初中数学北师大版九年级下册1 二次函数同步练习题

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考试范围：全章； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入解析式求解即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
∴抛物线与y轴交点坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
2．（2022·临平树兰学校九年级阶段练习）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=3xB．y=x²+（3-x）x
C．y=（x-1）²D．y=ax²+bx+c
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】A．，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意；
C．，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．，当时，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
3．（2021·浙江杭州·九年级期中）下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的开口方向向上B．它的顶点坐标是
C．当时，y随x的增大而增大D．与y轴交点
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：A、因为，所以二次函数的开口方向向下，故本选项错误，不符合题意；
B、二次函数的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
D、，所以二次函数的图象与y轴交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．（2022·山东德州·九年级阶段练习）把二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5．（2022·广东·虎门成才实验学校九年级阶段练习）下列图像中，当时，函数与的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据可得或，然后根据选项判断即可．
【详解】解：A、对于直线，得，与矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，所以B选项错误；
C、由抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，所以C选项错误；
D、由抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，由于，则，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图像综合判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解本题的关键．
6．（2022·山东济宁·九年级阶段练习）三次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2022·天津市西青区富力中学九年级期中）抛物线的解析式为，则抛物线的顶点坐标是____________．
【答案】
【分析】直接利用抛物线的解析式可写出．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式的性质，熟记抛物线的顶点式的特点是解题的关键．
8．（2022·山东·东营市胜利第六十二中学九年级阶段练习）当______时，函数是二次函数．
【答案】3
【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：，
即当时，函数是二次函数．
故答案为：3
【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键．
9．（2022·重庆市綦江中学九年级阶段练习）若、、为二次函数的图像上的三点，则、、的大小关系是_________（用“＜”连接）．
【答案】
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质：通过比较三点到对称轴的距离的大小判断、、的大小，即可得到答案．
【详解】解：抛物线的对称轴为：直线，开口向下，
就是抛物线的顶点，故最大；
又点到对称轴的距离，点到对称轴的距离为5，
，
，
故；
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，当抛物线开口向下时，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小，即离对称轴的距离越大的点的纵坐标越小，这是解答此题的关键．
10．（2022·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级阶段练习）设计师以的图形为灵感设计杯子如图所示，若，则杯子的高_____．
【答案】11
【分析】将二次函数化简为顶点式，得出，再由二次函数的对称性得出点A的横坐标为，代入函数解析式确定，结合图形求解即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴点A的横坐标为，
当时，，
∴，
∴，
则杯子的高为11．
故答案为：11．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
11．（2022·安徽·合肥市第四十八中学九年级阶段练习）如图是二次函数和一次函数的图象，则不等式的解集是___________．
【答案】
【分析】根据图像直接得出不等式的解集即可．
【详解】解：根据图像可知的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据一次函数与二次函数图像的交点坐标求不等式的解集，解题的关键是数形结合思想的应用．
12．（2021·浙江·新昌县七星中学九年级期中）如图，点A是抛物线对称轴上的一动点，连接，以A为旋转中心将AO逆时针旋转90°得到，当恰好落在抛物线上时，点A的坐标为______．
【答案】或##或
【分析】根据抛物线对称轴解析式设点A坐标为，作轴于点，作直线，证△得、，则点坐标为，将点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程，解之可得的值，即可得答案．
【详解】解：抛物线对称轴为直线，
设点A坐标为，
如图，作轴于点，作直线于点Q，
，
，
，
，
又，
，
在和△中，
，
△，
，，
则点坐标为，
代入得：，
解得：或，
点A坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变换旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点的坐标是解题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2021·江苏·九年级专题练习）如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．
【答案】0
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数是二次函数，即可答题．
【详解】解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，
解得：m=0．
【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
14．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点在该函数图象上，求点B的坐标．
【答案】(1)；
(2)（，−2）或（，−2）
【分析】（1）设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）把代入得关于m的方程，然后解关于m的方程得到B点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
把 代入得 ，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）把代入得，
解得，
∴B点坐标为（，−2）或（，−2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
15．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级期中）抛物线（）经过点，点，，在该抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】(1)对称轴为
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线函数关系式为：，
抛物线的对称轴为直线；
（2）∵，开口向下，且对称轴为：，
∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，
∵，
∴，，，
∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
16．（2022·北京市第六十六中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且经过点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将该抛物线向___________平移___________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】(1)
(2)上，1
【分析】（1）首先设出抛物线表达式为，然后将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式；
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线表达式为，
∵经过点（2，1），
∴ ．
解得：．
∴ 该抛物线的表达式为．
（2）∵抛物线的顶点为，
∴ 若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3，0），此时满足题意．
