初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程精品教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程精品教学设计，共21页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。




第15讲


讲























分式方程












































概 述














【教学建议】


分式方程的数学模型是从具体的实际问题中抽象出来的，而分式方程区别于整式方程的结构特征，决定了它的解法上与整式方程的本质区别，但只有理解了它的解法的内在依据，才可能真正建构起分式方程的概念。


分式方程的教学立足于分式的加减运算和利用等式的性质解方程这两个基本点。刚刚进行了分式运算教学，学生有分式运算的基础，那就可以充分应用这个基础进行延伸。而分式方程与整式方程的相同之处是都是方程，含有未知数的等式，都能利用等式的性质进行有目的的变形，验根的方法本质上都是一样的，因为方程的根其本质属性是完全一样的，验根就是看所求未知数的能不能使方程左右两边相等，这样强调知识间的联系降低了新课的难度，有效提高了学生的运算准确度。





【知识导图】





























教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


复习预习


问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最大航速航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少?


分析：设江水的流速为v千米/时，


则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。可列方程


这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程

















二、知识讲解








考点1 分式方程的定义胞











分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。








考点2 解分式方程








1.解分式方程


解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程.具体做法是 “去分母”.即方程 两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步骤


①去分母


方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。


②按解整式方程的步骤


移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;


③验根


求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.


验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。


2. 由增根求参数值的步骤


确定增根


将原分式方程化为整式方程


将增根代入变形后的整式方程，求出参数值

















考点3 分式方程实际应用








分式方程应用的步骤：(1)审清题意


(2)设未知数；


(3)根据题目中的相等关系，列出分式方程


(4)解分式方程；


(5)验根，先检验是否是增根，再检验是否符合题意．


（6）写出答案


分式方程的类型：营销类、工程类、行程类、浓度类，其中营销问题及行程问题中航行问题、总工作量为单位1的工程问题。








三 、例题精析








类型一 分式方程的识别








例题1








下列各式是是分式方程的是（ ）

















【解析】A为一元二次方程，B为分式，不是方程，C为分式方程，D为一元一次方程





【总结与反思】方程类型识别，把握方程特征是关键，分式方程是分母中含有未知数的方程。








例题2








下列关于x的方程①②③④，其中是分式方程的有（ ）


A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个





【解析】B.关于x的分式方程，特征是分母中含有未知数x的方程，只有②③，2个。





【总结与反思】方程类型识别，明确未知数，把握方程特征是关键，分式方程是分母中含有未知数的方程。





类型二 解分式方程





例题1








解方程





【解析】去分母，方程两边同时乘以x(x+1)得：


解整式方程：2x+2=3x


2x-3x=-2


-x=-2


X=2


验根：检验：当x=2时，x(x+1)不为零，所以x=2是方程的根





【总结与反思】 解分式方程关键一步确定最简公分母，去分母，还有一步很重要即检验。最简公分母不为0，则是解。需要学生遵照步骤，严格执行。























例题2








解方程：





【解析】去分母：1-x=-1-2(x-2)


解整式方程：1-x=-1-2x+4


-x+2x=-1+4-1


X=2


检验：当x=2时，x-2=0,使分母无意义，所以x=2为方程的增根，所以方程无解。





【总结与反思】解分式方程关键一步确定最简公分母，去分母，还有一步很重要即检验。最简公分母不为0，则是解，若最简公分母为0，则是增根，此方程无解。需要学生遵照步骤，严格执行。








类型三分式方程应用








例题1








甲、乙分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人速度．





【解析】设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为（x+0.5)千米/小时。


根据题意，得


解得 x=4.5．


经检验，x=4.5是这方程的解．当时，


答：甲速度为5千米/小时，乙速度为4.5千米/小时．





【总结与反思】根据题意可知，等量关系为时间相等，时间=路程/速度，列式求解即可。








例题2








2017年第十三届全国运动会将在辽宁召开，某市掀起了全民健身运动的热潮．某体育用品商店预测某种品牌的运动鞋会畅销，就用4800元购进了一批这种运动鞋，上市后很快脱销，该商店又用10800元购进第二批这种运动鞋，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每双鞋进价多用了20元．


（1）求该商店第二次购进这种运动鞋多少双？


（2）如果这两批运动鞋每双的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每双鞋售价至少是多少元？





【解析】（1）设该商场第一次购进这种运动鞋x双，由题意得：


，


解得：x=30。


经检验，x=30是原方程的解，符合题意。


则第二次购进这种运动鞋是30×2=60（双）。


答：该商场第二次购进这种运动鞋60双。


（2）设每双售价是y元，由题意得：


解这个不等式，得y≥208。


答：每双运动鞋的售价至少是208元。





【总结与反思】 （1）设该商场第一次购进这种运动鞋x双，则第二次购进数量为2x双，根据关键语句“每双进价多了20元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价+20=第二次购进运动鞋的单价，（2）设每双售价是y元，根据数量关系：（总售价﹣总进价）÷总进价≥20%，列出不等式，解出不等式的解即可。





四 、课堂运用








基础








满足方程的x值是( )


A.1 B.2 C.0 D. 没有


分式方程的解为( )


A. B. C. D.无解.


当x_______时,分式的值等于.


