北师大版九年级数学下册同步精品讲义 第06讲 二次函数的图象与性质（原卷版）

第06讲 二次函数的图象与性质目标导航知识精讲知识点01 二次函数y=x2和y=-x2的图象的画法画二次函数的图象，一般用描点法，分列表、描点、连线三步，具体步骤如下：（1）列表：先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取点，因为关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以只计算y轴右侧点的纵坐标，对应写出左侧点的坐标即可，为了计算方便，横坐标一般取整数。（2）描点：先将y轴右侧的点描出来，再按对称关系描出y轴左侧的对称点。（3）连线：按照从左到右的顺序将这些点用光滑的曲线连接起来，画图象不应画到“两端”为止，而应到画成向两个方向延伸的形状。提示：（1）因为函数y=x2和y=-x2的自变量的取值范围是全体实数。所以画图象时应以原点（0，0）为对称中心取值。（2）描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分，因为x可取一切实数，所以函数应是向两个方向无限延伸的。知识点02 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质知识点03 二次函数y=ax2的图象与性质1．二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，可类比用描点法画其图象。2．二次函数y=ax2的性质：知识点04 二次函数y=ax2+c的图象与性质1．二次函数y=ax2的图象与性质2．二次函数y=ax2+c与y=ax2的关系(1）相同点：①图象都是抛物线，形状相同，开口方向相同，开口大小相同。②都是轴对称图形，对称轴都是 y 轴。③都在 x =0处取得最值。④当 a >0时，图象开口向上，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而增大。当 a < 0时，图象开口向下，在 y 轴左侧， y 都随 x 的增大而增大；在 y 轴右侧， y 都随 x 的增大而减小。(2）不同点：①顶点坐标不同，分别是（0，c )，(0，0)。②最值不同，分别是 y = c 和 y =0。(3）联系：二次函数 y = ax2 的图象与 y = ax2+ c 的图象可以通过平移互相得到。具体如下：①当 c >0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c ；②当 c < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y = ax2+ c 。知识点05 二次函数y=a（x-h）2的图象与性质1．二次函数y=a（x-h）2的图象与性质2．二次函数y=a（x-h）2与y=ax2的关系（1）抛物线y=a（x-h）2与y=ax2的形状、开口方向相同，都是轴对称图形，只是位置不同。（2）抛物线y=a（x-h）2可由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|个单位长度得到：①当h>0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2；②当h < 0时，抛物线 y = ax2 抛物线y=a（x-h）2。知识点06 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质1．二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的关系二次函数y=a(x-h)²+k的图象可由二次函数y=ax2的图象平移得到，它们的形状相同，只是位置不同，把y=ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位长度,得到y=a(x-h)²的图象,再向上或向下平移 |k|个单位长度，即得到y=a(x-h)²+k的图象。具体方法如下所示：2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质知识点07 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1．二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标和对称轴二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方转化为y=a(x-h)²+k的形式：所以二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线2．二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法画二次函数的图象常见方法有2种：五点法和平移法。方法1：五点法(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式；(2)确定抛物线的顶点坐标、开口方向、对称轴；(3)以顶点为中心，左右对称各取两对值；(4)用光滑的曲线将描出的点顺次连接起来。方法2：平移法利用平移法画二次函数y=ax2+bx+c的图象的一般步骤如下：(1)通过配方将二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，确定图象顶点坐标为(h，k)；(2)画出二次函数y=ax2的图象；(3)将二次函数y=ax2的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h,k)，平移后的图象即是二次函数y=ax2+bx+c的图象。3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质4．抛物线的平移规律左右平移，左加右减；上下平移，上加下减。知识点08 二次函数图象特征与系数之间的关系能力拓展考法01 二次函数y=ax2的图象与性质【典例1】已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小，∴a-1>0，∴，故选：D．【即学即练】若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由二次函数可得该二次函数的图像关于y轴对称，∵二次函数图像过点，∴点关于y轴对称的点为，∴点必在二次函数的图像上；故选C．【典例2】已知二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，则m的值为（        ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】解：根据题意可知，，解得，， ∵二次函数y=(m+2)，当x<0时，y随x的增大而增大，∴m+2＜0，解得m＜-2，综上，m=，故选：A．【即学即练】已知是关于x的二次函数，且有最大值，则k＝(　　)A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】A【解析】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2∴k≠1，k＝±2，故C错误；∵有最大值∴k﹣1＜0∴k＜1∴k＝﹣2．故选A．