数学九年级下册1 二次函数当堂检测题

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第二章 二次函数（A卷·知识通关练）
班级 姓名 学号 分数

核心知识1 二次函数的定义及辨别
核心知识2 二次函数的图象和性质
核心知识3 待定系数法求二次函数的表达式
核心知识4 二次函数的平移
核心知识5 利用二次函数解决实际问题
核心知识6 二次函数中面积、周长、线段最值问题
核心知识7 新定义型二次函数问题

核心知识1 二次函数的定义及辨别
例题：（2022·江苏·盐城市初级中学一模）下列函数中为二次函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
【详解】
解：A、，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、，是二次函数，故此选项符合题意；
C、，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、，未知数的最高次为3，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义；熟练掌握二次函数解析式的一般形式()，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·北京房山·九年级期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ）
A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答．
【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
2．（2020·陕西·西安市大明宫中学三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（       ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义判断即可．
【详解】
①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
3．（2022·全国·九年级）已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___．
【答案】     3     -5     1
【解析】
【分析】
形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可．
【详解】
解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，
故答案为：3，﹣5，1．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．
4．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）已知是关于的二次函数，那么的值____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义，中，未知数x的指数为2，系数不为0，列式计算即可．
【详解】
解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
5．（2021·广东广州·九年级期中）关于的函数是二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，求出m的值即可解决问题．
【详解】
解：∵是关于x的二次函数，
∴m2-m=2，m+1≠0，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的定义及解一元二次方程；牢固掌握定义和方程的解法是解题的关键．
6．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）已知是二次函数，则的值为___________．
【答案】-1
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得：．
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数是解题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
【答案】(1)a=1
(2)a=0或﹣1
【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
(1)
当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
(2)
当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）一个二次函数．
（1）求k的值．
（2）求当x=3时，y的值？
【答案】（1）k=2；（2）14
【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可；
（2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可．
【详解】解：（1）依题意有，
解得：k=2，
∴k的值为2；
（2）把k=2代入函数解析式中得：，
当x=3时，y=14，
∴y的值为14．
【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键．

核心知识2 二次函数的图象和性质
例题：（2022·全国·九年级）二次函数的图象和性质描述正确的是(        )
A．函数图象开口朝下 B．当时，y随x的增大而增大
C．函数的最小值大于零 D．函数图象与y轴的交点位于轴负半轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【详解】
解：二次函数y=x2+2x+3=（x+2）2+1，对称轴为直线x=-2．
A、a=＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；
C、该函数的最小值为1，大于零，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴的正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
【变式训练】
1．（2022·河北· 沧州渤海新区京师学校九年级阶段练习）已知二次函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数图象经过点 B．当时，函数有最大值，最大值是
C．当时，随的增大而减小 D．对称轴是直线
【答案】D
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得出函数的顶点坐标，对称轴，然后分别判断即可．
【详解】解：A.把代入得：，
∴函数图象经过点，不经过点，故A错误；
B. ，
∴当时，函数有最大值，最大值是，故B错误；
C.∵，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故C错误；
D.抛物线的对称轴为直线，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，将抛物线的一般形式化为顶点式，得出抛物线的顶点坐标和对称轴，是解题的关键．
2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（    ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
【答案】D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
3．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是（       ）
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
A．抛物线开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．当时， D．的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．
【详解】
解：将点，，代入二次函数的解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴A选项不符合题意；
∵由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，这时抛物线取得最大值，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，
∴B选项不符合题意；
∵当时，；当时，，
又∵抛物线的对称轴为，
当时，，
又∵，
∴当时，，
∴C选项符合题意；
∵抛物线的解析式为，
∴当时，抛物线取得最大值，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．
4．（江西省景德镇市2020-2021学年下学期九年级期中（质检）数学试题）关于抛物线，下列说法错误的是（       ）
A．当时，对称轴是轴 B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点 D．时，对称轴在轴的左侧
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：A、抛物线，
当时，对称轴是直线，即轴，故选项A正确，不符合题意，
B、当时，过点，故选项B正确，不符合题意，
C、当时，，此时解析式中的正好可以消掉，故选项C正确，不符合题意，
D、抛物线的对称轴是直线，当时，对称轴在轴右侧，故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（2021·辽宁沈阳·一模）抛物线y＝3x2﹣6x+5的顶点坐标为_______．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】
将抛物线的解析式化为顶点式，然后即可写出抛物线的顶点坐标．
【详解】
解：∵抛物线y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会将抛物线解析式化为顶点式．
6．（2022·江苏·通州湾三余初级中学九年级阶段练习）若抛物线y＝﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是___．
【答案】（4，0）
【分析】先求得对称轴为直线，设另一交点为，根据对称性，求出的值即可．
【详解】解：∵抛物线y＝﹣2x+m与x轴的一个交点是（﹣2，0），对称轴为直线，
设另一交点为，
∴，
解得，
∴另一交点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
7．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学九年级阶段练习）对于已知二次函数，当x____时，函数值y随x的增大而减小；当x____时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为____．
【答案】     >1     <1    
【分析】将二次函数的表达式化为顶点式，根据函数的开口方向和对称轴即可判断函数的增减性和最值．
【详解】解：，
∴该函数的顶点坐标（1，）
∵二次项系数为，
∴该函数图像开口向下，
∴当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大；当x=1时，函数取最值，最大值为，
故答案为：>1，<1，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（2022·天津北辰·九年级期末）已知二次函数
(1)填写表中空格处的数值
x
…


