(最新)初三数学上册班培优讲义.直升班第03讲 一元二次方程的判别式与根系关系（学生版）

一元二次方程的判别
式与根系关系  

模块一  一元二次方程的判别式

模块二  一元二次方程的根与系数关系

模块一  一元二次方程的判别式

1．定义：

在一元二次方程中，只有当系数a、b、c满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式，记作．

2．判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程的根的情况由确定．

设一元二次方程为，其根的判别式为：，则

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

特殊的：

（1）若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

（2）若为完全平方式，同时是2a的整数倍，则方程的根为整数根．

模块二  一元二次方程的根与系数关系

1．韦达定理：

如果的两根是，，则，．（使用前提：）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．

2．韦达定理的逆定理：

如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．

特别地，以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．

3．韦达定理与根的符号关系：在的条件下，我们有如下结论：

（1）当时，方程的两根必一正一负．

①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值．

（2）当时，方程的两根同正或同负．

①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根．

注意：（1）若，则方程必有实数根．

（2）若，方程不一定有实数根．

（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况：

①           ②  

③          ④（m为常数）

（2）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根       B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根     D．有两个不相等的实数根

（1）若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围为______．

（2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围______．

（3）当a、b为何值时，方程有实根？

已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．

在等腰中，、、的对边分别为a、b、c，已知，b和c是关于x的方程的两个实数根，求的周长．

（1）已知一元二次方程的一根，则方程的另一根．

（2）已知，是方程的两个实数根，则：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．

（1）已知关于x的方程有两个实数根，，且，求k值．

（2）已知，是方程的两实根，是否能适当选取a的值，使得的值等于．

（1）若m，n是方程的两个实数根，则的值为________．

（2）已知a，b是方程的两个实数根，则的值为__________．

（3）已知m、n是方程的两个根，则 ________．

（1）已知一元二次方程的两根都是负数，则k的取值范围是_________．

（2）已知二次方程的两根都是非负数，则k的取值范围是__________．

1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________．

A．          B．且             C．且            D．且

2．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围__________．

3．关于x的方程有实根，则m的取值范围__________．

4．已知关于x的方程．

（1）求证：无论k为何值，方程总有实根；

（2）若等腰，底边，另两边b、c恰好是此方程的两根，求的周长．

5．关于x的方程的一个根是，则方程的另一根是_______；________．

6．已知a，b，c为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的正实数根                 B．有两个异号的实数根

C．有两个不相等的负实数根              D．不一定有实数根

7．设α，β是一元二次方程的两个根，则________．

8．已知关于x的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值．