故答案为：上，1．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
17．（2020·安徽合肥·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是边BC上异于B、C的一个动点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角，求出两组角相等便可证明两三角形相似；
（2）利用△ABD∽△DCE，，BD＝x，AE＝y代入比例式，便可求出y关于x的函数表达式．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝∠DAC+45°，
∴∠DEC＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+45°，
∴∠ADB＝∠DEC；
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴，
由△ABD∽△DCE，
∴，
∵AB＝2，BD＝x，，
代入得，
，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，列函数解析式，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校九年级期中）已知二次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出其函数图象；
(2)据图象回答：x取什么值时，函数值y大于0．
【答案】(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）根据函数解析式找出对应的x，y的值画出函数图象即可；
（2）根据函数图象找出函数值y大于0时，自变量x的取值．
【详解】（1）解：（1），
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，，
当时，，
故答案为：−1，0；0，−3；1，−4；2，−3；3，0；
图象如图所示：
（2）解：根据图形可得：数值y大于0时，自变量x的取值的范围是x＞3或x＜−1，
∴自变量x的取值的范围是x＞3或x＜−1时，函数值y大于0．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上点的特征，解题的关键是根据函数解析式找出对应的x，y的值画出函数图象．
19．（2022·山东青岛·九年级期中）如图，二小球从斜坡A点处抛出，正好穿过B点的篮筐，落在斜坡底部的O点，以O为坐标原点建立直角坐标系，B的坐标为，斜坡的坡比为，A点距地面的高度为1.5米，球的抛出路线可以用二次函数刻画．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求小球到达的最高点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过A作轴，垂足为D．根据斜坡的坡比求出A点坐标，设二次函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，即可求解；
（2）将二次函数的表达式变形为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标．
【详解】（1）解：过A作轴，垂足为D．
根据题意，，且，
∴，
∴．
∵二次函数图象过原点O，
∴设二次函数的表达式为．
将A、B两点坐标代入得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：∵，
∴当时，y取最大值，最大值为2，
∴小球到达的最高点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式．
20．（2022·安徽·涡阳县高炉镇普九学校九年级阶段练习）如果二次函数（是常数）与（是常数）满足，称这两个函数互为“系数相关函数”．
(1)函数的“系数相关函数”为 ；
(2)若函数与互“系数相关函数”，求的值；
(3)证明方程的实数解不是方程的实数解．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据“系数相关函数”的定义求出，从而得到原函数的“系数相关函数”；
（2）根据“系数相关函数”的定义得出关于m和n的二元一次方程组，再求出m，n即可；
（3）应用反证法证明即可．
【详解】（1）∵，
∴．
设与函数互为“系数相关函数”的二次函数解析式为，
∴，
∴函数的“系数相关函数”为．
故答案为：；
（2）根据题意可知，
解得，
∴；
（3）证明：设方程存在一实数解也是方程的实数解，
则，
将两式相加，得：，
∵，
∴必有解，
但是，，显然这与题设矛盾，
∴方程的实数解不是方程的实数解．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，二元一次方程组的应用．解题的关键是理解题意，掌握“系数相关函数”的定义．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2022·临平树兰学校九年级阶段练习）2022年杭州亚运会会后，吉祥物“江南忆”很受欢迎，非常畅销．小李用1200元批发了一批吉祥物销售，很快售完，他又用1200元批发同样的吉祥物销售，由于批发价上涨了20%，因此第二批吉祥物的数量比第一批少了10个．
(1)求每个吉祥物的批发原价是多少?
(2)调查发现，每个吉祥物的售价为40元时，每周可售出30个．小李为了增加销量，决定降价促销，若售价每降低1元，每周的销量可增加5个，每个吉祥物需要扣除2元的小店运营成本．求当吉祥物的售价为多少时每周的利润最大?最大利润是多少?（吉祥物的进价全部按涨价后的价格计算）．
【答案】(1)每个吉祥物的批发原价是20元；
(2)当吉祥物的售价为36元时每周的利润最大，最大利润是500元．
【分析】（1）设每个吉祥物的批发原价是x元，则涨价后每个吉祥物的批发价是元，根据用1200元批发同样的吉祥物销售，第二批吉祥物的数量比第一批少了10个列出方程，解方程即可；
（2）设每个吉祥物降价a元，根据每周利润=单个利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设每个吉祥物的批发原价是x元，则涨价后每个吉祥物的批发价是元，
根据题意得：，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
答：每个吉祥物的批发原价是20元；
（2）解：设每个吉祥物降价a元，利润为w元，
则，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为500，
此时，，
答：当吉祥物的售价为36元时每周的利润最大，最大利润是500元．
【点睛】本题考查二次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系写出函数解析式和方程．
22．（2022·北京铁路二中九年级期中）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数与关于原点O互为“对称函数”．
(1)函数关于原点O的“对称函数”的函数解析式为______，
函数关于原点O的“对称函数”的函数解析式为______；
(2)已知函数与函数G关于点互为“对称函数”，若函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
(3)已知点，点，点，二次函数与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或或．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y=1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【详解】（1）解：∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数上的任一点为，则它的对称点为，
将代入函数得：
，
∴．
函数关于原点O的“对称函数”的函数解析式为：；
同理，设函数上的任一点为，则它的对称点为，
将代入函数得：；
∴关于原点O的“对称函数”的函数解析式为，
故答案为：；；
（2）解：由题意得：函数G的解析式为，
如图，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，
∵函数G的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，函数在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为；
（3）解：①当“对称函数”的顶点在上时，如图，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵点C为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线，
∴函数N的顶点坐标为，
∵关于点C对称的点为，
∴将代入得：
，
∴；
②当两个函数图像的交点在上时，如图，
∵二次函数与x轴的交点为和，
∵点C为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为和，
∴函数N的解析式为，
当y=1时，
，
解得：；
③当“对称函数”经过点B时，如图，
∵点B，
∴，
解得：．
综上，图形W与线段恰有2个公共点，a的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（2022·江苏淮安·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．
【答案】(1)，顶点坐标
(2)点横坐标为或或或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求．
【详解】（1）解：将点，代入
∴
解得
∴
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：设直线的解析式为，
∴
解得
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
当时， 整理得，
解得，，
当时，整理得，
解得，，
∴点横坐标为或或或；
（3）解：∵，点与点关于轴对称，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
x
…
_____
_____
_____
_____
_____
…
y
…
_____
_____
_____
_____
_____
…