1
2

…

…

3


0
…
(2)根据上表，画出这个二次函数的图象；

(3)根据表格、图象，当时，y的取值范围__________．
【答案】(1)表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)图象见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）将表格中的x值和y值分别代入二次函数中，求值即可填表；
（2）根据表格，利用描点法即可画出图象；
（3）计算出时，y的值，再结合图象即可解答．
(1)
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
将代入，得：；
将代入，得：；
将代入，得：，
解得：，；
故表格中的数值从左到右依次为：0，0，4，3，3；
(2)
根据表格可画出图象如下：

(3)
当时，
结合图象可知y的取值范围是．
故答案为．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键．
9．（2022·浙江·九年级单元测试）已知二次函数y＝．
(1)写出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象说出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值是多少？
【答案】(1)抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3
(2)见解析
(3)当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，y有最大值，最大值为2
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴；
（2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象；
（3）结合抛物线图象及增减性可求得答案．
（1）
解：（1）∵y＝＝，
∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3；
（2）
在y＝中，
令y＝0可得．
解得x＝﹣1或﹣5，
令x＝0可得y＝，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：

（3）
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，2），
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，y有最大值，最大值为2．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
10．（2020·天津市红桥区教师发展中心九年级期中）已知二次函数的图象为抛物线．
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当时，求该二次函数的函数值的取值范围；
(3)将抛物线先向左平移个单位长度，得到抛物线；再将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线，对应的函数解析式．
【答案】(1)抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
(2)函数值的取值范围是
(3)抛物线对应的函数解析式为；抛物线对应的函数解析式为．
【分析】（1）根据二次函数的性质进行解题即可；
（2）根据二次函数的增减性进行解题即可；
（3）根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减进行解题即可．
（1）
解：∵，
∴抛物线的开口向上．  
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）
解：∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
∵当时，；当时，，x=2时，y=-1，
∴函数值的取值范围是：．
（3）
解：∵抛物线向左平移个单位长度：，
∴抛物线对应的函数解析式为；
∵再向上平移两个单位：
∴抛物线对应的函数解析式为．
【点睛】本题考查二次函数的性质和平移．熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键．