考法02 二次函数y=ax2+c的图象与性质【典例3】二次函数y＝-2 ＋1的图象可能是（       ）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：二次函数，开口向下对称轴为，顶点坐标为，根据图像可得，D选项符合，故选D，【即学即练】二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（       ）A．开口向上 B．当时，函数的最大值是C．对称轴是直线 D．抛物线与x轴有两个交点【答案】B【解析】解：∵，a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故A错误；∵当时，函数的最大值是，∴故B正确；∵抛物线的对称轴是y轴，∴故C错误；∵∆=，∴抛物线与x轴没有交点，∴故D错误．故选B．【典例4】已知点（﹣4，y1），（2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则y1，y2的大小关系为（　　）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【答案】B【解析】∵二次函数的解析式为y=x2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=0，∵（-4，y1）、B（2，y2），∴点（-4，y1）离直线x=0远，点（2，y2）离直线x=0近，而抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：B．【即学即练】已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：∵点A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）在函数y=x2﹣的图象上，∴点A（1，y1），B（﹣，y2），C（﹣2，y3）都满足函数解析式y=x2﹣，∴y1=0，y2=×2﹣=，y3=×4﹣=，∴y1＜y2＜y3．故选A．考法03 二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质【典例5】抛物线的顶点是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵抛物线∴抛物线的顶点是(0，2)，故选：D．【即学即练】抛物线y＝（x−2）2＋3的顶点坐标是（       ）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）【答案】A【解析】解：y=（x-2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．【典例6】已知抛物线，其对称轴是（       ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】B【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可．【解析】解：∵，∴抛物线对称轴为直线．故选：B．【即学即练】对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ）A．图象与y轴交点的坐标是 B．对称轴是直线C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】解：对于二次函数的图象，A、当x=0时，y=81，∴图像与y轴交点坐标为（0，81），A选项说法不正确；B、抛物线对称轴为直线x=4，B选项说法不正确C、抛物线顶点坐标为（4，1），C选项说法不正确D、∵a=5＜0，∴图像开口向下，当时，随的增大而增大，D选项说法正确故选：D．考法04 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【典例7】画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；∵y=0时，x=1或x=3，∴函数图象的对称轴为直线x=2，∵开口向下，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；∵对称轴为直线x=2，当x=4时，y=−3，∴x=0时，y=−3，故③正确，符合题意；∴正确的选项有②③，故C正确．故选：C．【即学即练】如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a＋b＋c＜0；④对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（       ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】解：∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，②正确．由图象可得x=1时y＞0，∴a+b+c＞0，③错误．∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，④正确．故选：D．【典例8】若二次函数的图像如图所示，则下列说法不正确的是（       ）A．当时， B．当时，y有最大值C．图像经过点 D．当时，【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向下，经过点，，∴抛物线对称轴为直线，∴当时，，A选项正确，不符合题意．当时y有最大值，B选项正确，不符合题意．∵图象经过，抛物线对称轴为直线，∴抛物线经过点，C选项正确，不符合题意．当或时，，选项D错误，符合题意．故选D．【即学即练】如图，抛物线过点，，顶点在第四象限，记，则P的取值范围是（       ）A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】∵抛物线过点(-1,0)、(0,-1)，∴有，且显然a≠0，∴a-b=1，c=-1，将抛物线配成顶点式：，∴顶点坐标为：，∵抛物线顶点坐标在第四象限，∴，∵a-b=1，∴，解得：，∵P=2a-b，a-b=1，∴P=2a-b=a+a-b=a+1，∵，∴，∴，故选：B．考法05 二次函数图象特征与系数之间的关系【典例9】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是(　　)A．abc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a－b＋c>0【答案】D【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线，∴，即∴4a+b=0，故B正确，不符合题意；；∴，∴abc<0，故A正确，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，a＜0，∴当时，取得最大值为对于任意实数，∴4a+2b+c≥m(am+b)+ c∴4a+2b≥m(am+b)，故C正确，不符合题意；当x=﹣1时，抛物线与y轴的交点在x轴上，即a﹣b+c=0，故D错误， 符合题意．故选D．