初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试优质教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册14.3 因式分解综合与测试优质教学设计，共20页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第12讲


讲























因式分解












































概 述











【教学建议】


由整式的乘除过渡到因式分解，体现了知识的相互依存与互逆关系。因式分解为后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程等的重要基础。同时也是学习物理、化学等学科的基础知识。所以这章比较重要。


对于因式分解，学生的学习困难主要在：（1）识别因式分解。因式分解与整式乘法是互逆形式，因式分解的分解目标是多项式，化成几个因式乘积的形式。（2）因式分解结果要求每个因式都不能再分解为止，每个因式首项系数符号为正等。（3）因式分解的步骤牢记：整体观察，一提，二套，三综合。














【知识导图】














教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


创设情境，引出问题


1、已知：的值


解：方法1（直接法）


方法2（间接法）


＝


总结：将原式做一些恒等变形：（多项式化成整式乘积的形式，简化运算）


设计意图： 通过类比两种方法，让学生感受因式分解带来的简便性。以后的学习中我们会体会到这种恒等变形，不仅能简便运算，它也是学习分式通分、约分、解方程的恒等变形的基础，对代数知识的学习有着相当重要的意义。





二、知识讲解








考点1 因式分解定义








【教学建议】通过前面的引导，得到因式分解的定义，注意因式分解与整式乘法的区别与联系。


1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。可见，因式分解是多项式的一种变形，因式分解与整式乘法是形式相反的过程。


2.以下问题需要注意：


（1）因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，这与整式的乘法正好相反.


（2）因式分解要到不能再分解为止.


（3）并不是所有的因式都可以进行因式分解.如等不能进行因式分解.


（4）分解因式是恒等变形.








考点2 提取公因式








（1）如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。


（2）找公因式的方法：①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。


（3）注意的问题：


①提公因式式时要提“全”提“净”.


②注意避免分解因式的漏项问题.如，漏掉“1”


③在把含有字母的式子作为公因式提出来时，要注意统一字母的排列顺序.如：.


④如果多项式的首项系数是负数时，一般应先提出“－”，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式提取公因数.


如：











考点3 基础公式法











1．平方差公式


(1)概念：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。


字母表示：其中，a、b可以是单项式 也可以是多项式。


(2)特点：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；右边是两个数的和与这两个数的差的积．


2．完全平方公式


(1)概念：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方。字母表示：


(2)特点：左边是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的 2 倍，符号正负均可；右边是这两个数（或两个式子）的和（或者差）的平方．（公式中的 a 、b 可以是单项式，也可以是多项式）。


（3）用配方法对多项式变形，如：








考点4 十字相乘法








1.对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项”。


①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；


②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。


2.对于二次项系数不是1的二次三项式





它的特征是“拆两头，凑中间”。


①当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；


②常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；


③常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同


3.注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．





考点5 分组分解法








我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法





三 、例题精析








类型一 因式分解的识别








例题1








从左到右是因式分解的是( )


A B .


C. D.


【解析】C


【总结与反思】因式分解是的对象是多项式，分解成几个因式乘积的形式，每个因式不能再分解为止。符合条件的是C。





例题2








判断下列各式分解因式正确的是（ ）


A.x2-3x+1=x(x-3)+1 B.18a3bc=3a2b·6ac


C.2m(m-n)=2m2-2mn D.3a2+6a=3a（a+2）


【解析】A选项没有把多项式写成整式乘积的形式.B选项本事就是一个单项式，不能进行因式分.解C选项是整式乘法不是分解因式.D选项正确


【总结与反思】注意因式分解的形式及结构，牢记步骤。





类型二 提取公因式





例题1








多项式应提取的公因式是（ ）


A. B. C. D.


【解析】公因式是①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。


答案为B.


【总结与反思】提取公因式提取要干净，注意提取后首项的符号为正。








例题2








填空题：


1. ；( ) ；


.


2.多项式中各项的公因式是 _.





【解析】提取公因式注意符号，系数公因数，字母找共有低次幂等。


1.2a -x 2.3mx


【总结与反思】公因式是①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。提取公因式提取要干净，注意提取后首项的符号为正。





类型三 公式法





例题1





利用因式分解计算


【解析】数字结构符合平方差公式。=（88-112）（88+112）=-4800


【总结与反思】因式分解在数的运算中，可以帮助进行简便运算，需要学生掌握基本的特征结构，牢记分解的方法步骤。．





例题2








下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( )


A. B. C. D.


【解析】C。完全平方公式的项数整体有三项，需要满足：首平方，尾平方，首尾二倍乘积在中央。符合最终公式的是C。首先提取公因式-2所剩三项符合完全平方公式。


【总结与反思】完全平方公式满足的结构中，首尾平方项要同号，二倍乘积可正，可负。





例题3





如果，那么p等于 ( )


A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)


【解析】D.有两种方法：一是利用等号右侧多项式乘以多项式得到一次项系数，对号入座，即可；二是理解十字相乘的原理，一次项系数是两个因式中常数项之和，即可得。


【总结与反思】十字相乘属于选学部分，但是高中需要这个基础。故这部分需要学生好好理解，及时掌握。





类型四 因式分解的综合





例题1








分解因式：（1）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2（2）4m2n2﹣（m2+n2）2





【解析】（1）4﹣12（x﹣y）+9（x﹣y）2=[3（x﹣y）]2﹣2×2×3（x﹣y）+22


=（3x﹣3y﹣2）2


（2）解：4m2n2﹣（m2+n2）2=﹣[（m2+n2）+2mn][（m2+n2）﹣2mn]=﹣（m+n）2（m﹣n）2





【总结与反思】整体观察所给式子特征，掌握因式分解的步骤，注意因式分解结果的要求。





例题2








【教学建议】本题有一定难度，视学生掌握程度选择使用.