核心知识3 待定系数法求二次函数的表达式
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2
(1)若抛物线经过坐标原点，求此时抛物线的解析式；
(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
【答案】(1)y＝x2+2x
(2)（﹣2，0）
【分析】（1）用待定系数法将（0，0）代入进行计算即可得；
（2）设抛物线的顶点坐标为（p，q），即可得，，顶点移到最高处，即是q取最大值，而进行计算，利用二次函数的性质即可得．
（1）
解：将（0，0）代入得：
，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：设抛物线的顶点坐标为（p，q），
则，，
顶点移到最高处，即是q取最大值，
而
＝
＝
＝，
∵，
∴当时，q最大值是0，
此时，
∴当顶点移到最高处时，抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是作为待定系数法，二次函数的性质．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)
【分析】（1）将点（-2，0）代入求解；
（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函数解析式得，
解得或，
∴或，
∵n为正数，
∴，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线顶点在下方，
∴，．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．
2．（2022·湖北·浠水县兰溪镇河口中学九年级阶段练习）已知某二次函数的图象经过点（2，-6），当x＝1时，函数的最大值为-4，求此二次函数的解析式．
【答案】
【分析】根据题意得到抛物线的顶点坐标为（1，-4），于是可设顶点式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．
【详解】解：∵当x=1时，函数的最大值为-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
设所求二次函数解析式为，
把（2，-6）代入得，解得a=-2，
∴此二次函数解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
3．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，

【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．
（1）
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）
解：∵抛物线的解析式为；
∴其对称轴，顶点的坐标为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵，，
∴设过点、的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
当点在点上方时，，解得，
∴此时；
当点在点下方时，，解得，
∴此时，
综上所述，可得：，．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
4．（2021·山东·嘉祥县金屯镇中学九年级阶段练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝
(2)存在，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）
(3)点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）
【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程组即可；
（2）先假设存点P，设出P点坐标，利用△PAB的面积与△ABC的面积相等建立方程求解即可；
（3）如图1中，分三种情形①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
（1）
解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），
理由如下：
∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，
∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，
设点P的纵坐标为，由△PAB的面积与△ABC的面积相等，得：
，
∴．
解得：或．
当时，＝﹣6，
解得，
当时，＝6，
解得：（此时与点C重合，舍去），，
综上所述，点P的坐标为：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；
（3）
解：如图
∵抛物线的解析式为：，
∴它的对称轴为直线x＝﹣2，
∴M（﹣2，0），
设点Q坐标为（﹣2，t）．
∵中，当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∵M（﹣2，0），
∴，，．
①当CQ＝QM时，，
解得，
∴点Q的坐标为，此时，MC不是腰，不符合题意，舍去；
②当CM＝QM时，，
解得：，
∴点Q的坐标为或，
③当CM＝CQ时，，
解得：t＝0（舍去），或t＝12，
∴Q点坐标为
综上所述，符合条件的点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）

【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积问题等知识，解题的关键是分类讨论思想的运用，属于中考压轴题．
5．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．
【答案】(1)y＝
(2)△ABD的面积为6
(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣)
【分析】（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；
（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；
（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解方程组即可求得点E坐标．
（1）
∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，解得：．
∴抛物线的解析式为y＝．
（2）
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB•AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面积为6．
（3）
在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，

设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：
，
解得：．
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

核心知识4 二次函数的平移
例题：（2022·浙江宁波·八年级期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(     )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：y=x2−6x+5=(x−3)2−4，即抛物线的顶点坐标为(3，−4)，
把点(3，−4)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到点的坐标为(4，−2)，
所以平移后得到的抛物线解析式为y=(x−4)2−2．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【变式训练】
1．（2021·西藏·柳梧初级中学九年级期中）把抛物线y＝5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线是（       ）
A．y＝5（x＋2）2＋3 B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3 D．y＝5（x＋－2）2－3
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
【详解】
解：将抛物线y=5x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到函数解析式是：
y=5（x+2）2+3．
故选：A．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减．
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的平移可进行求解．
【详解】
解：由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可知平移后的抛物线解析式为；
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
3．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故选：A．
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是________．
【答案】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是，即，
【点睛】本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．

核心知识5 利用二次函数解决实际问题
例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为件：
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？
【答案】(1)26
(2)当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
【解析】
【分析】
（1）由题意可直接进行求解；
（2）设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意可列出函数关系式，进而问题可求解．
(1)
解：由题意得：平均每天销售数量为（件）；
故答案为26；
(2)
解：设每件商品降价x元，每天销售利润为w元，由题意得：
，
∵每件盈利不少于25元，
∴，解得：，
∵-2＜0，对称轴为直线，
∴当时，w有最大值，
答：当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．

