人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式精品ppt课件

课题名

5.3  诱导公式

教学目标

1.借助单位圆的对称性，推导出正弦、余弦、正切的诱导公式；

2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；

3.解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

教学重点

能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数

教学难点

解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？

【思考】  已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么?

【提示】点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y)

            点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y)

            点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)

【设计意图】通过角的终边的对称关系，引入本节新课，建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

【探究1】 如图， 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？

【 提示】角π +  与角 的终边关于原点O对称，

，

二、讲授新课

公式二：

sin(π + ) = sin ， cos(π + ) = cos ，tan(π + ) = tan 。

【做一做】cos 210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-     .

sin1 320°=sin(3×360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-      .

【探究2】角与的三角函数值之间有什么关系？

【提示 】角 与角 的终边关于x轴对称，有。     

公式三：  sin() = sin ， cos() =  cos ， tan() = tan 。

【做一做】①tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)

＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.

②sin=- sin   =-   .

【探究3】角与的三角函数值之间有什么关系？

【提示 】角与角的终边关于轴对称，故有  

公式四：sin(π - ) = sin ，

cos(π - ) = cos ，tan(π - ) = -tan 。

【做一做】①cos(2)cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

②sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)

＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.

【设计意图】通过探究让学生理解任意角的三角函数定义，培养数学抽象的核心素养。

1.给角求值

例1. 求下列各三角函数的值：

(1)sin(－945°)；(2)cos(－)；(3)sinπ·cos(－π)·tanπ.

【解析】(1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)

＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)＝sin 45°＝.

法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin 135°

＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝.

(2)法一：cos(－)＝cos ＝cos(＋4π)＝cos

＝cos(π＋)＝－cos ＝－.

法二：cos(－)＝cos(－6π)＝cos ＝cos(π－)

＝－cos ＝－.

(3)原式＝sin·cos(2π＋)·tan(4π＋)＝sin·cos·tan

＝sin(π＋)·cos(π＋)·tan(π＋)＝(－sin)·(－cos)·tan

＝(－)×(－)×1＝.

【类题通法】利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：

【巩固练习1】求下列各三角函数式的值：

(1)sin(－660°)；(2)cos ；(3)2cos 660°＋sin 630°；(4)tan ·sin.

【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin 60°＝.

(2)因为＝6π＋，所以cos ＝cos ＝－.

(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos 60°－sin 90°

＝2×－1＝0.

(4)tan ·sin＝tan·sin＝tan ·sin

＝×＝.

2.化简、求值

例2. 化简：（1）.

（2）.

【解析】（1）原式＝

＝＝

＝－.

   （2） ＝＝1.

【类题通法】化简求值的方法

用诱导公式化简求值的方法：

  1.对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少.

  2.kπ±α 这套诱导公式，运用时公式不变名，符号看象限.

【巩固练习2】化简：(1)；(2).

【解析】　(1)＝＝＝＝1.

(2)原式＝

＝＝＝－1.

3.给值求值（条件求值）

例3. 已知cos＝，求cos－sin2的值．

【解析】因为cos＝cos＝－cos＝－，

sin2＝sin2＝1－cos2＝，

所以cos－sin2＝－－＝－.

【类题通法】解决条件求值问题的策略

(1)  解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

【巩固练习3】（1）已知sin(－x)＝，且0＜x＜，则tan(π＋x)＝________.

【解析】∵0＜x＜，∴－＜－x＜.

又sin(－x)＝＞0，∴0＜－x＜.

cos(π＋x)＝cos[π－(－x)]＝－cos(－x)

＝－＝－＝－，

sin(π＋x)＝sin[π－(－x)]＝sin(－x)＝，

∴tan(π＋x)＝＝＝－.

（2）已知cos(π－α)＝－，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是(　　)

A.        B．－       C．±      D.

【解析】因为cos(π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，

因为α是第一象限角，所以sin α>0，

所以sin α＝＝＝.

所以sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－.

4.诱导公式的综合应用

例4.　已知cos α＝－，且α为第三象限角．

(1)求sin α的值；

(2)求f(α)＝的值．

【解】　(1)因为α为第三象限角，所以sin α＝－＝－.

(2)  f(α)＝＝tan α·sin α＝·sin α

＝＝2×＝－.

变式探究1本例条件不变，求f(α)＝的值．

【解】　f(α)＝＝sin α＝－.

三、课堂小结

四、达标检测

1．sin 600°的值为(　　)

A．        B．－       C．         D．－

2．cos 1 030°＝(　　)

A．cos 50°  B．－cos 50°   C．sin 50°     D．－sin 50°

3．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于(　　)

A．π－4　　 B．4　　　

C．－4　　　 D．4－π

4.已知sin α＝，则sin(π－α)＝________.

【答案】1.D  2.A  3.3  4. 

5．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　)

A．a  B．－a  C．a2  D.

6.若sin(3π＋α)＝－，则cos等于(　　)

A．－  B.  C.  D．－

7．sin21°＋sin22°＋sin245°＋sin288°＋sin289°＝        .

8.已知sin α＝，则cos＝        .

【答案】1.A  2.A  3. 4.－

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

教学反思

学生基本上能掌握本节课内容，不过学生还是不能完全理解诱导公式，在解题的过程中还是会出现符号问题等。