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数学八年级上册13.3.1 等腰三角形优秀教学设计
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这是一份数学八年级上册13.3.1 等腰三角形优秀教学设计，共16页。教案主要包含了知识导图，如图（1）等内容，欢迎下载使用。
第6讲
讲
轴对称及等腰三角形
概 述
【知识导图】
教学过程
一、导入
复习预习
提出问题，引入新课
1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
4.问题：如何作出线段的垂直平分线？
二、知识讲解
考点1
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB【如图（1）】．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
考点2
图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：
1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
考点3等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边
腰与底边的夹角叫做底角
两腰的夹角叫做顶角
考点4等腰三角形的特征
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
考点3等腰三角形的判定方法
等腰三角形的两个底角相等
根据等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边
三 、例题精析
例题1
如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
例题2
如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________
例题3
如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______
例题4
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
例题5
如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为°
例题6
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为
例题7
等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？
例题8
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是
例题9
如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．
例题10
如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为．
例题11
已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）
A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上
C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN
例题12
如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
例题13
下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题14
下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
四、课堂运用
基础
四 、课堂运用
1证明等腰三角形三线合一。
2如果在一个三角形中，任意两线是合一的，那么这个三角形是否一定是等腰三角形？试分情况说明之。
巩固
1. 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）
等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
已知：
求证：△AED 是等腰三角形．
证明：
2如图，坐标平面内一点 A（2，-1），O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
提高
1.已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，BE⊥AC，垂足为点 E，M 为 AB 边的中点，连接
ME、MD、ED．
（1）求证：△MED 为等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．
2.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF猜想△DEF的形状并证明．
五、课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定；
等腰三角形的性质及灵活应用。
六、课后作业
基础
1.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
2.如图，在四边形ABCD中，AE∥DC，CA是∠DCE的平分线，∠CEB=∠AEB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
3. 下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固
1.两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME，MC．判断△EMC的形状，说明理由．
2.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．
3.如图，△ABC申，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=82，则∠BDC=____.
拔高
1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．
2. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________
3. 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
线段的垂直平分线的性质和判定
教学目标
1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．
2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；
4、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。
5、等腰三角形的判定
6、等腰三角形的性质
教学重点
轴对称图形对称轴的作法；掌握等腰三角形的轴对称性质；熟练运用等腰三角形的性质
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法；方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用
第6讲
讲
轴对称及等腰三角形
概 述
【知识导图】
教学过程
一、导入
复习预习
提出问题，引入新课
1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
4.问题：如何作出线段的垂直平分线？
二、知识讲解
考点1
要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB【如图（1）】．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
(1)．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
(2)．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
考点2
图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：
1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
考点3等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
相等的两边叫做等腰三角形的腰，第三边叫做底边
腰与底边的夹角叫做底角
两腰的夹角叫做顶角
考点4等腰三角形的特征
等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合（也称等腰三角形三线合一），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴
考点3等腰三角形的判定方法
等腰三角形的两个底角相等
根据等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边
三 、例题精析
例题1
如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
例题2
如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=6cm，则线段PB的长度为________
例题3
如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，则∠AOC=_______
例题4
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
例题5
如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为°
例题6
如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，且BC=BD=DE=EA，则∠A的度数为
例题7
等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为多少？
例题8
已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角是
例题9
如图：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．
例题10
如图：将一个长方形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处，若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为．
例题11
已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的是（ ）
A．与AB距离相等的点在MN上B．与点A和点B距离相等的点在MN上
C．与MN距离相等的点在AB上D．AB垂直平分MN
例题12
如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
例题13
下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题14
下列命题中正确的命题有（ ）
①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
四、课堂运用
基础
四 、课堂运用
1证明等腰三角形三线合一。
2如果在一个三角形中，任意两线是合一的，那么这个三角形是否一定是等腰三角形？试分情况说明之。
巩固
1. 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）
等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．
已知：
求证：△AED 是等腰三角形．
证明：
2如图，坐标平面内一点 A（2，-1），O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P 的个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
提高
1.已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为点 D，BE⊥AC，垂足为点 E，M 为 AB 边的中点，连接
ME、MD、ED．
（1）求证：△MED 为等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．
2.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF猜想△DEF的形状并证明．
五、课堂小结
线段的垂直平分线的性质和判定；
等腰三角形的性质及灵活应用。
六、课后作业
基础
1.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
2.如图，在四边形ABCD中，AE∥DC，CA是∠DCE的平分线，∠CEB=∠AEB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
3. 下列说法中：
①P是线段AB上的一点，直线l经过点P且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线；
②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；
③若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线；
④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
巩固
1.两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME，MC．判断△EMC的形状，说明理由．
2.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是 ．
3.如图，△ABC申，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=82，则∠BDC=____.
拔高
1.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．
2. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________
3. 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
线段的垂直平分线的性质和判定
教学目标
1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法．
2．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
3、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；
4、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。
5、等腰三角形的判定
6、等腰三角形的性质
教学重点
轴对称图形对称轴的作法；掌握等腰三角形的轴对称性质；熟练运用等腰三角形的性质
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法；方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用
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