高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试一等奖教学设计

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考点一 函数的概念及表示


函数的定义域、对应关系及值域是函数的三要素，其中函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，在函数的表示中，分段函数是一类重要的函数，在现实生活中有着广泛的应用．


【典例1】 (1)函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))


(2)已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1.))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．


[解析] (1)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x－1≠0，))解得x<1且x≠eq \f(1,3).


(2)①当1－a<1，即a>0时，此时a＋1>1，


由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，


计算得a＝－eq \f(3,2)(舍去)；②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，计算得a＝－eq \f(3,4)，符合题意，综上所述，a＝－eq \f(3,4).


[答案] (1)D (2)－eq \f(3,4)





(1)求函数定义域时，已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．


(2)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．


(3)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．


[针对训练]


1．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数F(x)＝f(x＋1)的定义域是________．


[解析] 由0≤x＋1≤2，解得－1≤x≤1，所以函数F(x)＝f(x＋1)的定义域是[－1,1]．


[答案] [－1,1]


2．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－x－12，x>0，))使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．


[解析] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,\f(1,2)x＋1≥－1，))得－4≤x≤0；


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,－x－12≥－1，))得0

综上所述，x的取值范围是[－4,2]．


[答案] [－4,2]


考点二 函数的单调性与奇偶性


单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．


奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的图象的对称性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．


【典例2】 函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).


(1)确定函数f(x)的解析式；


(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；


(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.


[解] (1)由题意得f(0)＝0，又∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,1＋02)＝0，,\f(\f(a,2)＋b,1＋\f(1,4))＝\f(2,5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0.))∴f(x)＝eq \f(x,1＋x2).


(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x10,1＋xeq \\al(2,1)>0,1＋xeq \\al(2,2)>0，－10.∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(－1,1)上是增函数．


(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1




(1)函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．


(2)奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．


(3)利用函数单调性和奇偶性解不等式时，充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)

[针对训练]


3．已知函数f(x)＝ax2＋eq \f(1,x)，其中a为实数．


(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；


(2)若a∈(1,3)，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由．


[解] (1)当a＝0时，f(x)＝eq \f(1,x)，显然是奇函数；当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，f(1)≠f(－1)且f(1)≠－f(－1)，所以此时f(x)是非奇非偶函数．


(2)任取1≤x1

因此1≤x1

所以x1－x2<0,2

因为a∈(1,3)，所以2

所以a(x1＋x2)－eq \f(1,x1x2)>0，


所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

故函数f(x)在[1,2]上单调递增．


考点三 函数的图象及应用


函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确地画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．


【典例3】 已知奇函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0.))


(1)求实数m的值；


(2)画出函数图象；


(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．


[解] (1)当x<0时，－x>0，


f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，


又因为f(x)为奇函数，


所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，


所以f(x)＝x2＋2x，则m＝2.


(2)由(1)知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋2x，x<0.))


函数f(x)的图象如图所示．





(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需－1<|a|－2≤1，即1<|a|≤3，解得，－3≤a<－1或1

即a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．





作函数图象的方法


方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．


方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、对称．





[针对训练]


4．对于函数f(x)＝x2－2|x|.


(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；


(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．


[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称，


f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.


则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．


图象关于y轴对称．


(2)f(x)＝x2－2|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＝x－12－1，x≥0，,x2＋2x＝x＋12－1，x<0.))


画出图象如图所示，





根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．


考点四 函数模型及其应用


针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．


【典例4】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：








(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；


(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；


(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？


[解] (1)由图象知，前20天满足的是递增的一次函数关系，且过两点(0,2)，(20,6)，容易求得其函数关系为P＝eq \f(1,5)t＋2；


从20天到30天满足递减的一次函数关系，


且过两点(20,6)，(30,5)，


求得的表达式为P＝－eq \f(1,10)t＋8，


故P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式为：


P＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2，0≤t≤20，t∈N，,－\f(1,10)t＋8，20

(2)由图表，易知Q与t满足一次函数关系，


即Q＝－t＋40,0≤t≤30，t∈N.


(3)由以上两问，可知


y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)t＋2))－t＋40，0≤t≤20，t∈N,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)t＋8))－t＋40，20

＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)t－152＋125，0≤t≤20，t∈N，,\f(1,10)t－602－40，20

当0≤t≤20，t＝15时，ymax＝125，


当20

∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．





建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤


(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示．


(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．


(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．


[针对训练]


5．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)＝－5t(t－13)．


由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．


(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；


(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．


[解] (1)依题意得，当0≤t≤3时，s(t)＝－5t(t－13)，


∴s(3)＝－5×3×(3－13)＝150.


即小张家距离景点150 km，


小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)．


∴当3

小张从景点回家所花时间为eq \f(150,60)＝2.5(h)，


故s(10.5)＝2×150＝300.


∴当8

s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.


综上所述，这天小张的车所走的路程


s(t)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－5tt－13，0≤t≤3，,150，3

(2)当0≤t≤3时，


令－5t(t－13)＝60得t2－13t＋12＝0，


解得t＝1或t＝12(舍去)，


当8

令60t－330＝2×150－60＝240，


解得t＝eq \f(19,2).


所以小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．


第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18