对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）．


像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添项法．


请用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．





【解析】m2﹣6m+8=m2﹣6m+9﹣1=（m﹣3）2﹣1=（m﹣3+1）（m﹣3﹣1）=（m﹣2）（m﹣4）．





【总结与反思】这是个材料阅读题，实质是配方法的应用，配方成完全平方公式，故需要掌握完全平方式的结构特征，注意先添后去，保持多项式的值不变。











四 、课堂运用








基础











判断下列恒等变形是否为因式分解？


（1） （2）


（3） （4）


（5） （6）


下列各式中能用平方差公式因式分解的是( )


A. B . C. D.


下列各式是完全平方式的是（ ）


A. B.


C. D.





因式分解的结果是( )


A. B. C. D.





答案与解析


1.【答案】（1）否； （2）否；（3）否；（4）否；（5）是；（6）是


【解析】（1）是单项式，不是分解；（2）是乘法，单项式乘多项式；（3）不是分解成因式相乘的形式；（4）分解不彻底，不属于分解；（5）公式法中的完全平方公式；（6）公式法中的平方差公式；


2. 【答案】B


【解析】平方差公式是两大项，偶次方，异号，符合的是B.





3. 【答案】C


【解析】完全平方公式：三大项，首平方、尾平方、二倍乘积在中央。C符合。





4. 【答案】B


【解析】平方差公式的分解，注意第二项式3y的平方，故答案为B。








巩固








因式分解的结果是( )


A. B.


C. D.


利用因式分解计算： ．


时，是完全平方式．若成立，则 ， ．





答案与解析





1.【答案】B


【解析】由于函数是减函数，故等价于，注意定义域，综合可得C正确.


2.【答案】C


【解析】画出函数的图象，易知在上是单调递增函数,则由得，解得，故答案为C


3. 【答案】


【解析】解不等式组，得.








拔高








把下列各式分解因式：








利用因式分解计算:


（1）已知求的值．


（2）若，求的值．


已知是的三边，且满足关系式，试判定的形状．





答案与解析


1.【答案】；


；


；





【解析】牢记因式分解的步骤


2.【答案】（1）化简，代入得原式值为；（2）由得则x=-1,y=4. 从而.


【解析】（1）化简求值类，先化简再求值。根据因式分解的步骤，一提，二套，三综合，化成最简形式，再代入求值。（2）配方法，配方成完全平方公式。再根据平方的非负性，得x，y的值.


3.【答案】将配方得，根据平方非负性有a=b且b=c，即a=b=c,可判定为等边三角形。


【解析】此题在三角形三边背景下，根据等式特征，进行配方得两个完全平方之和为0。根据平方非负性解得值，从而可定三角形形状。








五 、课堂小结








1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。可见，因式分解与整式乘法是相反的过程。


2.如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。


3.找公因式的方法：①系数取公约②字母找公有③指数找最低④首项与公因式的符号保持一致。


4.在学习了多种方法之后，应当注意因式分解的步骤：


（1）先看是否可以用提取公因式法分解因式；


（2）观察是否可以使用公式；


*（3）尝试十字相乘法；


*（4）尝试分组分解法；


（5）观察是否可以继续分解．


六 、课后作业

















基础








下列各式的因式分解中,正确的是（ ）


A. B.


C.D.


把多项式分解因式为，则的值是（ ）


A. 2 B. C. D.


已知 求的值．


分解下列各式:


①； ②；


③ ；④ ；


答案与解析


1.【答案】D


【解析】A.提取-a后每项要变号；B.公因式只有3xy；C.提取3x后项数仍是三项.


2.【答案】B


【解析】根据多项式结构，符合十字相乘法，故得一次项系数为2，从而答案为B.


3.【答案】先化简，再代入得值为-3.


【解析】先化简再求值.


4.【答案】①；


②；


③


④


【解析】根据因式分解的解法及步骤，解决相应问题。











巩固











因式分解应为( )


A. B.


C. D.


填空题:


( _)


( _)


( _)


把下列各式分解因式：


； ；


；





答案与解析





1.【答案】C


【解析】根据因式分解步骤：一提，二套，三综合，可分解为C.需要注意.





2.【答案】 a-1


【解析】提取公因式，注意化最简形式，还有符号跟项数.





3.【答案】；


；；





【解析】根据因式分解的解法及步骤，解决相应问题。














拔高








等于( )


A. B. C. D.





利用因式分解说明367﹣612能被140整除





计算：








答案与解析


1.【答案】A


【解析】





2.【答案】见解析


【解析】将367﹣612分解：


原式=614﹣612=612（62﹣1）=612×35=610×36×35=610×4×9×35=610×9×140；


分解结果为610×9×140，含有140，所以能整除140．





3.【答案】将分解为即可逐项约分。


【解析】























七 、教学反思

















适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
因式分解：提公因式法；十字相乘法
教学目标
1.了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式形变过程中的相反关系；能够利用提公因式法对多项式进行因式分解


2.经历探索多项式各项公因式过程，依据数学化归思想方法进行因式分解


3.通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系


4. 十字相乘的定义
教学重点
运用提公因式法对整式进行因式分解；十字相乘法因式分解
教学难点
用提公因式法进行因式分解的正确应用