(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】(1)
(2)在对称轴右边1m​处，桥洞离水面的高是m
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据对称轴为：，得出对称轴右边1m处为：，代入即可求解．
(1)
解：由题意可得：抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为：．
(2)
解：对称轴为：，则对称轴右边1m处为：，
将代入，可得：，解得：，
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是m．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
2．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图，利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．

(1)求s与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)若矩形场地的面枳最大，应该如何设计长与宽．
【答案】(1)．
(2)当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）由，可得出，由墙长10米，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用矩形的面积公式即可得出关于的函数关系式；
（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解．
(1)
解：，
．
又墙长10米，
，
．
．
(2)
解：由（1）可知：，
∴当时，矩形的场地面积最大，最大值为50；
答：当矩形场地长为10米，宽为5米时，矩形的面积最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
3．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
(1)设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．
(2)如果想要每月获得的利润为2000元，那么每月的单价定为多少元？
(3)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）
(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元
(3)当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元
【解析】
【分析】
（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）把2000元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
（3）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
(1)
解：由题意得：w=（x-20）•y
=（x-20）•（-10x+500）
=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；
(2)
由题意可知：
-10x2+700x-10000=2000，
解这个方程得：x1=30，x2=40．
由（1）得，20≤x≤32，
∴如果张明想要每月获得的利润为2000元，张明每月的单价定为30元；
(3)
对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x==35．
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，
∴当x=32时，w=2160，
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
4．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
(1)
（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

                      图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．


(2)
的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．

核心知识6 二次函数中面积、周长、线段最值问题
例题：（2022·湖北·咸宁市浮山学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；
(3)在MB上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）先求所在直线的解析式，用含的代数式表示点的坐标及的面积，求出关于的函数关系式，用函数的性质判断并求出的最值；
（3）存在符合条件的点，分三种情况根据点的位置或勾股定理列方程求出的值及点的坐标．
（1）
解：把、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）
解：有最大值．理由如下：
如图1，设直线的解析式为，

，
∴该抛物线的顶点坐标为，
把、代入，得，
解得，
∴，
，
∴；
由，
得；
∵当点与点重合时，不存在以、、为顶点的三角形，
∴，
∴不存在最小值；
，
∴当时，，
∴的最大值为．
（3）
解：存在，理由如下：
若，如图2，则轴，

∴，且在直线上，
∴，
解得，
∴；
若，如图3，则，

∴，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）；
∴，；
若，则，
∴，
整理，得，
解得，
此时不存在以，，为顶点的三角形，
∴舍去．
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质、勾股定理、用待定系数法求函数解析式、二次根式的化简等知识，解第（3）题时应分类讨论并进行必要的检验，求出所有符合条件的点的坐标．
【变式训练】
1．（2021·内蒙古·通辽市科尔沁区第七中学九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且OA＝OC，连接AC．

(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P是直线AC下方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，△ACP面积的最大值为，此时点；
(3)点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）

【分析】（1）利用抛物线的解析式令时，求得点的坐标，再利用OA＝OC，求得点的坐标，代入抛物线的解析式即可求解；
（2）过点P作轴交AC于点H，利用即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解．
（1）
解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴（0，-3）
故OC＝3＝OA，
∴A（﹣3，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
故抛物线的表达式为；
（2）
设直线AC的表达式为，
∵直线AC过点（0，-3），A（﹣3，0），
∴，解得
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点P作轴交AC于点H，

