北师大版九年级下册1 二次函数教案及反思

这是一份北师大版九年级下册1 二次函数教案及反思，共18页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第12讲


讲














二次函数综合


























概述





【教学建议】


本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 二次函数中平行四边形的存在性问题；


2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题；


3.二次函数中相似三角形的存在性问题。


【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地处理这三种类型试题的策略。





二、知识讲解








知识点1 二次函数与平行四边形








平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。





知识点2 二次函数与等腰三角形








处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点间距离公式硬算）





知识点3 二次函数与相似三角形





常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种：


1.导边处理（“SAS”法）


第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽；


第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程.


2.导角处理（“AA”法）


第一步:先找到一组关键的等角；


第二步,另两个内角分两类对应相等.





三、例题精析








例题1





【题干】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．


（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；


（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 EQ \F(5, 4 ) ，求a的值；


（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．





图1 备用图











例题2





【题干】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．


（1）求a、b、c的值；


（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；


（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．





图1











例题3





【题干】如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．


（1）求k与m的值；


（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；


（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．





图1








四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，和学生一起归纳总结处理方法，再给学生做针对性的练习。





基础





1.如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．


（1）求抛物线的解析式；


（2）求tan∠ABO的值；


（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．





图1


2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．


（1）求抛物线的函数关系式；


（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；


（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．





图1








3.如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．


（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；


（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；


（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．





图1








巩固





1.如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．


（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；


（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？


（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．





图1








2.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．


（1）求点B的坐标；


（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；


（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．





图1





3.如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．


（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；


（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；


（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；


（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．





图1





拔高





1.将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．


（1）请直接写出抛物线c2的表达式；


（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．


①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；


②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．








图1








2.如下图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A（-1,0）,C(0,2).


（1）求抛物线的表达式；


（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形.如果存在,直接写出P点的坐标；如果不存在,请说明理由；








3.如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．


（1）求此抛物线的解析式；


（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．


,


图1











课堂小结





1.二次函数与平行四边形的处理方法


2.二次函数与等腰三角形的处理方法


3.二次函数与相似三角形的处理方法








拓展延伸








基础





1. 如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点.


（1）求直线AD及抛物线的解析式；


（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？


（3）在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.














2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．


（1）求二次函数的表达式；


（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；


（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．








3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=－ EQ \f(1,4)x2+bx+c 经过点A(－2，0)，B(8，0)．


⑴求抛物线的解析式；


⑵点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．


= 1 \* GB3 ①是否存在点P ，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；


②当△PDC与 △COA相似时，求点P 的坐标．

















巩固





1.如图，已知抛物线y=x2-x-n(n＞0)与x轴交于点A,B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C.


（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；


（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；








2.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，.点是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点，过点作交轴于点，交于点.





（1）求，，三点的坐标；


（2）试探究在点运动的过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；


（3）请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值.








3.如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；








拔高





1.如图，抛物线y＝ax2＋6x＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x－5经过点B，C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）过点A的直线交直线BC于点M．


①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；


②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．








2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE．


（1）求二次函数的表达式；


（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；


（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．


A


B


C


D


E


O


x


y








3.如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．


（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．


①求点M、N的坐标；


②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；


（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．








适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与平行四边形


2.二次函数与等腰三角形


3.二次函数与相似三角形
教学目标
1.掌握二次函数综合


2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题