高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第1课时课后测评，共10页。试卷主要包含了公式三和公式四等内容，欢迎下载使用。


1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cs(π＋α)＝－cs_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cs(－α)＝cs_α，
tan(－α)＝－tan_α.
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
cs(π－α)＝－cs_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cs α＝－cs β；④cs α＝cs β；⑤tan α＝－tan β.
A．1 B．2 C．3 D．4
C [因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，
故①正确，②错误；
cs α＝cs(π－β)＝－cs β，
故③正确，④错误；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确．
故选C.]
2．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))等于( )
A．－eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),3)
C．－eq \r(3) D.eq \r(3)
C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π＋\f(2π,3)))＝taneq \f(2π,3)
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3).]
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.
3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
4．求值：(1)sineq \f(2π,3)＝________.
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝________.
(1)eq \f(\r(3),2) (2)－eq \f(\r(3),2) [(1)sineq \f(2π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))
＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,6)))＝cseq \f(7π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数值：
(1)sin 1 320°；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).
(2)法一：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \f(31π,6)
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(7π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
法二：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(5π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
1“负化正”——用公式一或三来转化；
2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
1．计算：(1)cseq \f(π,5)＋cseq \f(2π,5)＋cseq \f(3π,5)＋cseq \f(4π,5)；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
[解] (1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\f(4π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\f(3π,5)))
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,5)－cs\f(π,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(2π,5)－cs\f(2π,5)))＝0.
(2)原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知sin(α－360°)－cs(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cs(180°－α)等于( )
A.eq \f(m2－1,2) B.eq \f(m2＋1,2)
C.eq \f(1－m2,2) D．－eq \f(m2＋1,2)
(2)已知cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
[思路点拨] (1)eq \x(化简已知和所求三角函数式)
→eq \x(根据sin α±cs α，sin αcs α的关系求值)
(2)eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1( \x(105°＋α－α－75°＝180°),\x(csα－75°＝－\f(1,3)，α为第四象限角)))→
eq \x(求sinα－75°)→eq \x(用sin180°＋α＝－sin α求值)
(1)A [sin(α－360°)－cs(180°－α)
＝sin α＋cs α＝m，
sin(180°＋α)cs(180°－α)＝sin αcs α
＝eq \f(sin α＋cs α2－1,2)＝eq \f(m2－1,2).]
(2)[解] ∵cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－eq \r(1－cs2α－75°)
＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3)，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3).
1．例2(2)条件不变，求cs(255°－α)的值．
[解] cs(255°－α)＝cs[180°－(α－75°)]
＝－cs(α－75°)＝eq \f(1,3).
2．将例2(2)的条件“cs(α－75°)＝－eq \f(1,3)”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α－75°＋cs2α－75°＝1，,\f(sinα－75°,csα－75°)＝－5，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－75°＝－\f(5\r(26),26)，,csα－75°＝\f(\r(26),26)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sinα－75°＝\f(5\r(26),26)，,csα－75°＝－\f(\r(26),26).))(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝eq \f(5\r(26),26).
解决条件求值问题的两技巧
1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
【例3】 设k为整数，化简：
eq \f(sinkπ－αcs[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]cskπ＋α).
[思路点拨] 本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝eq \f(sin2mπ－αcs[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cs2mπ＋α)＝eq \f(sin－αcsπ＋α,sinπ＋αcs α)＝eq \f(－sin α－cs α,－sin αcs α)＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cs[(k－1)π－α]＝cs[(k＋1)π＋α]＝－cs(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝eq \f(－sinkπ＋α[－cskπ＋α],－sinkπ＋αcskπ＋α)＝－1.
三角函数式化简的常用方法
1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
2．化简：(1)eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)；
(2)eq \f(sin1 440°＋α·cs1 080°－α,cs－180°－α·sin－α－180°).
[解] (1)原式＝eq \f(－tan αsin－αcs－α,csπ－αsinπ－α)＝eq \f(tan α·sin α·cs α,－cs α·sin α)＝－tan α.
(2)原式
＝eq \f(sin4×360°＋α·cs3×360°－α,cs180°＋α·[－sin180°＋α])
＝eq \f(sin α·cs－α,－cs α·sin α)
＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
eq \x(\A\AL(任意负角的,三角函数))eq \(――→,\s\up15(用公式),\s\d15(三或一))eq \x(\A\AL(任意正角的,三角函数))eq \(――→,\s\up15(用公式一))
eq \x(\A\AL(0～2π的角,的三角函数))eq \(――→,\s\up15(用公式),\s\d15(二或四))eq \x(\A\AL(锐角的三,角函数))
1．思考辨析
(1)公式二～四对任意角α都成立．( )
(2)由公式三知cs[－(α－β)]＝－cs(α－β)．( )
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )
[提示] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
(2)由公式三知cs[－(α－β)]＝cs(α－β)，
故cs[－(α－β)]＝－cs(α－β)是不正确的．
(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知sin(π＋α)＝eq \f(3,5)，且α是第四象限角，那么cs(α－π)的值是( )
A.eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5) C．±eq \f(4,5) D.eq \f(3,5)
B [因为sin(π＋α)＝－sin α＝eq \f(3,5)，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又α是第四象限角，所以cs α＝eq \f(4,5)，
所以cs(α－π)＝cs(π－α)＝－cs α＝－eq \f(4,5).]
3.eq \f(cs－585°,sin 495°＋sin－570°)的值等于________．
eq \r(2)－2 [原式＝eq \f(cs360°＋225°,sin360°＋135°－sin360°＋210°)
＝eq \f(cs180°＋45°,sin180°－45°－sin180°＋30°)
＝eq \f(－cs 45°,sin 45°－－sin 30°)＝eq \f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)＋\f(1,2))＝eq \r(2)－2.]
4．化简(1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)；
(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α).
[解] (1)eq \f(sin540°＋α·cs－α,tanα－180°)
＝eq \f(sin180°＋α·cs α,tan α)
＝eq \f(－sin α·cs α,tan α)＝－cs2α.
(2)eq \f(sin2π＋αcs－π＋α,cs－αtan α)
＝eq \f(sin α－cs α,cs αtan α)＝－cs α.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．
2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)
3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．
2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.