初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形精品课后复习题

小专题(十)　运用分类讨论求解等腰三角形相关的多解问题

类型1　针对腰长和底边长进行分类

方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目中的条件没有指明已知的这条边是腰长还是底边长时，就要分类讨论，按腰和底边两种情况分类．若涉及边的长度，应运用三角形的三边关系进行辨别取舍．

1．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(A)

A．5  B．6  C．7  D．8

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(B)

A．7个

B．6个

C．5个

D．4个

3．若实数x，y满足|x－5|＋＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．

类型2　针对顶角和底角进行分类

方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．

4．等腰三角形有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？

解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；

②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.

故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.

5．如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数．

解：设∠A，∠B，∠C是该等腰三角形的三个内角，且∠A＝∠B.

设∠A＝x°，则∠B＝2x°.

①若∠B是顶角，则∠A，∠C是底角，于是有∠C＝∠A＝x°.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋x＝180.

解得x＝45，故∠A＝∠C＝45°，∠B＝90°；

②若∠B是底角，∵∠A≠∠B，

∴∠A是顶角，∠C＝∠B＝2x°.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180.

解得x＝36，故∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°.

综上所述，等腰三角形的各内角分别为45°、45°、90°或36°、72°、72°.

类型3　针对锐角、直角和钝角三角形进行分类

方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角或钝角三角形．不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高的交点在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高的交点为两直角边的交点；钝角三角形腰上的高的交点在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论．

6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成50°的角，求底角的度数．

解：由题意可判断该三角形不可能是直角三角形，可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：

①如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且∠AED＝50°，则∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；

②如图2，垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且∠AED＝50°，则∠EAD＝40°，∠BAC＝140°，所以∠B＝∠C＝20°.

综上可知，等腰三角形的底角为70°或20°.

7．一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？

解：设∠A为顶角，则∠ABC、∠ACB为底角．

(1)若∠A为锐角，如图1，作BD⊥AC于点D，

根据题意有BD＝AB，∠BDA＝90°，

∴∠A＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°；

(2)若∠A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；

(3)若∠A为钝角，有三种情况：

①如图2，作AD⊥BC于点D，

根据题意有AD＝AB，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

②如图3，作BD⊥CA的延长线于点D，

根据题意有BD＝BC，∠ADB＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°；

③如图4，作BD⊥CA的延长线于点D，

根据题意有BD＝AB，∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝30°，∠ABC＝∠ACB＝15°.

综上所述，等腰三角形底角的度数是75°、30°或15°.

8．AC为等腰△ABD的腰BD上的高，且∠CAB＝60°.求这个三角形各内角的度数．

解：①如图1，高AC在△ABD的内部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠B＝30°.

因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝75°；

②如图2，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠ABC＝30°.

所以∠ABD＝150°.

因为BA＝BD，所以∠BAD＝∠D＝15°；

③如图3，高AC在△ABD的外部，

因为∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，

所以∠B＝30°.

因为DA＝DB，所以∠BAD＝∠B＝30°.

所以∠ADB＝120°.

综上所述，这个三角形各内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.