解方程：


答案与解析





1.【答案】C


【解析】解此方程，去分母，效果上看像“交叉相乘”，解得x=0，检验是方程的解





2. 【答案】D


【解析】解此方程得x=2，检验，使最简公分母为0.





3. 【答案】3


【解析】根据题意得，解得x=3,经检验是原方程的根。





4. 【答案】解：





检验：x=1代入=0，故原方程无解。


【解析】解方程，遵循求解步骤，注意验根，及根情况的表述。








巩固








已知方程的解相同，则a等于（ ）


A．3 B．－3 C、2 D．－2


若关于x的分式方程无解，则m的值为__________





一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？





答案与解析





1.【答案】B


【解析】因为两个方程的解相同，先求出的解并验证，得x=2，代入，得，解得a=-3.





2.【答案】


【解析】增根为使方程分母无意义的整式方程的根，所以此方程的增根为x=3，方程化为整式方程为,解得所以








3. 【答案】设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，


＝


解方程得：v＝5


检验：v＝5为方程的解。


所以水流速度为5千米/时。


【解析】设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v）千米/时，逆流航行的速度为（20－v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时。可列方程＝








拔高








若分式方程有增根,那么k的值为( )


A.1 B. 3 C.6 D. 9


若方程有负数根,则k的取值范围是__________.





某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）。


（1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？


（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数。








答案与解析


1.【答案】D


【解析】含参分式方程，先去分母解方程，再将增根，代入化简的方程中，求得k=9.





2.【答案】k＞2且k≠3.


【解析】有负数根，表示含参的方程，有解，且解为负数。先解方程得x=6-3k.根据题意得，解得k＞2且k≠3.





3.【答案】（1）∵每天运量×天数=总运量，∴nt=4000。


∴。


（2）设原计划x天完成，


根据题意得：，


解得：x=4。


经检验：x=4是原方程的根。


答：原计划4天完成。


【解析】（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式。


（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可。








五 、课堂小结








分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。


解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程.具体做法是 “去分母”.即方程 两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般思路和做法.


解分式方程的步骤


①去分母


方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。


②按解整式方程的步骤


移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;


③验根


求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.


验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。


4、由增根求参数值的步骤


确定增根


将原分式方程化为整式方程


将增根代入变形后的整式方程，求出参数值





六 、课后作业

















基础





当 k等于（ ）时，是互为相反数。


A． EQ \F(6,5) B. EQ \F(5,6) C. EQ \F(3,2) D. EQ \F(2,3)





已知方程的解为,则a=_________.





解下列分式方程


(1) (2)








答案与解析


1.【答案】A


【解析】根据互为相反数两数之和为0，列等式得，经检验得k= EQ \F(6,5)





2.【答案】5


【解析】把解代入得a=5.





3.【答案】


（1） （2）


经检验，x=-5是原方程的解。 经检验，x=1是方程增根，原方程无解。


【解析】遵循解方程步骤，不跳步，不丢步。














巩固











若分式方程有增根，则的值是（ ）


A . 5 B . 0 C . 6 D . 3


关于x的方程的解是负数, 则a的取值范围是（ ）


A. B. 且 C. D. 且


北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了


一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？








答案与解析


1.【答案】D


【解析】含参分式方程，先表示出解，本分式方程有增根，只能是x=2，故，解得a=3。





2.【答案】B


【解析】含参分式方程，先表示出解，解是负数则，解得且。





3.【答案】设商场第一次购进套运动服，由题意得：


，解这个方程，得．经检验，是所列方程的根．


．所以商场两次共购进这种运动服600套．





【解析】找到数量关系“进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍”，与等式关系“但每套进价多了10元”，注意量的前后。
































拔高











小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的


时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）


A B C D





已知关于x的方程解为正数,求m的取值范围.





阅读：


对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或.又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，.


应用上面的结论解答下列问题：


（1）方程的两个解中较大的一个为 ；


（2）关于x的方程的两个解分别为、（），若与互为倒数，则，；


（3）关于x的方程的两个解分别为、（），求的值.





答案与解析


1.【答案】C


【解析】数量关系：小明每分钟比小张少打6个字；等量关系：小明打120个字所用的


时间和小张打180个字所用的时间相等。根据题意列方程，得C正确。


2.【答案】解得x=6-m,根据题意，解得m＜6且m≠3.


【解析】含参分式方程，先表示出解，根据解为正，且暗含分母不为0，求得范围。





3.【答案】（1）；（2） ，；


（3）∵，


∴.


∵，，，


∴，.


∴，.


∴.





【解析】新定义阅读类，把握题目特点，考虑周全。








七 、教学反思




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
分式方程的定义；


分式方程的解


解分式方程


分式方程的增根


根据实际问题列分式方程
教学目标
理解分式方程的意义;


了解解分式方程的基本思路和解法;


理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握分式方程的验根方法.


发展学生分析问题﹑解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.


在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.


通过让学生经历分析相等关系列方程的过程，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，进一步体会化归思想。
教学重点
解分式方程的基本思路和解法．会检验一个数是不是原方程的增根
教学难点
理解解分式方程时可能无解的原因.[