北师大版1 两条直线的位置关系教案

这是一份北师大版1 两条直线的位置关系教案，共24页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第8讲


讲














两条直线的位置关系


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握同一平面内两条直线的位置关系，掌握对顶角、余角、补角、垂直的相关概念，并能够利用相关知识解决角度计算、最短距离作图等问题。重点要培养学生对几何图形的敏感度，提高学生的观察、探索、总结能力。





学生学习本节时可能会在以下四个方面感到困难：


1.两条直线的位置关系；


2. 角的相关概念及计算；


3.垂直的定义及相关计算；


4.余角补角的相关计算。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


在学习本节课之前，先让学生复习回顾平面图形的知识，了解线和角的基本概念，然后带领学生探索发现两条直线在平面内的位置关系，然后逐步引导学生学习角度的相关概念，在学习过程中注意培养学生的分类讨论和观察概况能力。


在本节课学习中还要注意培养学生的作图能力，比如垂线段的作法等，提高学生对几何图形的敏感度。








二、知识讲解








知识点1 两条直线的位置关系


Iangt





1.平面内，两条直线的位置关系有两种：平行或相交。


2.对顶角的定义。


3.余角补角的定义及计算。





知识点2 垂直





1.垂直的定义及判断。


2.平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线垂直.


3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.





三、例题精析








例题1





【题干】下列说法正确的有（ ）


①两点之间的所有连线中，线段最短；


②相等的角叫对顶角；


③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；


④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；


⑤两点之间的距离是两点间的线段；


⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．


A．1个B．2个C．3个D．4个


【答案】B


【解析】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①正确．


②相等的角不一定是对顶角，故②错误．


③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误．


④平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误．


⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤错误．


⑥在同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥正确．


综上所述，正确的结论有2个．


故选：B．





例题2





【题干】如图，三条直线交于同一点，∠1：∠2：∠3=2：3：1，则∠4= ．








【答案】60°


【解析】解：∵∠1与∠4，∠1：∠2：∠3=2：3：1，


∴∠4：∠2：∠3=2：3：1，


∵∠2+∠3+∠4=180°，


∴∠3=30°，∠4=60°，∠2=90°，


故答案为60°．





例题3





【题干】如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）





A．两点之间线段最短B．点到直线的距离


C．两点确定一条直线D．垂线段最短


【答案】D


【解析】要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，


故选：D．





例题4





【题干】如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段 的长，点B到CD边的距离是线段 的长，图中的直角有 ，∠A的余角有 ，和∠A相等的角有 ．





【答案】AC;BD；∠ACB、∠ADC、∠CDB；∠ACD、∠B ；∠BCD


【解析】解：∵从直线外一点到这条直线作垂线段，垂线段的长是这点到这条直线的距离，AC⊥BC，CD⊥AB，


∴点A到BC边的距离是线段AC的长，点B到CD边的距离是线段BD的长，


∵AC⊥BC，CD⊥AB，


∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，


∴图中的直角有∠ACB，∠ADC，∠BDC，


∵∠ACB=∠BDC═∠ADC=90°，


∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，


∴∠A=∠BCD，


∠A的余角有∠ACD和∠B，和∠A相等的角有∠BCD，








例题5





【题干】如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，


（1）若∠1=∠2，求∠NOD的度数


（2）若∠1=∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．





【答案】5


【解析】解：（1）∵OM⊥AB，∠1=∠2，


∴∠1+∠AOC=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°；


又∠NOC+∠NOD=180°，


∴∠NOD=90°；


（2）∵OM⊥AB，∠1=∠BOC，


∴∠BOC=120°，∠1=30°；


又∠AOC+∠BOC=180°，


∴∠AOC=60°；


而∠AOC=∠BOD（对顶角相等），


∴∠MOD=∠MOB+∠AOC=150°．





四 、课堂运用





【教学建议】


在学习过程中注意引导学生自己去探索发现，特别是角之间的位置关系和数量关系，可通过变换不同的图形让学生充分理解，对余角、补角、邻补角、对顶角等角度有深刻的认识；对于作图问题可让学生自己去进行测量，加深印象。





基础





1. 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种 ， 。


【答案】平行，相交


【解析】在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交，平行．


故答案为：平行，相交


2. 如果点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a、b、c两两相交符合以上条件的图形是（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】解：A．不符合直线a、b、c两两相交；