设点P（x，），则点H（x，﹣x﹣3），
∴，
则


，
∵＜0，故△ACP面积有最大值，当时，△ACP面积的最大值为，
∴当时，
此时点P（，）；
（3）
对于，令y＝0，
即，
解得x＝﹣3或1，
故点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线为x＝﹣1，
设点F（m，n），即n＝m2+2m﹣3①，点E（﹣1，t），
①当AB是边时，
点A向右平移4个单位得到点B，同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F），
即m±4＝﹣1②，
联立①②并解得或，
故点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）；
②当AB是对角线时，A（﹣3，0），B（1，0），
由中点公式得：③，
联立①③并解得，
故点F的坐标为（﹣1，﹣4）；
综上，点F的坐标为（﹣5，12）或（3，12）或（﹣1，﹣4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中点坐标公式的运用、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2．（2022·江西吉安·九年级期末）如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【答案】(1)
(2)P（4，21），（﹣4，5）
(3)
【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D，根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
（1）
令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式．
（2）
当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴，
设，
∴＝×3×|x|，
∵＝，
∴，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）
∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点，
∴，
∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键
3．（2022·广西·银海学校八年级期末）如图，已知抛物线的解析式为，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．

(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；
(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；
(3)若点为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使最大时点的坐标，并请直接写出的最大值．
【答案】(1)A（-4，0），B（1，0），C（0，3），对称轴为直线
(2)M（1，5），N（4，1）
(3)当P的坐标为（1，0）或时，的值最大，此时最大值为
【分析】（1）提取二次项系数后分解因式，可以得出抛物线与x轴交点，令x=0代入可以得到与y轴的交点，把解析式配方后可得对称轴；
（2）根据题意作出几何图形，通过旋转性质以及通过AAS求证△OBC≌△QNB即可分别求出M、N的坐标；
（3）分析题意可得出，当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，联立直线BN解析式以及抛物线解析式即可求出P的坐标．
（1）
解：∵，
令x=0，则y=3，
令y=0，则，
解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），
∵，
∴对称轴为直线x=-；
（2）
解：如图所示：
过N作NQ⊥x轴于点Q，
由旋转性质得MB⊥x轴，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，
∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，
∵∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠QBN，
又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，
∴△OBC≌△QNB（AAS），
∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，
∴OQ=1+3=4，
∴N（4，1）；

（3）
解：设直线NB的解析式为y=kx+b.
∵B（1，0）、N（4，1）在直线NB上，
∴，
解得：，
∴直线NB的解析式为：y=x-，
当点P，N，B在同一直线上时|NP-BP|=NB=，
当点P，N，B不在同一条直线上时|NP-BP|＜NB，
∴当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大，
即点P为直线NB与抛物线的交点．
解方程组：，
解得：或，
∴当P的坐标为（1，0）或时，|NP-BP|的值最大，此时最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法，旋转性质，全等三角形的判定与性质等知识，本题的关键是数形相结合，以及正确讨论出当P，N，B在同一直线上时，|NP-BP|的值最大是解题的关键．

