人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试优质教案

这是一份人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试优质教案，共15页。教案主要包含了教学建议，知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第11讲


讲























乘法公式












































概 述














【教学建议】


本章内容是位于人教版教材八年级上册，第14章《整式的乘法与因式分解》，14.2乘法公式。根据过往学生的认识过程来看，学生的定向思维就认为两数的和的平方等于两数的平方和，而且还容易根深蒂固，那么如何在教学中转变或是加深学生对此公式的正确认识呢？教材做了合理的安排，较好的方法是“数形结合”，借助面积相等帮助代数恒等式的学习。














【知识导图】











教学过程








一、导入








【教学建议】


导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。


导入的方法很多，仅举两种方法：


情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；


温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。


提供一个教学设计供讲师参考：


知识复习：


1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。


2.计算：⑴ （x－3）（x+7） ⑵ （2a+5b）（3a－2b） ⑶ (m－n)(m2+mn+n2)

















二、知识讲解








考点1 平方差公式








【教学建议】根据样题，观察算式及运算结果，让学生归纳验证。


计算下列各题


（1）（a-3）（a+3）（2）（1+2x）（1－2x）


（3） （a+3b）（a－3b）（4）（2x+y）（2x－y）


观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？并举例计算验证自己的猜想.


平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2


两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式


平方差公式的特点：


（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；


（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。


归纳：（a+b）(a-b)=a2-b2的8种变化形式








考点2 完全平方公式








1.发现、总结


根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？


(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？


（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______；


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______；


通过计算，可以得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2 +2p+1


（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4


（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1


（m-2）2=（m-2）（m-2)=m2 -4m+4


结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。


（1）（2）之间只差一个符号.





2. 结合以上情形，我们得到完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


(a-b)2=a2-2ab+b2


即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．


完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。





3. 注意事项：（1）完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式，也可以是多项式


（2）对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算











三 、例题精析








类型一 平方差公式的应用





例题1








【总结与反思】平方差公式特征是：字母同，符号有同有异，同前异后平方差。





例题2








【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要学生观察仔细，认真思考。


计算:（1）9.8×10.2 （2）59.8×60.2





【答案】（1）9.8×10.2 =（10-0.2）（10+0.2）=100-0.04=99.96


（2）59.8×60.2=（60-0.2）（60+0.2）=3600-0.04=3599.96





【解析】此类题注意向平方差公式形式转化，写成两个数的和与差的积的形式，使运算简便。





【总结与反思】平方差公式在数字简便运算中的运用，需要把握平方差的结构特征。














类型二 完全平方公式的应用





例题1








【教学建议】完全平方公式由多项式乘以多项式得到，属于公式的简便记忆，需要学生掌握基本结构及特征。


计算(1)（2x+3）2 (2)(a-2b)2


(3)(-x-y)2 (4)(3a+2)(-3a-2)








例题2








【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要学生观察仔细，认真思考。


计算(1)1022 (2)982

















类型三 乘法公式综合应用





例题1








【教学建议】乘法公式在化简及计算中的应用，需要关注各种变形，注意符号变化，注意结构特征。


（1）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（ ）


A．3 B．6 C．10 D．9











例题2








【教学建议】完全平方公式有两个，在二倍乘积项，常考分类问题，牢记公式。在两个完全平方公式中存在两数的和、差、平方和、积，共四个基本部分，知二推二，掌握结构，牢记公式。


（1）如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m=______．








四 、课堂运用








基础








利用图中图形面积关系可以解释的公式是（ ）





A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2


C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．（a+b）（a2﹣ab+b3）=a3+b3





如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下


的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了


一个等式，则这个等式是（ ）





A．B．


C．D．





计算（x﹣3y）（x+3y）的结果是（ ）


A．x2﹣3y2B．x2﹣6y2C．x2﹣9y2D．2x2﹣6y2





在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ）


A．xB．3xC．6xD．9x











巩固








下列算式能用平方差公式计算的是（ ）


A．（2a+b）（2b﹣a）B．


C．（3x﹣y）（﹣3x+y）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）





已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）


A．8B．±8C．16D．±16





先化简再求值


，其中a＝－1，b＝－2


























拔高








用乘法公式计算：


①20022﹣2001×2003；


②（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）





阅读下列材料：


一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数．


已知a=20042+20042×20052+20052，试说明a是一个完全平方数．





观察下列各式：


（x﹣1）（x+1）=x2﹣1


（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1


（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1


（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1


①你能否由此归纳出一般性规律：


（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= ；


②根据①求出：1+2+22+…+262+263的结果．














五 、课堂小结











1、两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式，即


（a+b）(a-b)=a2-b2


平方差公式的特点：


（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；


（2）右边是相同项的平方减去相反相的平方


（3）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。





2、两数和的完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2


两数差的完全平方公式：(a-b)2=a2-2ab+b2


即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．


完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。


3、完全平方公式：(a+b)2 =a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式，也可以是多项式


4、对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算


六 、课后作业

















基础








下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ）


A. B.


C. D.


下列运算中，运用完全平方公式计算正确的是（ ）


A. B.


C. D.





( )－( )





已知是完全平方式， 则 ；是完全平方式， 则 ；








巩固











正方形的边长是厘米， 若将一边增加3厘米， 另一边减少3厘米，那么改变后的面积是多少.





一个正方形，若每边都增加3厘米, 面积就增加63平方厘米，求原正方形的面积.





计算:


（1）


（2）














拔高











已知， 求的值.





已知求的值.





已知:求: (1) ；(2)





拓展题：


（1）计算并填空:


; ; ; ;


; ; ; .


根据(1)的计算结果，你发现(是正整数)的个位数字变化有什么规律.


根据上述结论，请运用平方差公式计算出的个位数字是什么.





七 、教学反思




















适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
平方差公式；完全平方公式
教学目标
理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式，完全平方公式进行运算。


通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，感悟换元的思想方法，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维。


体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验。
教学重点
掌握公式的结构特征及正确运用公式
教学难点
公式推导的理解及字母的广泛含义
（1）位置变化
（b+a）（-b+a）=(a+b)(a-b)=a2-b2
（2）符号变化
（-a-b）（a-b）=-(a+b)(a-b)=-（a2-b2）
（3）系数变化
（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2
（4）指数变化
(a2+b2)(a2-b2)=（a2）2-（b2）2=a4-b4
（5）增因式变化
(a+b)(a-b)（-a-b）（-a+b）=(a2-b2)[(-a)2-b2]
（6）增项变化
(a-b-c)（a-b+c）=（a-b）2-c2
（7）连用公式变化
(a+b)(a-b)(a2+b2)（a4-b4）=a8-b8
（8）逆用公式变化
a2-b2=(a+b)(a-b)
计算：（1）（a-2b）（2b+a）


（2）（3x-2y）（-3x-2y）


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）


【答案】


（1）（a-2b）（2b+a）=（a-2b）（a+2b）=a2-4b2


（2）（3x-2y）（-3x-2y）=（-2y+3x）（-2y-3x）=4y2-9x2


（3）（5mn-3mn）（-3mn-5mn）=（-3mn+5mn）（-3mn-5mn）=9m2n2-25m2n2


【解析】直接运用平方差公式解答即可。