B．不符合点P在直线a上；


C．不符合点P不在直线c上；


D．符合条件，


故选：D．


3. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


【答案】D


【解析】解：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；


第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；


第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；


第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误．


故选D．


4. 补全解答过程：


已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC：∠EOD=2：3，求∠BOD的度数．


解：由题意∠EOC：∠EOD=2：3，


设∠EOC=2x°，则∠EOD=3x°．


∵∠EOC+∠ =180°（ ），


∴2x+3x=180．


x=36．


∴∠EOC=72°．


∵OA平分∠EOC（已知），


∴∠AOC=∠EOC=36°．


∵∠BOD=∠AOC（ ），


∴∠BOD= （等量代换）





【答案】见解析。


【解析】由题意∠EOC：∠EOD=2：3，


设∠EOC=2x°，则∠EOD=3x°．


∵∠EOC+∠ EOD =180°（ 平角的定义 ），


∴2x+3x=180．


x=36．


∴∠EOC=72°．


∵OA平分∠EOC（已知），


∴∠AOC=∠EOC=36°．


∵∠BOD=∠AOC（ 对顶角相等 ），


∴∠BOD= 36° （等量代换）





巩固





1. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）





【答案】见解析。


【解析】解：如图，∠4=∠1，


∵∠2+∠3+∠4=180°，


∴∠1+∠2+∠3=180°．


故选C．





2. 观察下列图形，并阅读，图形下面的相关文字．





两条直线相交最多有1个交点 三条直线相交最多有3个交点 四条直线相交最多有6个交点 。则n条直线最多有 个交点．


【答案】。


【解析】解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1=，


三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3=


四条直线相交，最多有6个交点，即6=


五条直线相交，最多有10个交点，即5=，


∴n条直线相交，最多的交点个数是，


故答案为：．


3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；


（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为 ，∠BOE的邻补角为 ；


（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．





【答案】见解析


【解析】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；


（2）∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：3，


∴得，


∴，


∴∠BOE=28°，


∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．


4.如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．


（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是 ．


（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是 ．





【答案】垂线段最短；两点之间线段最短。


【解析】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．


（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．








拔高





1. 同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（ ）个．


A．1或3B．0、1或3C．0、1或2D．0、1、2或3


【答案】D


【解析】解：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3．





故选D．


2.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，BC=6，AB=8，AC=10，则点B到AC的距离是 ．





【答案】4.8


【解析】解：过B点作AC的垂线，垂足为D，由“面积法”可知，


BD×AC=AB×BC，即BD×10=8×6，


∴BD=4.8，即点B到AC的距离是4.8．


故填4.8．





3.（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．


（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF的度数．





【答案】见解析。


【解析】解：（1）如图，∵∠2=155°，


∴∠1=180°﹣∠2=180°﹣155°=25°，


∴∠3=2∠1=2×25°=50°，


∵∠3=∠4，（对顶角相等）


∴∠4=50°，


（2）∵∠AOD：∠BOE=4：1，


∴∠AOD=4∠BOE，


∵OE平分∠BOD，


∴∠D0E=∠EOB，


∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，


∴6∠BOE=180°，


∴∠BOE=∠DOE=30°，


∴∠COE=180°﹣30°=150°，


∵OF平分∠COE，


∴∠EOF=75°，


∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=75°﹣30°=45°，


∠AOF=180°﹣45°=135°．








课堂小结





1．平面内两条直线的位置关系：相交或平行；


2．对顶角、邻补角、余角、补角的概念及计算；


3.垂直的概念及计算；


4.作图问题。











扩展延伸








基础





1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）


A．平行B．相交


C．平行或相交D．平行、相交或垂直


【答案】C


【解析】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交，


所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交．


故选C．


2. 下列说法：


①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角；


②如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；


③邻补角的两条角平分线构成一个直角；


④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的是（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


【答案】C


【解析】解：①两条直线相交，有公共顶点而没有公共边的两个角是对顶角，对；


②直线延长可能有交点，错；


③邻补角的两条角平分线构成一个直角，对；


④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，对．


故选C．


3． 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，求∠COE的度数。





【答案】70°


【解析】解：∵∠BOD=20°，


∴∠AOC=∠BOD=20°，


∵OE⊥AB，


∴∠AOE=90°，


∴∠COE=90°﹣20°=70°





巩固





1. 一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2= 90 度．





【答案】见解析


【解析】解：如图，


∵∠1=∠3，∠2=∠4，


而∠3+∠4=90°，


∴∠1+∠2=90°．


故答案为：90．





2． 如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点的距离 4.6米．（填“大于”“小于”或“等于”）





