高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示一等奖第1课时教学设计

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3．1 函数的概念及其表示


3．1.1 函数的概念


第1课时 函数的概念








1．理解函数的概念．


2．了解构成函数的三要素．


3．能正确使用函数、区间符号．





1．函数的概念


(1)函数的定义


设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.


(2)函数的定义域与值域


函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．


(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示


对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．


温馨提示：(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．


(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．


(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．


2．区间概念(a，b为实数，且a




3.其他区间的表示








1．某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s与所用时间t的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝eq \f(1,2)gt2，其中g＝9.8 m/s2.


(1)时间t和物体下落的距离s有何限制？


(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？


(3)下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？


[答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)确定 (3)不能


2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )


(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )


(3)根据函数的定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )


(4)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×





题型一 函数关系的判断


【典例1】 (1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．


①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；


②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；


③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；


④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．


(2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是( )








[思路导引] 在“非空数集”A中“任取x”，在对应关系“f”作用下，B中“有唯一”的“数f(x)”与之“对应”，称f：A→B为集合A到集合B的一个函数．


[解析] (1)①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．


②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．


③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．


④集合A不是数集，故不是函数．


(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．


[答案] (1)见解析 (2)C





(1)判断对应关系是否为函数的2个条件


①A、B必须是非空数集．


②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．


(2)根据图形判断对应是否为函数的方法


①任取一条垂直于x轴的直线l.


②在定义域内平行移动直线l.


③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．





[针对训练]


1．若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是( )








[解析] A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈M，但N中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．


[答案] D


2．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是______．(填序号)


①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；


②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；


③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(x)；


④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.


[解析] ①中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，②中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于③，集合A中负整数没有意义．


[答案] ④


题型二 用区间表示数集


【典例2】 把下列数集用区间表示，并在数轴上表示出来．


(1){x|x≥3}；


(2){x|x<－5}；


(3){x|－4≤x<2或3

[思路导引] 用区间表示数集的关键是确定开、闭区间，含“或”的数集用符号“∪”连接区间．


[解] (1){x|x≥3}用区间表示为[3，＋∞)，用数轴表示如图．





(2){x|x<－5}用区间表示为(－∞，－5)，用数轴表示如图．





(3){x|－4≤x<2或3







应用区间时的3个注意点


(1)区间是数集，区间的左端点小于右端点．


(2)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．


(3)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．


[针对训练]


3．已知全集U＝R，A＝{x|－1

[解析] ∁UA＝{x|x≤－1或x>5}＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)．


[答案] (－∞，－1]∪(5，＋∞)


4．用区间表示不等式{x|x2－x－6≥0}的解集为______________________．


[解析] 不等式x2－x－6＝(x－3)(x＋2)≥0，解得x≥3或x≤－2，所以不等式的解集为{x|x≤－2或x≥3}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)．


[答案] (－∞，－2]∪[3，＋∞)


题型三 求函数的定义域


【典例3】 求下列函数的定义域．


(1)y＝2＋eq \f(3,x－2)；


(2)y＝(x－1)0＋ eq \r(\f(2,x＋1))；


(3)y＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)；


(4)y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(－x2－x＋6).


[思路导引] 函数定义域即是使自变量x有意义的取值范围．


[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋eq \f(3,x－2)有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．


(2)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．


(3)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．


(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,－x2－x＋6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x2＋x－6≤0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x＋3x－2≤0，))解得－3≤x≤2且x≠－1，即函数定义域为{x|－3≤x≤2且x≠－1}．


[变式] (1)将本例(3)中“y＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)”改为“y＝eq \r(3－xx－1)”，则其定义域是什么？


(2)将本例(3)中“y＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)”改为“y＝eq \f(\r(3－x),\r(x－1))”，则其定义域是什么？


[解] (1)要使函数有意义，只需(3－x)(x－1)≥0，解得1≤x≤3，即定义域为{x|1≤x≤3}．


(2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1>0，))解得1




求函数定义域的几种类型


(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.


(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．


(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．


(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．


(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．





[针对训练]


5．求下列函数的定义域：


(1)y＝eq \r(x2－2x－3)；


(2)y＝eq \f(1,|x|－x)；


(3)y＝eq \f(\r(10－x2),|x|－3).


[解] (1)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．


(2)要使函数有意义，则|x|－x≠0，


即|x|≠x，得x<0，所以函数的定义域为(－∞，0)．


(3)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－x2≥0，,|x|－3≠0，))解得－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3，即定义域为{x|－eq \r(10)≤x≤eq \r(10)，且x≠±3}．


课堂归纳小结


1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定．


2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．


3．对区间的几点认识


(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点．


(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．


(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．


(4)“∞”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势.





1．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )


A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)


C．[1,2) D．[1，＋∞)


[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，x－2≠0，))即x≥1且x≠2.


[答案] A


2．函数y＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x)的定义域为( )


A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}


C．{x|x≥1或x≤－1} D．{x|0≤x≤1}


[解析] 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,x≥0，))解得0≤x≤1.


