初中数学13.3.1 等腰三角形优秀当堂达标检测题

这是一份初中数学13.3.1 等腰三角形优秀当堂达标检测题，共20页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。

八年级上册数学13.3等腰三角形证明题同步达标训练
1．在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．




2．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB．
（1）若AB＝AC＝10cm，BC＝6cm，求△BCE的周长；
（2）若∠A＝40°，求∠EBC的度数．


4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．

5．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝5，求DF的长．

6．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE．求∠CDE的度数．


7．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．


8．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．

9．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

10．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．
（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；
（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．



11．如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．

（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数．




12．如图所示，在△ABC中，MN⊥AC，垂足为N，且MN平分∠AMC，△ABM的周长为9cm，AN＝2cm，求△ABC的周长．




13．如图所示，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝95°，求△BDE各内角的度数．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．
（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；
（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．


15．如图在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．




16．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．

17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．
求证：DE+DF＝BG．

18．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．
求证：AF⊥BC．

19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．


20．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．
求证：△DEF是等边三角形．


21．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
求证：△CMN是等边三角形．

22．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点
（1）求证：CD＝BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的长．


23．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD＝DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．


参考答案
1．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣30°
＝90°；
（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣15°
＝105°；
（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD
＝60°+60°+10°
＝130°；
（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．
2．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE
∴2∠ABC＝2∠FCE，
∴∠ABC＝∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠FDC；
∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC
∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC
∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°
∴∠DFC＝20°．
3．解：（1）∵DE垂直平分AB
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+EA+CE＝BC+AC＝16（cm）；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝30°．
4．（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝40°，
∴∠ANB＝100°，
∴∠MNA＝50°；
（2）①∵AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6cm．
5．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝5，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝10．
6．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，
∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°．
7．（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°
由（1）知∠E＝30°
∴∠DBC＝∠E＝30°
∴DB＝DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．
8．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝CA＝BC，∠BAE＝∠ACD＝60°；
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD＝BE；

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAE＝60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB＝90°，
∴∠PBQ＝90°﹣60°＝30°，
∵PQ＝3，
∴在Rt△BPQ中，BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴AD＝BE＝BP+PE＝6+1＝7．
9．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
10．解：（1）∵AD是边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）∠BAD＝2∠EDC，
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，
∴∠BAD＝2∠EDC．
11．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵∠ACE＝∠B+∠BAC，
∴∠BAC＝，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF＝，
∴∠BAC＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠BAC＝∠ACF，∠B＝∠BAC，∠ADF＝∠B，
∴∠ACF＝∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF＝180°，
又∵∠AGD＝∠CGF，
∴∠F＝∠CAD＝20°．

12．解：∵MN⊥AC，且平分∠AMC，
∴∠MAC＝∠MCN，
∴MA＝MC，且AN＝NC＝2cm，
∵△ABM的周长为9cm，
∴AB+AM+BM＝9cm，
∴AB+BM+MC＝9cm，
即AB+BC＝9cm，且AC＝2AN＝4cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝9+4＝13cm．
13．解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥BC，交AB于点E，
∴∠CBD＝∠BDE
∴∠EBD＝∠BDE．
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠A+∠ABD＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣60°＝35°，
∴∠BDE＝∠DBE＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠EBD﹣∠EDB＝180°﹣35°﹣35°＝110°．
14．（1）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠BAD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴AC＝CD，
即△ACD为等腰三角形；
（2）解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；
②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；
即∠BAD的度数是60°或30°．
15．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×9＝4.5，
∴DF＝4.5．
16．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，
∵EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴∠ECB＝∠EDF，
∴△ECB≌△EDF（SAS），
∴BE＝EF，∠B＝60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF，
∵AE＝BD，
∴DF＝AB，BC＝DF，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．

17．证明：连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，
AB•DE+AC•DF＝AC•BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG．

18．证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵点F为BC中点，
∴AF⊥BC．
19．证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠SCB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，
∴∠DBC＝∠E，
∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，
∵DH垂直于BE，
∴H为BE中点（三线合一）．
20．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD，
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED（SAS），
∴DF＝DE，
同理DE＝EF，
∴DE＝DF＝EF．
∴△DEF是等边三角形．
21．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，AM＝BN；
∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；
又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，
∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，
∴∠NCM＝∠ACB＝60°，
∴△CMN是等边三角形．

22．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF，
∵点P为DE中点，
∴PD＝PE，
在△PDF和△PEB中，，
∴△PDF≌△PEB（AAS），
∴DF＝BE，
∴CD＝BE；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，
∴BP＝BE，
由（1）得：CD＝BE，
∴BP＝BE＝CD，
设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，
∵AE＝2AD，
∴12+x＝2（12﹣x），
解得：x＝4，
即BP的长为4．

23．（1）证明：
如图，

过P做PF∥BC交AC于点F，
∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠AFP＝60°，
∴△APF是等边三角形；
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD＝DQ．
（2）△APF是等边三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD＝DF，
DE＝EF+DF＝AC，
∵AC＝1，
DE＝．