数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形优秀教案设计

这是一份数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形优秀教案设计，共24页。教案主要包含了知识导图，如图（1），考查能力等内容，欢迎下载使用。

第6讲


讲























轴对称及等腰三角形












































概 述








【知识导图】














教学过程








一、导入








复习预习


提出问题，引入新课


1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？


2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．


3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．


4.问题：如何作出线段的垂直平分线？








二、知识讲解











考点1








要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．


[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？





已知：线段AB【如图（1）】．


求作：线段AB的垂直平分线．


作法：如图（2）


(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；


(2)．作直线CD．


直线CD就是线段AB的垂直平分线．


考点2








图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．


作法：


1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．


2．作出线段AA′的垂直平分线L．


则L就是这个五角星的一条对称轴．


用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．


考点3等腰三角形的概念








有两条边相等的三角形叫做等腰三角形


相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边


腰与底边的夹角叫做底角


两腰的夹角叫做顶角








考点4等腰三角形的特征








等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴





考点3等腰三角形的判定方法


等腰三角形的两个底角相等





根据等腰三角形的定义：


有两条边相等的三角形叫做等腰三角形


如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边





三 、例题精析











例题1








如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）


A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°





【答案】∵DE是线段AB的垂直平分线，


∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°


其它选项无法证明其是正确的．故选D


【解析】根据线段垂直平分线的性质得等腰三角形ADB，运用等腰三角形的性质得出尽量多的结论，与各选项进行比对，答案可得





例题2








如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________





【答案】6cm


【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，


∴PA=PB，而PA=6cm，∴PB=6cm．故答案为6





例题3








如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______





【答案】90°


【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，∴AO⊥CD，∴∠AOC=90°，故答案为：90





例题4








如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，


求：△ABC各角的度数．





【答案】因为AB=AC，BD=BC=AD，


所以∠ABC=∠C=∠BDC．


∠A=∠ABD（等边对等角）．


设∠A=x，则


∠BDC=∠A+∠ABD=2x，


从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．


于是在△ABC中，有


∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，


解得x=36°．


在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．


【解析】根据等边对等角的性质，我们可以得到


∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，


再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．


再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．





例题5








如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为°





【答案】45


【解析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°．


解：∵△ABC是等腰三角形，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，


∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=30°，


∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故填45





例题6








如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为





【答案】解：∵AE=ED，∴∠ADE=∠A，


∴∠DEB=∠A+∠ADE=2∠A，


∵BD=ED，∴∠ABD=∠DEB=2∠A，


∴∠BDC=∠A+∠ABD=3∠A，


∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=3∠A，


∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3∠A，


∵∠ABC+∠C+∠A=180°，∴7∠A=180°，


∴∠A=度


【解析】由已知根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠C与∠A之间的关系，从而再利用三角形内角和定理求解即可





例题7








等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？


【答案】解：①当6为底时，其它两边都为13，


6、13、13可以构成三角形，周长为32；


②当6为腰时，


其它两边为6和13，


∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32


【解析】．因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论





例题8








已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是


【答案】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．





【解析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．











例题9








如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．





【答案】15


【解析】试题分析：因为P点关于OA、OB的对称点P1，P2，所以P1M=PM, P2N=PN,


所以△PMN的周长=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN= P1P2=15．


考点：轴对称的性质





例题10








如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为．





【答案】20°．


【解析】


试题分析：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故答案为：20°．





例题11








已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）


A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上


C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN


【答案】B


【解析】∵MN是线段AB的垂直平分线，


∴与点A和点B距离相等的点在MN上，MN垂直平分AB．故B正确；A、C、D错误．





例题12





如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）


A．50° B．60° C．70° D．80°





【答案】D


【解析】连接BD，AC．设∠1=x，


∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，


∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，


根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°-2∠4=100°-2x，∠BDC=180°-2x，


∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=80°．


故选D











例题13








下列说法中：


①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；


②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；


③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；


④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．


其中正确的个数有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【答案】C


【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；


②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；


③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A








例题14





下列命题中正确的命题有（ ）


①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


【答案】A


【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；


②错误；这是对线段垂直平分线的误解；


③有无数条，错误；


④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；


⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；


故选A


四、课堂运用











基础


四 、课堂运用








1证明等腰三角形三线合一。





2如果在一个三角形中，任意两线是合一的，那么这个三角形是否一定是等腰三角形？试分情况说明之。





答案与解析


略





巩固








1. 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）


等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．


已知：


求证：△AED 是等腰三角形．


证明：








2如图，坐标平面内一点 A（2，-1），O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（ ）


A.2 B.3 C.4 D.5








答案与解析


1.答案：解：如上图：①OA 为等腰三角形底边，符合符合条件的动点 P 有一个；


②OA 为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点 P 有三个．


综上所述，符合条件的点 P 的个数共 4 个．故选 C．


解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA 为等腰三角形底边；②OA 为等腰三角形一条腰．


2．答案：解：已知：①③（或①④，或②③，或②④）


证明：在△ABE 和△DCE 中


∵B C AEB DEC AB DC        


∴△ABE≌△DCE；∴AE=DE；


△AED 是等腰三角形．


解析;根据等腰三角形的判定方法，即在一三角形中等边对等角或等角对等边，可选①③来证明△ABE≌△DCE，


从而得到 AE=DE，即△AED 是等腰三角形．


（或①④，或②③，或②④．）





提高








1.已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，BE⊥AC，垂足为点 E，M 为 AB 边的中点，连接