[答案] D


3．函数f(x)＝eq \f(\r(x＋21－x),x＋2)的定义域为( )


A．{x|－2≤x≤1} B．{x|－2

C．{x|－2

[解析] 要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋21－x≥0，,x＋2≠0，))解得－2≤x≤1，且x≠－2，所以函数的定义域是{x|－2

[答案] C


4．集合{x|－1≤x<0或1

[解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．


[答案] [－1,0)∪(1,2]


5．已知矩形的周长为1，它的面积S是其一边长为x的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．


[解析] 由实际意义知x>0，又矩形的周长为1，所以x

[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


课后作业(十五)


复习巩固


一、选择题


1．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )





[解析] A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．


[答案] B


2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )


A．f：x→y＝eq \f(1,2)x B．f：x→y＝eq \f(1,3)x


C．f：x→y＝eq \f(2,3)x D．f：x→y＝eq \r(x)


[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝eq \f(8,3)>2不合题意．故选C.


[答案] C


3．下列对应关系或关系式中，是A到B的函数的是( )


A．x2＋y2＝1，x∈A，y∈B


B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图





C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq \f(1,x－2)


D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq \r(2x－1)


[解析] A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±eq \r(1－x2)，显然对任意x∈A，y值不一定唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．


[答案] B


4．函数f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))的定义域为M，g(x)＝eq \r(x＋2)的定义域为N，则M∩N＝( )


A．{x|x≥－2} B．{x|－2≤x<2}


C．{x|－2

[解析] 函数f(x)的定义域为{x|x<2}，g(x)的定义域为{x|x≥－2}，从而M＝{x|x<2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x<2}．


[答案] B


5．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，此函数的定义域为( )


A．R B．{x|x>0}


C．{x|0

[解析] △ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，


∴x<5，又两边之和大于第三边，


∴2x>10－2x，x>eq \f(5,2)，


∴此函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)

[答案] D


二、填空题


6．下列说法正确的是________(填所有正确说法的序号)．


①函数的定义域可以是空集；


②函数的定义域和值域确定后，对应关系也就确定了；


③函数的定义域、值域都是非空的数集；


④函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应．


[解析] 由函数定义知，定义域和值域都是非空的数集，故①错误，③正确；函数的定义域和值域确定后，可以有不同的对应关系，如y＝|x|，y＝x2，故②错误；函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应，故④错误．


[答案] ③


7．函数y＝eq \r(7＋6x－x2)的定义域是________．


[解析] 由已知得7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7，故函数的定义域为[－1,7]．


[答案] [－1,7]


8．设集合A＝{x|x2－8x－20<0}，B＝[5,13)，则∁R(A∩B)＝__________________(用区间表示)．


[解析] ∵A＝{x|x2－8x－20<0}＝{x|－2

∴A∩B＝[5,10)，


∴∁R(A∩B)＝(－∞，5)∪[10，＋∞)．


[答案] (－∞，5)∪[10，＋∞)


三、解答题


9．求下列函数的定义域．


(1)y＝eq \f(x＋30,\r(|x|－x))；


(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2－5))＋eq \r(7－x).


[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))


化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,|x|>x，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－3，,x<0.))


故函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．


(2)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5≠0，,7－x≥0，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠±\r(5)，,x≤7.))


故函数的定义域为{x|x≤7且x≠±eq \r(5)}．


10．为了保护环境，某公交公司决定购买10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：


经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买两台A型车比购买三台B型车少60万元．


(1)请求出a和b；


(2)若购买A型车x台，每年节省汽油y升，试写出y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域．


[解] (1)根据题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝20,3b－2a＝60))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝120,b＝100)).


(2)设购买A型车x台，则购买B型车(10－x)台，根据题意得y＝2.4x＋2(10－x)＝0.4x＋20


其中0≤x≤10，x∈N.


答：每年节约汽油y升与购买A型车x台的函数关系式为y＝0.4x＋20(0≤x≤10，且x∈N)．


综合运用


11．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数有( )


A．必有一个 B．一个或两个


C．至多一个 D．可能两个以上


[解析] 当a在f(x)定义域内时，有一个交点，否则无交点．


[答案] C


12．给出四个结论：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化范围而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．其中正确的有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


[解析] 由函数的概念可知，①不正确，其余三个结论都正确．


[答案] C


13．在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )


①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应法则f：x→y＝eq \f(x,3)；


②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→y2＝3x；


③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应法则f：x→x2＋y2＝25；


④A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝x2；


⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应法则f：(x，y)→s＝x＋y；


⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应法则f：x→y＝0.


A．①⑤⑥ B．②④⑤


C．②③④ D．①②③⑤


[解析] ①在对应法则f下，A中不能被3整除的数在B中没有元素与之对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应法则f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应法则f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数或没有数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，故能确定y是x的函数．故选D.


[答案] D


14．已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．


[解析] 由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．


[答案] (－1，＋∞)


15．函数y＝eq \r(3－2x－x2)＋eq \f(1,4－x2)的定义域为____________________(用区间表示)．


[解析] 使根式eq \r(3－2x－x2)有意义的实数x的集合是{x|3－2x－x2≥0}即{x|(3－x)(x＋1)≥0}＝{x|－1≤x≤3}，使分式eq \f(1,4－x2)有意义的实数x的集合是{x|x≠±2}，所以函数y＝eq \r(3－2x－x2)＋eq \f(1,4－x2)的定义域是{x|－1≤x≤3}∩{x|x≠±2}＝{x|－1≤x≤3，且x≠2}．


[答案] [－1,2)∪(2,3]


16．已知函数y＝eq \r(mx2－6mx＋m＋8)的定义域是R，求实数m的取值范围．


[解] ①当m＝0时，y＝eq \r(8)，其定义域是R.


②当m≠0时，由定义域为R可知，mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝－6m2－4mm＋8≤0，))


解得0

型号
A
B
价格(万元/台)
a
b
节省的油量(万升/年)
2.4
2