(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第05讲 一元二次方程的构造及应用（学生版）
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一元二次方程的
构造及应用
模块一 利用根的定义构造方程
模块二 利用根系关系构造方程
模块一 利用根的定义构造方程
如果m、n分别是一元二次方程的两根，那么有，，相反的，如果已知m、n分别满足，，且，那就可以构造一个一元二次方程使得m、n是它的解．
模块二 利用根系关系构造方程
如果m、n分别是一元二次方程的两根，由韦达定理，，，相反的，如果已知m、n分别满足，，且，那就可以构造一个一元二次方程使得m、n是它的两根．
这里主要提到的是同形构造及和积构造．
（1）已知a，b是不相等的实数，且，，求的值．
（2）如果实数a，b分别满足，，求的值．
【解析】（1）由根的定义，知a，b为一元二次方程的两个根．
由韦达定理知，，于是．
（2）由题意知：a，b为方程的两个根，且，，
解方程，得：，，
①当时，有，，∴；
②当时，方程的根为，．
当时，∴；
当时，∴．
综上所述，或或．
【点评】通过这道题，让孩子们深刻理解如何利用根的定义去构造方程，而且要理解这两道常考题型的区别，抓住题目给出的条件，根据条件去决定这道题需不需要讨论．通过这道题，也加深孩子们对于分类讨论思想的理解．
已知实数，且满足，，求①；②；③．
【解析】由根定义，a，b是方程的两个根，
整理得a，b是一元二次方程的两个根，
①由根系关系，，，
②则，
③由①可知，，于是，，
．
【点评】这道题是一道特别经典的题，老师可以大概提一下把（a+1）和（b+1）看做整体去构造也是可以的，但是相对麻烦．并且老师还可以结合例1去掉，那应该要分类讨论，带着学生们在做一遍．
（1）已知，，且，求的值．
（2）实数s，t满足，且，求的值．
（3）实数p，q满足，且，求的值．
【解析】（1）由，有，，又，所以，
则可变形为．由及，
可知p与是方程的根，因此．
（2）由可知，，故．
又，，故s、是方程的两根，从而可知，，故．
【注意】其实构造成也可，不过此时两根变为和t，由根系关系可知，，故（相对麻烦些）．
（3）由得：且，因为，即，故p、是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理：
，；所以．
【点评】锻炼分析能力和同形构造能力：①对比两个方程最简形式的系数能发现什么（从条件出发怎么变成同形）？②怎么出现一个字母的倒数（从结果出发）．
已知的三边a，b，c满足：，，试确定的形状．
【解析】∵，，
∴b，c是关于x的方程有两个实数根．
∵，整理得：．
又，∴．
此时，方程的两根相等，
即：．
∴是等腰三角形．
若一直角三角形两直角边的长a、b均为整数，且满足．试求这个直角三角形的三边长．
【解析】因为a、b为正整数，所以，m也为正整数．且，
从而，a、b是关于x的方程的两个不等整数解．
所以必为完全平方数．
不妨设，k为正整数，即 ……①
由此知关于m的方程①应有整数解，则也必为完全平方数．于是为完全平方数．
令，其中n为正整数．则．
显然．又，于是，分三种情况讨论：
时，，无整数解；
时，，解得，，直角三角形的三边长分别为5，12，13；
时，，解得，，直角三角形三边长分别为6，8，10．
综上，直角三角形的三边长分别为5，12，13或6，8，10．
【点评】这道题当然可以直接利用判别式为完全平方数去进行配方去做，然后利用平方差公式去做，根据两数之和和两数之差同奇偶去把这道题给解决．
已知x、y均为实数，且满足，．
求：（1）；（2）；（3）．
【解析】由已知，,
所以xy和是方程①的两个实数根．
解方程①得，．即，；或者，．
i）当，时，x、y是方程②的两个根．
因为，所以方程②有实数根．
（1）．
（2）．
（3）
ii）当，时，x、y是方程③的两个根．
因为，所以方程③没有实数根．
综上可知
（1）．
（2）．
（3）．
【点评】这道题主要锻炼学生的双重构造方程的能力，属于较难的代数的题，考察也比较综合，联系到恒等变形，及知二推二．
1．若，，则的值为____或______（按照从大到小填写）．
2．已知，，且，则的值为_________．
【解析】1．2或；
2．由可知，，故，即，
又，，故、是方程的两根；
由根系关系可知，．
3．若，且，，则_______．（填小数形式）
【解析】由得，，又，
所以a，可以看作是方程的两个根．
由韦达定理，得：，；故．
4．已知关于x的方程有两个相等的实数根，、是关于y的方程的两个根，求以，为根、二次项系数为2的一元二次方程．
【解析】由求根公式知，，解得，，当时，关于y的方程无解；当时，方程，解得，，故，，故所求方程为，即．
5．已知：a，b，c三数满足方程组，试求方程的根．
【解析】由方程组得：a，b是方程的两根，
，，，
所以原方程为，
，．
6．已知x、y是正整数，并且，，则_________．
【解析】由于，，则xy与为方程的两个根，得到，，
即， ①；
或者， ②；
①的时候x、y为方程的根，，不是完全平方数，x、y不可能为题目中要求的正整数，舍；
②的时候x、y为方程的根，，．
故．
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