初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件教案

这是一份初中数学北师大版七年级下册第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件教案，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第9讲


讲














探索两条直线平行的条件


























概述








【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握“三线八角的”图形特征，能够利用同位角、内错角及同旁内角的角度关系判断两条直线是否平行。





学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1.“三线八角”的认识；


2.两条直线位置关系的判断方法；


3.几何证明题的逻辑及思维方式。








【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关两条直线平行的证明问题，必须从基础着手，让学生完全掌握理解“三线八角”之后自主探索发现判断直线平行的条件，在学习过程中要注意学生逻辑思维能力的培养，帮助学生打好几何证明的基础。








二、知识讲解








知识点1 “三线八角”





1.同位角、内错角及同旁内角的认识；


2.“三线八角”的识别








知识点2 两条直线平行的条件





两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；


简称：同位角相等，两直线平行


两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；


简称：内错角相等，两直线平行


3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．


简称：同旁内角互补，两直线平行


4. 平行（或垂直）于同一条直线的两条直线互相平行








三、例题精析








例题1





【题干】如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是（ ）





【答案】C


【解析】根据“三线八角”的特征判断C中的∠1和∠2不是同位角


故选C．





例题2





【题干】我们常用如图所示的方法过直线外一点画已知直线的平行线，其依据是 （ ）





A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行


C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等


【答案】A


【解析】由图可知，形成了一组相等的同位角。故选A。





例题3





【题干】如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）





A.∠3=∠4 B.∠D=∠DCE C.∠1=∠2 D.∠D+∠ACD=180°


【答案】C


【解析】当∠1=∠2根据“内错角相等，两直线平行”可判断AB∥CD，故选C





例题4





【题干】如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，若∠C=50°，∠BDE=60°，∠ADC=70°。求证：DE∥AC．





【答案】见解析。


【解析】解：∵∠BDE=60°，∠ADC=70°


∴∠CDE=180°﹣60°﹣70°=50°


∵∠C=50°


∴∠C=∠CDE


∴AC∥DE





四 、课堂运用





【教学建议】


在学习过程中要注意循序渐进，遵循从易到难的学习过程，先让学生对“三线八角”的图形有充分的认识，能够灵活快速的判断角的关系，再延伸到更复杂的几何图形中，并要注重几何思维和逻辑方法的培养，让学生养成良好的做题习惯，形成正确的阶梯格式。





基础





1. 如图，属于同位角是（ ）．





A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠1和∠4 D．∠2和∠3


【答案】A.


【解析】根据“三线八角”的角度特征判断。


2. 如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（ ）





A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5


【答案】C.


【解析】当∠1+∠3=180°时可根据“同旁内角互补两直线平行”的定理进行判定，故选C。


3. 若PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，则AB与CD平行吗？为什么？





【答案】平行，理由见解析。


【解析】解：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，


∴∠BEF=2∠1=70°，∠DFE=2∠2=110°（角平分线的定义），


∴∠BEF+∠DFE=70°+110°=180°（等式的性质），


∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．





巩固





1. 如图，下列不能判定∥的条件是( ).





A、∠B+∠BCD=180° B、 C、 D、∠B=∠5


【答案】B


【解析】由可得AD∥BC，故选B。


2. 如图，下列说法错误的是（ ）





A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥c


C．若∠3=∠2，则b∥c D．若∠3+∠5=180°，则a∥c


【答案】C


【解析】若∠3=∠2，则d∥e，故C错误。





3. 如图，直角APB的顶点P在直线b上，一边与直线a交于点A，且∠1+∠2=90°，请你说明a∥b的理由．





【答案】见解析。


【解析】解：如图


∵∠APB是直角，


∴∠3+∠2=∠APB=90°，


又∵∠1+∠2=90°，


∴∠1=∠3，∴a∥b．








拔高





1. 在下面判断两条直线平行的方法中，正确的有（ ）


①在同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线重合或平行；


②平行于同一条直线的两条直线平行；


③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；


④同位角相等，两直线平行；⑤内错角相等，两直线平行；


⑥同旁内角互补，两直线平行．


A．6个 B．5个 C．4个 D．3个


【答案】A


【解析】解：考查两条直线平行的条件，全部都正确，故选A。


2. 如图1，木工师傅在一块木板上画两条平行线，方法是：用角尺画木板边缘的两条垂线，这样画的理由有下列4种说法：其中正确的是（ ）





①同位角相等，两直线平行；


②内错角相等，两直线平行；


③同旁内角互补，两直线平行；


④平面内垂直于同一直线的两条直线平行．


A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③


【答案】C


【解析】观察图形，没有形成相等的内错角，故选C。


3. 如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边CD恰好与边AB平行．





【答案】10或28．


【解析】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，


∵AB∥CD，


∴∠CEO=∠B=40°，


∵∠C=60°，∠COD=90°，


∴∠D=90°﹣60°=30°，


∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，


∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，


∵每秒旋转10°，


∴时间为100°÷10°=10秒；





②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，


∵AB∥CD，


∴∠CEO=∠B=40°，


∵∠C=60°，∠COD=90°，


∴∠D=90°﹣60°=30°，


∴∠DOE=∠CEO﹣∠D=40°﹣30°=10°，


∴旋转角为270°+10°=280°，


∵每秒旋转10°，


∴时间为280°÷10°=28秒；


综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．





故答案为：10或28．





4. 如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.