ME、MD、ED．


（1）求证：△MED 为等腰三角形；


（2）求证：∠EMD=2∠DAC．











2.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF猜想△DEF的形状并证明．











答案与解析


1答案：证明：（1）∵M 为 AB 边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴ME= 1 2 AB，MD= 1 2 AB， ∴ME=MD，


∴△MED 为等腰三角形； （2）∵ME= 1 2 AB=MA， ∴∠MAE=∠MEA，


∴∠BME=2∠MAE， 同理，MD= 1 2 AB=MA， ∴∠MAD=∠MDA，


∴∠BMD=2∠MAD，


∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC．


解析：（1）由于 AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB 和△ABE 是直角三角形，又因为 M 为 AB 边的中点，所 以 ME=MD= 1 2 AB，所以△MED 为等腰三角形； （2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，


作差即可证得结论．


2【答案】解：△DEF为等腰直角三角形；证明：如图，连接CD，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠AEC=∠BFC=90°，∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，


在△ACE与△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），


∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，∵∠CAB=∠DCB=45°，∴∠FCD=∠DAE，又AD=CD，


∴△AED≌△CFD，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．





五、课堂小结











线段的垂直平分线的性质和判定；


等腰三角形的性质及灵活应用。


六、课后作业











基础








1.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．





2.如图，在四边形ABCD中，AE∥DC，CA是∠DCE的平分线，∠CEB=∠AEB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．











3. 下列说法中：


①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；


②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；


③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；


④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．


其中正确的个数有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个





答案与解析


1【答案】△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD与△BCE中，


∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE（AAS），


∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形。


【解析】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么△AFC是等腰三角形．


2【答案】△ABC为等腰三角形．理由如下：∵AE∥DC，∴∠ACD=∠CAE，


∵CA是∠DCE的平分线，∴∠ACE=∠ACD，∴∠ACE=∠CAE，∴EA=EC，


在△BAE和△BEC中，，∴△BAE≌△BEC（SAS），∴BA=BC，


∴△ABC为等腰三角形．


【解析】由AE∥DC得到∠ACD=∠CAE，由CA是∠DCE的平分线得到∠ACE=∠ACD，则根据等量代换得∠ACE=∠CAE，根据等腰三角形的判定得到EA=EC，然后根据“SAS”可判断△BAE≌△BEC，所以BA=BC，由此可判断△ABC为等腰三角形．


3【答案】C


【解析】①P不是AB的中点，则l不平分线段AB，故错误；


②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；


③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确．故选A





巩固








1.两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME，MC．判断△EMC的形状，说明理由．











2.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．








3.如图，△ABC申，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=82，则∠BDC=____.











答案与解析


1【答案】△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．


∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，


∴△DAB是等腰直角三角形．又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD，


AM=BD=MD，∴∠EDM=∠MAC=105°，在△MDE和△CAM中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM，∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，


∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC是等腰直角三角形．


【解析】欲判断△EMC的形状，需知道其三边关系．根据题意需证EM=CM，由此证明△EMD≌△CMA即可．依据等腰直角三角形性质易证．








2【答案】①②


【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，


在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC


=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；


∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；


3【答案】


【考点】线段的垂直平分线


【考查能力】应用意识能力





拔高











1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．





2. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．





（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；


（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；


（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________


3. 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．








答案与解析


1【答案】解：△DEF为等腰直角三角形；证明：如图，连接CD，∵AE⊥CE，BF⊥CE，∴∠AEC=∠BFC=90°，∵∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ACE=∠CBF，


在△ACE与△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），


∴AE=CF，∠CAE=∠BCF，∵∠CAB=∠DCB=45°，∴∠FCD=∠DAE，又AD=CD，


∴△AED≌△CFD，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形．





【解析】本题考查了等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定，能够运用三角形的全等得出线段相等，对应角相等，作出辅助线是解答本题的关键．


2【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.


【考点】线段的垂直平分线


【考查能力】应用意识能力


七 、教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
线段的垂直平分线的性质和判定
教学目标
1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．


2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．


3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；


4、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。


5、等腰三角形的判定


6、等腰三角形的性质
教学重点
轴对称图形对称轴的作法；掌握等腰三角形的轴对称性质；熟练运用等腰三角形的性质
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法；方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用