核心知识7 新定义型二次函数问题
例题：（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校二模）在平面直角坐标系中，若对于任意两点，、，，都有，则称A、两点互为“友好点”．已知点．
(1)若、、，则点A的“友好点”是 　　；
(2)若、都在双曲线上，且A、两点互为“友好点”．请求出点的坐标；
(3)已知抛物线，，，为常数）．顶点为点，与轴交于A、两点，与直线交于、两点．若满足①抛物线过点；②为等边三角形；③、两点互为“友好点”．求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)202
【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论；
（2）利用待定系数法求得值，利用互为“友好点”的定义列出关于的方程，解方程求得值即可得出结论；
（3）利用待定系数法求得值，利用为等边三角形得到，将抛物线与直线联立得到，设，，，，利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用、两点互为“友好点”，得到，整理得到，将此式子代入中即可得出值，将，值代入运算即可得出结论
（1）
解：，
点A与点不是互为“友好点”；
，
点A与点是互为“友好点”；
，
点A与点不是互为“友好点”，
综上，点A的“友好点”是点，
故答案为：；
（2）
在双曲线上，
．
．
、两点互为“友好点”，
，
解得：或．
或；
（3）
抛物线过点，
，
．
抛物线与轴交于A、两点，
．
抛物线的顶点为点，
，．
则中边上的高为．
为等边三角形，
，
，
，
．
抛物线与直线交于、两点，
，
．
设，，，，
则，是方程的两个根，
．
、两点互为“友好点”，
，
，
．
．
．
．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，此题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的意义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线．
(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ）
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ）
③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ）
(2)已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式；
(3)已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段的长．
【答案】(1)√，×，√
(2)或
(3)
【分析】（1）根据“互为关联”的抛物线进行一一判断进行解答即可；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根抛物线与关于点中心对称可得顶点坐标为，再根据抛物线与是“互为关联”的抛物线得出在上，从而可得，解出m的值即可得出结果；
（3）由抛物线与是“互为关联”的抛物线可得，即，从而可得，，再由可得出，即可得，再根据当时和当两种情况讨论即可．
（1）
①抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线，顶点坐标是（1，-1），
当将x=0代入得y=0，将x=1代入得y=-1，
所以抛物线的顶点在图像上，抛物线的顶点在图像上，
故答案为：√；
②与抛物线是“互为关联”的抛物线有无数条，比如、都与抛物线是“互为关联”的抛物线，
故答案为：×；
③∵设顶点不同的两条抛物线与关联，
∴有
①+②得，
∴m≠p,
∴，
∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数．
故答案为：√；
（2）
抛物线的顶点
抛物线与关于点中心对称
顶点
抛物线与是“互为关联”的抛物线
在上

解得：，
当时，的顶点，

当时，的顶点，
（3）
，
抛物线与是“互为关联”的抛物线
，即
，

，即

当时，（舍）
当，即时，，

，
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
2．（2022·湖南·长沙市立信中学八年级期末）已知y是x的函数，若函数图像上存在一点P（a，b），满足b﹣a＝2，则称点P为函数图像上“梦幻点”．例如：直线y＝2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）．
(1)求直线上的“梦幻点”的坐标；
(2)已知在双曲线（k≠0）上存在两个“梦幻点”且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值．
(3)若二次函数的图像上存在唯一的梦幻点，且﹣2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
【答案】(1)（2，4）
(2)k＝﹣
(3)4+或1
【分析】（1）设梦幻点P（a，a+2），代入直线解析式即可求解；
（2）将梦幻点P（a，a＋2）代入双曲线解析式求得a＝，从而得出（，），（，），再利用两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）把梦幻点P（a，a＋2）的坐标代入二次函数表达式，化简得，由于图象上存在唯一的梦幻点，故Δ＝0，得出，该函数图象开口向上，对称轴为m＝t，分①当对称轴m＝t≥3，②当对称轴m＝t≤−2，③当对称轴−2＜m＝t＜3，三种情况讨论求解即可．
（1）
解：设梦幻点P（a，a+2），
∵点P是直线上的“梦幻点”，
∴，
∴a＝2，
∴“梦幻点”的坐标P（2，4）；
（2）
设梦幻点P（a，a+2），
∵点P（a，a+2）在双曲线（k≠0）上，
∴k＝a（a+2），
∴a＝，
∴（，），（，），
∵两个“梦幻点”之间的距离为，
∴，
解得：；
（3）
设梦幻点P（a，a+2），
∵点P（a，a+2）在二次函数的图像上，
∴，
∴，
∵图像上存在唯一的梦幻点，
∴Δ＝＝0，
∴，
将其看作是n关于m的二次函数，则该函数图像开口向上，对称轴为m＝t，
①当对称轴m＝t≥3时，函数在m＝3时，取得最小值，
即：，
解得：t＝或t＝（舍去）；
②当对称轴m＝t≤﹣2时，函数在m＝﹣2时，取得最小值，
即：，
整理得：，
∴此方程无解；
③当对称轴﹣2＜m＝t＜3时，函数在m＝t时，取得最小值，
即：，
解得：t＝1，
综上所述，t的值为或1．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例、二次函数图像上点的坐标特征，两点间距离公式，解一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，属于新定义类题目，需要理解新定义，按要求逐步求解，该题涉及的字母多，一定要思路清晰，分清字母代表的含义细心求解．