(1)如图①，求证：DE∥BC；


(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．





【答案】见解析。


【解析】（1）如图1，





∵∠1=∠3，∠2=∠4，


∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2），


∵∠1+∠2=90°，


∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°；


∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，


∴∠D+∠B=180°，


∴DE∥BC．


（2）成立．


如图2，连接EC；





∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，


∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°；


∵∠EAC=90°，


∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，


∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，


∴DE∥BC，


即（1）中的结论仍成立．











课堂小结





1．“三线八角”的认识；


2.同位角相等，两直线平行


3.内错角相等，两直线平行


4.同旁内角互补，两直线平行


5. 平行（或垂直）于同一条直线的两条直线互相平行











扩展延伸








基础





1. 所示，下列各组角的位置，判断错误的是（ ）





A．∠C和∠CFG是同旁内角 B．∠CGF和∠AFG是内错角


C．∠BGF和∠A是同旁内角 D．∠BGF和∠AFD是同位角


【答案】C


【解析】根据“三线八角”判断，∠BGF和∠A不是同旁内角，故选C。


2. 如图，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（ ）


A．∠2=70° B．∠2=100° C．∠2=110° D．∠3=110°





【答案】C


【解析】∠1与∠2为一组同旁内角，所以当∠1+∠2=180°时，AB∥CD。故选 C


3. 如图，请你找出图中互相平行的两条直线：________．





【答案】AB∥DE


【解析】解：∠ABC与∠BGD为一组同旁内角


∵∠ABC+∠BGD=50°+130°=180°


∴AB∥DE


4. 如图，EF∥AB，FC∥AB，则可知点E、C、F在一条直线上.理由是：__________.





【答案】过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线


【解析】知识点的考查。





巩固





1. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是（ ）


A．同位角相等两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行


C．内错角相等两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行





【答案】C.


【解析】如图形成了一组相等的内错角。故选C


2. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．





【答案】BE∥DF，理由见解析。


【解析】解：∵∠A=∠C=90°（已知），


∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．


∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，


∴∠1=∠2=12∠ABC，∠3=∠4=12∠ADC（角平分线的定义）．


∴∠1+∠3=12（∠ABC+∠ADC）=12×180°=90°（等式的性质）．


又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），


∴∠3=∠AEB（同角的余角相等）．


∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．


3.我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象．如图，是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图．由于折射率相同，因此已知∠1=∠4，∠2=∠3．请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由．





【答案】c∥d；理由见解析。


【解析】解：∵∠1+∠5=∠4+∠6，∠1=∠4，


∴∠5=∠6，


∵∠2=∠3，


∴∠2+∠5=∠3+∠6（等式的性质），


∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．


4. 完成下面的证明：


已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．


求证：AB∥CD．


证明：∵DE平分∠BDC（已知），


∴∠BDC=2∠1（ ）．


∵BE平分∠ABD（已知），


∴∠ABD= （角的平分线的定义）．


∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ ）．


∵∠1+∠2=90°（已知），


∴∠ABD+∠BDC= （ ）．


∴AB∥CD（ ）．





【答案】见解析。


【解析】证明：∵DE平分∠BDC（已知），


∴∠BDC=2∠1（ 角平分线的定义 ）．


∵BE平分∠ABD（已知），


∴∠ABD= 2∠2 （角的平分线的定义）．


∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换 ）．


∵∠1+∠2=90°（已知），


∴∠ABD+∠BDC= 180° （ 等量代换 ）．


∴AB∥CD（ 同旁内角互补两直线平行 ）．





拔高





1. 如图，已知，求证： ．





【答案】见解析


【解析】证明：延长BE交CD于F．





∠BED是△DEF的外角，


三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，


又，


等量代换，


内错角相等，两直线平行．


2. 将一块直角三角板放在如图所示的位置，∠1与∠2互余，试判断直线a与b的位置关系并证明．





【答案】a∥b，理由见解析。


【解析】解：过点C作CH∥DF，


∵CH∥DF，


∴∠2=∠BCH．


∵∠1+∠2=90°，


∴∠BCH+∠1=90°，


∵∠BCH+∠ACH=90°，


∴∠1=∠ACH，


∴CH∥a，


∴a∥b．





如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．





【答案】BF、DE互相平行，理由见解析。


【解析】解：如图；


∵∠3=∠4，


∴BD∥CF，


∴∠5=∠BAF，


又∵∠5=∠6，


∴∠BAF=∠6，


∴AB∥CD，


∴∠2=∠EHA，


又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，


∴BF∥DE．


4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．


（1）求∠BOD的度数；


（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．








【答案】（1）∠BOD=36°；(2)证明见解析。


【解析】解：（1）∵∠EOC：∠EOD=2：3，


∴∠EOC=180°×=72°，


∵OA平分∠EOC，


∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，


∴∠BOD=∠AOC=36°．


（2）延长FM交AB于N，如图所示：


∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，


∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，


∴∠ONF=126°﹣36°=90°，


∴∠OFM=90°﹣36°=54°，


∴∠OFG=2∠OFM=108°，


∴∠OFG+∠EOC=180°，


∴OE∥GH．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1、利用同位角判定两直线平行；


2、利用内错角、同旁内角判定两直线平行；


3、“三线八角”的综合应用。
教学目标
1、同位角、内错角和同旁内角的概念；


2、掌握两条直线平行的条件。
教学重点
1、两直线平行的条件的掌握及运用；


2、识别“三线八角。
教学难点
1、两直线平行的条件的掌握及运用；


2、识别“三线八角。
名称
位置特征
基本图形
图形结构特征
同位角



在两条被截直线同旁，在截线同侧



去掉多余的线呈现基本图形



形如字母F(或倒置或反置)



内错角



在两条被截直线


之间(内)，在截线


两侧(交错)
形如字母Z(或倒


置或反置)



同旁内角



在两条被截直线


之间(内)，在截线


同侧
形如字母U(或倒


置或反置)