【即学即练】已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：对于二次函数，令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵ ，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【典例10】己知二次函数的图象如图，则下列结论：（1）（2）方程一定有两个不相等的实数根（3）y随x的增大而增大（4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是(     )   A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】根据图象，x=-1时，y>0即故①正确∵二次函数的图象与横轴有两个交点，∴方程一定有两个不相等的实数根，故②正确在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，故③错误∵函数的对称轴为，∴ 函数图象与纵轴交点在横轴的下方∴c<0∴bc>0∴函数的图象一定过第二象限，故④错误故选：B【即学即练】一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜mB．当x≥0时，ax2+2ax+c≤cC．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜cD．﹣ac+bk＞0【答案】C【解析】解：A.对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，有图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，故A正确；B.当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），∴当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，故B正确；C.在抛物线中，由对称轴公式可知，抛物线的对称轴是x＝＝﹣1，∴在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），∵﹣2＜﹣＜﹣1，∴y1＞c，故C错误；D.∵抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，∴a＜0，c＞0，∵直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，∴k＜0，b＜0，∴﹣ac+bk＞0，故D正确．故选：C．考法06 二次函数图象的平移【典例11】将抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（       ）A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3【答案】A【解析】解：抛物线y＝﹣3x2＋1向左平移2个单位长度得y＝﹣3(x+2)2＋1，抛物线y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y＝﹣3(x＋2)2．故选：A．【即学即练】将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是(       )A． B．C． D．【答案】D【解析】解：将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是，即．故选：D．【典例12】在平面直角坐标系中，若抛物线经一次变换后得到抛物线，则这个变换可以是（       ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位【答案】B【解析】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．【即学即练】将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（        ）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】D【解析】抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线的顶点坐标为（1，-2）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到故选：D．考法07 二次函数y=ax2+bx+c的最值【典例13】二次函数=+4+的最大值为3，则的值为（   ）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】B【解析】解：∵二次函数y＝ax2+4x＋a的最大值是3，∴a＜0，y最大值＝，解得a＝−1或a＝4（舍去）．故选：B．【即学即练】已知二次函数y=mx+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（          ）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】D【解析】解：，， 抛物线开口向上，函数最小值为，，解得．故选：D．【典例14】已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（       ）．A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2【答案】D【解析】∵二次函数的对称轴是，顶点坐标是（2，-2），画出草图，如图所示，∴当时，y有最小值-2，当时，y有最大值7．故选D．【即学即练】已知二次函数，当自变量x取值在范围内时，下列说法正确的是（          ）A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2【答案】A【解析】∵∴这个二次函数的开口向上，对称轴∴在的取值范围内，当时，有最小值；当时，有最大值．故选：A．分层提分题组A 基础过关练1．将二次函数y=(x−1)2+2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：将二次函数y=(x−1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到：y=(x−1)2+2+3，即：y=(x−1)2+5．故选：D．2．若点A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（        ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：对称轴为直线x＝ ，∵，∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而就减小，C（2，y3）关于直线的对称点是（0，y3），∵，∴．故选：B．3．二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（       ）A．向下，直线x=－3，(－3，1) B．向上，直线x=3，(3， 1)C．向下，直线x=－3，(－3，－1) D．向上，直线x=3，(－3，1)【答案】B【解析】二次函数，对称轴为：直线x=h；顶点坐标为：（h，k）∵a=2>0，∴开口向上，∵h=3，k=1，∴对称轴为：直线x=3；顶点坐标为：（3，1），故选：B4．对于抛物线，下列判断正确的是（    ）A．顶点B．