高中第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案

这是一份高中第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式学案，共2页。学案主要包含了课题与课时，课标要求，学习目标，评价任务，学习过程，学后反思等内容，欢迎下载使用。

基本不等式.人教A版高中数学必修第一册2.2.1（1课时）
【课标要求】
会运用基本不等式证明简单的不等式，会比较代数式的大小
【学习目标】
1.了解基本不等式的证明过程；
2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小。
【评价任务】
1.完成探究一，回答思考1，完成练1（检测目标1）
2.完成探究二，回答思考2，完成练习2（检测目标2）
3.完成探究三，完成练习3（检测目标3）
【学习过程】
一、课前准备
课前自主学习了解常见的不等式
二、课中学习
1．基本不等式：如果a>0，b>0，eq \r(ab) eq \f(a＋b,2)，当且仅当 时，等号成立．
其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的 ，eq \r(ab)叫做正数a，b的 ．
2．变形：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a b时，等号成立．
a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是 ，当且仅当a b时，等号成立．
思考 不等式eq \f(a2＋b2,2)≥ab和eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)中等号成立的条件相同吗？
思考 “当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
探究一、对基本不等式的理解
例1 (多选)下面四个推导过程正确的有( )
A．若a，b为正实数，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
B．若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2
D．若a<0，b<0，则eq \f(a2＋b2,2)≤ab
思考1 对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是 ．
(2)“当且仅当”的含义：当a b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a b.
练习1下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>1，则x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2；
②若x<0，则x＋eq \f(4,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x)))))
≤－2eq \r(－x·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,x))))＝－4；
③若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.
探究二、利用基本不等式比较大小
例2 (1)如果0A．P>Q>M B．M>P>Q
C．Q>M>P D．M>Q>P
(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2；③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；
④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2.
其中恒成立的是 ．(填序号)
思考2 运用基本不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a 0，b 0，等号成立的条件是a b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a b.
练习2.比较大小：eq \f(x2＋2,\r(x2＋1)) 2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
探究三、利用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,c)－1))≥8.
练习3 已知a>0，b>0，且a＋b＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，求证：a＋b≥2.
三、过关检测
1．(多选)下列条件可使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的有( )
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
4．下列不等式中正确的是( )
A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)
5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.eq \r(ab)6．下列不等式一定成立的是( )
A．x＋eq \f(1,x)≥2 B.eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)
C.eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq \f(4,x)≥2
7．已知a，b是不相等的正数，x＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，y＝eq \r(a＋b)，则x，y的大小关系是________．
8．已知a>b>c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________________．
9．已知a>0，b>0，求证：eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,a)≥a＋b.
10．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
四、课后检测
A组（巩固学习）
1.必修第一册46页练习1、2、3（检测目标1、2、3）
B组（拓展学习）
必修第一册57页复习巩固2（检测目标3）
【学后反思】
1.本节内容你获得的核心知识有哪些？


2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？

3.你觉得还有什么内容比较薄弱，需要老师提供何种帮助，你还有什么好的经验跟大家分享，写在下方区域.