(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第01讲 一元二次方程概念和解法（学生版）
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一元二次方程
概念和解法
模块一 一元二次方程的概念
模块二 一元二次方程的解法
模块一 一元二次方程的概念
1．一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．
（2）任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式 ()．
要特别注意对于关于x的方程．当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．
（3）关于x的一元二次方程式的项与各项的系数．
为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．
模块二 一元二次方程的解法
1．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．
（2）配方法：解形如的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①二次项系数化为1．
②常数项右移．
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．
④化成的形式．
⑤若，直接开平方得出方程的解．
（3）公式法：将进行配方可以得到：．
当时，两个根为，其中时，两根相等为；当时，没有实数根．
可以用表示，称为根的判别式．
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式；
②确定a、b、c的值；
③计算的值；
④若，则代入公式求方程的根；
⑤若，则方程无实数根．
（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．
2．一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．
（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．
（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算的值．
（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．
【教师备课提示】说到方程，大家都知道方程是怎么来的吗？？？说到一元二次方程不得不提到三个人，丢番图，花拉子米和韦达的故事（根据进度控制故事时长）．
（1）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤；⑥（k为常数）是一元二次方程_________．
（2）若关于的一元二次方程的常数项为零，则m的值为_________．
（3）若是关于x的一元二次方程，求a、b的值．
（1）已知关于x的一元二次方程有一个根是，则m的值为_______．
（2）已知a是一元二次方程的根，求下列各式的值：
①；②；③．
（3）关于x的方程的解是，，（a，m，b均为常数，），则方程的解是__________．
解方程：（1） （2）
解方程：（1） （2）
（3）
解方程：（1） （2）
解方程：（1） （2） （3）
选择合适的方法求解下列方程：（1） （2）
【解析】（1）方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解，由于，故可以简单分解为：，解为，．
（2）公式法解决：，所以由公式法知，故
解为，．
解关于x的方程：（1）（m、n为常数）
（2）
（3）
1．如果关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
2．如果关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
3．关于x的一元二次方程的一个根是，则________．
4．若实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程一定有一个根_________．
5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
6．已知a是方程的根，求的值．
7．解方程：（1） （2） （3）
8．解关于x的方程：（1）
（2）
（3）
9．解方程：．