抛物线向左平移个单位长度后得到C．抛物线与轴的交点是D．当时，随的增大而增大【答案】C【解析】A、，抛物线的顶点，故错误，不符合题意，B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，不符合题意，C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，符合题意，D、，开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意，故选：C．5．二次函数的最小值是（       ）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵＝（x-2）2+1，∴其图象开口向上，顶点为（2，1）．∴函数的最小值为1．故选：A．6．抛物线的对称轴是直线（       ）A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2【答案】B【解析】解：由抛物线可知：对称轴为直线；故选B．7．二次函数：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．【答案】②③     ①③⑤     ⑤⑥【解析】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a<0，故满足条件的函数有①③⑤．（3）二次函数的图象关于x轴对称，也就是两个二次函数的二次项系数x互为相反数，且 h ，k 的值相同，故满足条件的函数为⑤和⑥．故答案为：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥8．抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，则a的取值范围是________．【答案】a<1【解析】解：∵抛物线y=(a−1)x2−2x+3在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a−1<0，解得a<1，故答案为：a<1．9．在同一平面直角坐标系中作出和的图象．【答案】作图见解析【解析】解：列表如下描点：如图所示，以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点．10．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)(2)(3)【答案】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)．（2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)．（3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6)题组B 能力提升练1．已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）都是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+3图象上的点，则下列各式中正确的是（　　）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3【答案】A【解析】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x+3，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝﹣2，∴点（1，y1）与点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣2对称，∵﹣5＜﹣4＜﹣2，∴y1＜y3＜y2．故选：A．2．二次函数的图象如图所示，，则下列判断正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：观察图象得：抛物线开口向下，∴，故A选项错误，不符合题意；抛物线的对称轴，∴，故B选项错误，不符合题意；抛物线与y轴交于正半轴，∴，故C选项错误，不符合题意；∵，∴当时，，故D选项正确，符合题意；故选：D3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（　　）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】C【解析】解：∵对称轴为x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故选项①正确；∵点B坐标为（﹣1，0），∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故选项②错误；∵图象开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故选项③错误；∵对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），∴A点坐标为：（3，0），∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故选项④正确；故选：C．4．将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得新抛物线的顶点是(     )A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）【答案】A【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【解析】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，得：，∴顶点坐标为（2，﹣3），故答案为：A．5．已知抛物线y=mx2+nx和直线y=mx+n在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（          ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.由二次函数的图像可知m＜0，此时直线y＝mx+n应经过二、四象限，故可排除；B.由二次函数的图像可知m＞0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＜0，此时直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，故可排除；C.由二次函数的图像可知m＜0，对称轴在y轴的右侧，可知m、n异号，n＞0，此时直线y＝mx+n应经过一、二、四象限，故可排除；D.观察二次函数的图像可知m＞0，n＜0，直线y＝mx+n应经过一、三、四象限，符合题意．故选：D．6．怎么样才能由的图像经过平移得到函数的图像呢？小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度；小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度．对于上述两种说法，正确的是（       ）A．小亮对 B．小丽对C．小亮、小丽都对 D．小亮、小丽都不对【答案】B【解析】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；故选：B．