初二数学上册秋季班培优讲义第25讲《与全等有关的运动问题》

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课程名称：与全等有关的运动问题
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上课时间	月日： —— ：	任课教师		学管师
学科	数学	课次	第次课	课时
教学主题	与全等有关的运动问题
一、例题分析【例1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A－C－B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B－C－A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由【分析与解答】（1）0＜t＜8/3时，P在AC上，Q在BC上，此时∠CPE+PCE=90°，∠QCF+∠CQF=90° ∵∠ACB＝90°，∠ACE+∠QCF=90° ∴∠QCF=∠CPE，又是直角三角形 ∴△PCE∽△CQF 此时要得△PCE≌△CQF，则PC=CQ即6-t=8-3t，t=1，满足（2）8/3＜t＜14/3时，P,Q都在AC上,此时两个三角形如果全等，则它们必须是重合的，PC=CQ即6-t=3t-8，t=7/2，满足（3）t＞14/3时，Q已经在A点停止运动，此时P在AC上不可能,即t＞6，和（1）一样的原因可知，此时PC=CQ即满足PC=AC=6 ∴t=6+6=12 综上t=1或t=7/2或t=12 【例2】如图(1)，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．www.szzx100.com (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；www.szzx100.com (2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．www.szzx100.com 【分析与解答】【例3】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【分析与解答】证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， ∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP．（1）答：BD=DP成立．证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°， ∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP．（2）答：BD=DP．证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．在△BDF与△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP．【例4】如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D． (1)如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC＝PD． (2)如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由． (3)如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD相等吗？直接写出你的结论，不需证明．【分析与解答】（2）PC=PD．过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N．由（1）得 PQ=PN． ∵∠AOB=120°， ∴∠QPN=360°－90°－90°－120°=60°． ∴∠QPC=∠NPD=60°－∠CPN． ∴△PQC≌△PND．（ASA） ∴PC=PD．（3）PC=PD．二、课堂练习 1.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒． (1)试证明：AD∥BC；www.szzx100.com (2)在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间和G点的移动距离．www.szzx100.com 2.（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证： BE = AD；（2）如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 三、课后练习 1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．(正方形四条边都相等，四个角都是直角) 我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： (1)猜想图1中线段BG和线段DE的长度和位置关系：______________． (2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断上述猜想是否仍然成立：_______（成立、不成立）若成立，请你选取图2或图3中的一种情况说明你的判断．[来源:学科网] 2．如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm． (1)如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为 cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动．则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由．若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？【参考答案】【课堂练习】 2、(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD （2）①②③都正确（3）证明：在PE上截取PM=PC，联结CM 由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠1=∠2 设CD与BE交于点G,,在△CGE和△PGD中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM是等边三角形 ∴CP=CM，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120° ∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS） ∴PD=ME ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. 即PB+PC+PD=BE. 【课后练习】