．


【答案】对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．


①当a>4或a<－4时，Δ>0，


方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝eq \f(1,4)(－a－eq \r(a2－16))，x2＝eq \f(1,4)(－a＋eq \r(a2－16))．


∴原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,4)－a－\r(a2－16)或x>\f(1,4)－a＋\r(a2－16)))))．


②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，


∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．


③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，


∴原不等式的解集为{x|x≠1}．


④当－4

∴原不等式的解集为R．