7．在平面直角坐标．若点A，B是抛物线上两点，若点A，B的坐标分别为则m______n（填“＞”“＜”“＝”）【答案】＞【解析】解：∵抛物线中，a=－2＜0，，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=－1，在对称轴右侧y随x的增大而减小，∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（4，n），且3＜4，∴m＞n，故答案为：＞．8．将抛物线y＝ax2＋bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a﹣2b﹣1的值是___．【答案】2【解析】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．9．已知函数是二次函数．(1)求m的值；(2)用配方法确定该函数的顶点坐标和对称轴．【答案】(1)m＝－1(2)顶点为，对称轴为直线x＝1【解析】（1）根据二次函数表达式的性质：最高次为2次，且二次项系数不等于0即可求出m的值；（2）用配方法将二次函数表达式改写成顶点式即可确定函数的顶点坐标和对称轴．（1）由题意可知：，解得：m＝－1（2）∴顶点为，对称轴为：直线x＝110．已知二次函数.(1)将化成的形式；(2)画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；(3)当x取何值时，y随x的增大而减小．【答案】(1)(2)对称轴是直线，顶点坐标是(3)＜2【解析】（1）解： y=x2-4x+3=（x-2）2-1，则该抛物线解析式是y=（x-2）2-1；（2）解：列表，描点，连线，图象如图所示：∵抛物线解析式是y=（x-2）2-1，∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标是；（3）解：由图象可知当＜2时，随的增大而减小．题组C 培优拔尖练1．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（       ）A．开口向下 B．对称轴是直线C．顶点纵坐标是－3 D．当时，函数值随值的增大而增大【答案】C【解析】解：A、∵，∴a=2>0，∴图象的开口向上，故本选项错误不符合题意；B、∵，∴图象的对称轴是直线x=1，故本选项错误不符合题意；C、∵，∴图象的顶点纵坐标是－3，故本选项正确符合题意；D、∵，∴a=2>0，∴图象的开口向上，图象的对称轴是直线x=1，∴当时，函数值随值的增大而增大，故本选项错误不符合题意；故选：C．2．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（     ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由二次函数的图象可得，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，故选：D．3．已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（     ）A．该函数图象与轴的交点坐标是B．当时，的值随值的增大而减小C．当取和时，所得到的的值相同D．当时，有最大值是【答案】C【解析】解：令，则，二次函数的图象与轴的交点坐标为，故A不符合题意；二次函数的对称轴为，开口向上，当时，随的增大而增大，故B不符合题意；当时，，当时，故C符合题意；二次函数的对称轴为，开口向上，当时，有最小值，故D不符合题意．故选：C．4．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】∵对称轴为直线x=1，-2 0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B5．已知点，均在抛物线上，若，，则（       ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【解析】解：将x1代入抛物线，得y1=ax12-2ax1+4，将x2代入抛物线，得y2=ax22-2ax2+4，y1-y2=a（x12-x22）-2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2）-2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2-2）∵x1+x2=1+a，∴y1-y2=a（x1-x2）（a-1），∵，∴x1-x2<0，当a<0时，则a-1<0，∴y1-y2<0；即y10；即y1>y2；当a>1时，则a-1>0，∴y1-y2<0，即y1y2；当a>1时，y10时，y的值随x值的增大而增大当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小最值当x=0时，y有最小值0当x=0时，y有最大值0二次函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）大致图象开口方向向上向下对称轴y轴（或直线x=0）顶点坐标原点（0，0）增减性当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小最值当x=0时，y有最小值0当x=0时，y有最大值0a的符号a>0a<0大致图象c>0c<0开口方向向上向下对称轴y轴（或直线x=0）顶点坐标（0，c）增减性当x<0时，y的值随x值的增大而减小；当x>0时，y的值随x值的增大而增大当x<0时，y的值随x值的增大而增大；当x>0时，y的值随x值的增大而减小最值当x=0时，y有最小值c当x=0时，y有最大值ca的符号a>0a<0大致图象h>0h<0开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标（h，0）增减性当xh时，y的值随x值的增大而增大当xh时，y的值随x值的增大而减小最值当x=h时，y有最小值0当x=h时，y有最大值0a的符号a>0a<0大致图象开口方向向上向下对称轴直线x=h顶点坐标（h，k）增减性当xh时，y的值随x值的增大而增大当xh时，y的值随x值的增大而减小最值当x=h时，y有最小值k当x=h时，y有最大值ka的符号a>0a<0大致图象开口方向向上向下对称轴直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而增大在对称轴的左侧，即当x<时，y的值随x值的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y的值随x值的增大而减小最值抛物线有最低点，当时，y有最小值抛物线有最高点，当时，y有最大值字母字母符号图象特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴（或直线x=0）ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象经过原点c>0与y轴正半轴相关c<0与y轴负半轴相关x……12345……y……010﹣3﹣8……x……-3-2-10123…………4.520.500.524.5…………-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5……x…01234…y…30-103…