【答案】大于


【解析】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，


又∵垂线段最短，


∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，


故答案为：大于．


3. 如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD．


（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：


① ；② ．


（2）如果∠AOD=40°．


①那么根据 ，可得∠BOC= 度．


②因为OP是∠BOC的平分线，所以∠COP=∠ = 度．


③求∠BOF的度数．





【答案】见解析


【解析】解：（1）∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD（写出任意两个即可）；


（2）①对顶角相等，40度；


②∠COP=∠BOC=20°；


③∵∠AOD=40°，


∴∠BOF=90°﹣40°=50°．








拔高





1.如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是 （填序号）．





【答案】①④


【解析】解：①如图，因为BD⊥CE，因此BM的长是点B到CE的距离，故①正确；


②如图，因为CE与AB不垂直，因此CE的长不是点C到AB的距离．故②错误；


③如图，因为BD与AC不垂直，因此BD的长不是点B到AC的距离．故③错误；


④如图，因为BD⊥CE，因此CM的长是点C到BD的距离，故④正确；


综上所述，正确的说法是①④．


故答案为：①④．


2. 若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠A= ．


【答案】30°或110°．


【解析】解：解：设∠B是x度，根据题意，得


①两个角相等时，如图1：


∠B=∠A=x°，


x=2x﹣30


解得，x=30，


故∠A=30°，


②两个角互补时，如图2：


x+2x﹣30=180，


所以x=70，


2×70°﹣30°=110°


故答案为：30°或110°．





3.如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线．





（1）求∠COD的度数．


（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．


【答案】（1）45°；（2）垂直，理由见解析。


【解析】解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=∠BOC，


∴∠BOC+∠BOC=180°，解得∠BOC=135°，


∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣135°=45°，


∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOC=45°．


（2）OD⊥AB．理由：由（1）知∠AOC=∠COD=45°，


∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，∴OD⊥AB（垂直定义）．


4.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．





（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；


（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；


（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）


【答案】（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（ QUOTE 3607 3607）°﹣ QUOTE 47 47α°，∠BOF=（ QUOTE 3607 3607）°+ QUOTE 37 37α°


【解析】解：（1）若∠AOC=76°，则∠BOD=∠AOC=76°，∠BOC=180°-76°=104°


∵OE平分∠BOD


∴∠BOE=12∠∠BOD=38°


∴∠COE=∠BOC+∠BOE=104°+38°=142°


∴∠COF=12∠COE=71°


∴∠BOF=∠BOC-∠COF=104°-71°=33°


（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE


∴∠BOE=12∠BOD=12∠AOC


∠EOF=12∠COE


∴12∠COE - 1 2∠AOC=36°


∴∠COE - ∠AOC=72°


∠COE=180°- 1 2∠AOC


∴180°- 1 2∠AOC - ∠AOC=72°


∴∠AOC=108°×23 =72°。


(3) ∠AOC=2x=（ QUOTE 3607 3607）°﹣ QUOTE 47 47α°，∠BOF=（ QUOTE 3607 3607）°+ QUOTE 37 37α°


5. 在初中数学中，我们学习了“两点间的距离”、“点到直线的距离”、“平行线之间的距离”，距离的本质是“最短”，图形之间的距离总可以转化为两点之间的距离，如“垂线段最短”的性质，把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离．


一般的，一个图形上的任意点A与另一个图形上的任意点B之间的距离的最小值叫做两个图形的距离．


（1）如图1，过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段 的长度．


（2）如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，那么线段AD与线段BC的距离为 ．


（3）如图3，若长为1cm的线段CD与已知线段AB的距离为1．5cm，请用适当的方法表示满足条件的所有线段CD．


注：若满足条件的线段是有限的，请画出；若满足条件的线段是无限的，请用阴影表示其所在区域．（保留画图痕迹）





【答案】（1）AC的长度；（2）3；(3) 见解析。


【解析】解：（1）如图所示：





过A，B分别作垂线段AC、AD、BE、BF，则线段AB和直线l的距离为垂线段为：AC的长度；


（2）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，


∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，AD=2，∴∠A=60°则∠ACD=30°，∴AC=2AD=4，∴AB=2AC=8，


∴BD=6，则DE=BD=3；


（3）如图3所示：




















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1．相交线与平行线；


2．对顶角的概念及其性质；


3．补角和余角；


4．垂线的概念与性质；


5．点到直线的距离；


6．对顶角、补角、余角及垂直的综合应用。
教学目标
1．掌握两条直线平行的充要条件，并会根据直线方程判定，两条直线是否平行；


2．通过教学，提高学生用旧知识解决新问题的能力，培养学生探索、概括能力。
教学重点
掌握两条直线之间的位置关系及相关概念。
教学难点
余角补角的相关计算及最短距离计算。