人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案及反思，共14页。

最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．











知识点一 函数的概念


1．函数的概念


一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y＝f(x)，x∈A.


2．函数的定义域和值域


函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(dmain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．


显然，值域是集合B的子集．


eq \x(状元随笔) 对函数概念的3点说明


(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．


(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．


(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．


知识点二 区间的概念


1．区间的几何表示


2.实数集R的区间表示


实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．


3．无穷大的几何表示


eq \x(状元随笔) 关于无穷大的2点说明


(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．


(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．


知识点三 同一函数


如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．


[教材解难]


1．教材P60思考


根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．


2．教材P63思考


反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，对应关系为“倒数的k倍”，值域为{y|y≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A＝{x|x≠0}中的任意一个x值，按照对应关系f“倒数的k(k≠0)倍”，在集合B＝{y|y≠0}中都有唯一确定的数eq \f(k,x)和它对应，那么此时f：A→B就是集合A到集合B的一个函数，记作f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)，x∈A.


3．教材P66思考


初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：


不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．


相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”以及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．


[基础自测]


1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )


A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方


B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方


C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数


D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积


解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.


答案：A


2．函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)的定义域为( )


A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)


C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)


解析：使函数f(x)＝eq \f(\r(x－1),x－2)有意义，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,x－2≠0，))即x≥1，且x≠2.


所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.


答案：D


3．下列各组函数表示同一函数的是( )


A．y＝eq \f(x2－9,x－3)与y＝x＋3


B．y＝eq \r(x2)－1与y＝x－1


C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)


D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z


解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．


答案：C


4．用区间表示下列集合：


(1)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x<5))))＝________；


(2){x|x<1或2

解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－eq \f(1,2)≤x<5}＝[－eq \f(1,2)，5)．


(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2

答案：(1)eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) (2)(－∞，1)∪(2,3]











题型一 函数的定义[经典例题]


例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：


(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；


(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；





(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；


(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.


【解析】 对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一


的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．


(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．


(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.


1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．


2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．








方法归纳


(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．


[注意] A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．


(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．





跟踪训练1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )








A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


(2)下列对应是否是函数？


①x→eq \f(3,x)，x≠0，x∈R；


②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.


解析：(1)


答案：(1)B


1①x∈[0，1]取不到[1，2].


③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.


④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.


(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的eq \f(3,x)与之对应，符合函数定义．


②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．


答案：(2)①是函数②不是函数


(2)关键是否符合函数定义．


题型二 求函数的定义域 [经典例题]


例2 (1)函数f(x)＝eq \f(\r(x＋1),x－1)的定义域是( )


A.[－1,1)


B．[－1,1)∪(1，＋∞)


C．[－1，＋∞)


D．(1，＋∞)


(2)求下列函数的定义域．


①y＝eq \r(x＋2)＋eq \f(1,x2－x－6)；


②y＝eq \f(x－10,|x|＋x).


【解析】 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－1≠0，))解得x≥－1，且x≠1.


所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．


【答案】 (1)B


(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．


【解析】(2)①要使函数有意义，需满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,x2－x－6≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≠－2且x≠3，))


得x>－2且x≠3.


所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．


②要使函数有意义，需满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,|x|＋x≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠1，,x>0，))


所以x>0且x≠1，


所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．


【答案】(2)见解析


(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．





方法归纳


求函数的定义域


(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.


(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．


(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．





跟踪训练2 求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝eq \f(6,x2－3x＋2)；


(2)f(x)＝eq \f(x＋10,\r(|x|－x))；


(3)f(x)＝eq \r(2x＋3)－eq \f(1,\r(2－x))＋eq \f(1,x).


解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，


即x≠1且x≠2，


故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．


(2)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,|x|－x>0，))


解得x<0且x≠－1.


所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．


(3)要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0，))


解得－eq \f(3,2)≤x<2，且x≠0.


故定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))∪(0,2)．


(1)分母不为0


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(偶次根式被开方数≥0,x＋10底数不为0))


(3)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(偶次根式被开方数≥0,分母不为0))


题型三 同一函数[教材P66例3]


例3 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？


(1)y＝(eq \r(x))2; (2)u＝eq \r(3,v3)；


(3)y＝eq \r(x2)； (4)m＝eq \f(n2,n).


【解析】 (1)y＝(eq \r(x))2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．


(2)u＝eq \r(3,v3)＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数．


(3)y＝eq \r(x2)＝|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x<0，,x，x≥0，))它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．


(4)m＝eq \f(n2,n)＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．








教材反思


判断同一函数的三个步骤和两个注意点


(1)判断同一函数的三个步骤





(2)两个注意点：


①在化简解析式时，必须是等价变形；


②与用哪个字母表示无关．


跟踪训练3 试判断下列函数是否为同一函数．


(1)f(x)＝eq \f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；


(2)f(x)＝eq \f(\r(x),x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x))；


(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；


(4)f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2).


解析：


判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．





题型四 求函数的值域[经典例题]


例4 求下列函数的值域．


(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]．


(2)y＝eq \f(2x,x＋1).


(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}．


(4)y＝x2－4x＋5.


【解析】 (1)因为－1

所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．


(2)因为y＝eq \f(2x,x＋1)＝eq \f(2x＋1－2,x＋1)＝2－eq \f(2,x＋1)≠2，


所以函数y＝eq \f(2x,x＋1)的值域为{y|y∈R且y≠2}．


(3)函数的定义域为{1,2,3}，


当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，





当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，


所以这个函数的值域为{1,2}，


(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，


所以这个函数的值域为[1，＋∞)．


eq \x(状元随笔) (1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．


(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．


(3)将自变量x＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域．


(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.





方法归纳


求函数值域的常用方法


(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．


(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．


(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．


(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．


跟踪训练4 求下列函数的值域：


(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；


(2)y＝eq \r(x)＋1；


(3)y＝eq \f(1－x2,1＋x2)；


(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．


解析：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}．


(2)因为eq \r(x)≥0，所以eq \r(x)＋1≥1，


即所求函数的值域为[1，＋∞)．


(3)因为y＝eq \f(1－x2,1＋x2)＝－1＋eq \f(2,1＋x2)，


所以函数的定义域为R，


因为x2＋1≥1，所以0

所以y∈(－1,1]．


所以所求函数的值域为(－1,1]．


(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.


因为－5≤x≤－2，


所以－4≤x＋1≤－1.


所以1≤(x＋1)2≤16.


所以－12≤4－(x＋1)2≤3.


所以所求函数的值域为[－12,3]．


(3)先分离再求值域


(4)配方法求值域














一、选择题


1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )





解析：对于1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数．


答案：A


2．函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(2x＋30,\r(3－2x))的定义域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))


B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3,2)))


C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(3,2)))


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))


解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3≥0，,3－2x>0，,2x＋3≠0，))解得－3≤x

答案：B


3．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )


A．－2 B．－1


C．0 D．不确定


解析：因为函数f(x)＝－1，


所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.故选B.


答案：B


4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )


A．y＝x＋1和y＝eq \f(x2－1,x－1)


B．y＝eq \r(x2)和y＝(eq \r(x))2


C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2


D．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)和g(x)＝eq \f(x,\r(x)2)


解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．


答案：D


二、填空题


5. 用区间表示下列数集．


(1){x|x≥2}＝________；


(2){x|3

(3){x|x>1且x≠2}＝________.


解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；


(2)(3,4]；


(3)(1,2)∪(2，＋∞)．


答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)


6．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．





解析：由f(x)的图象可知 －5≤x≤5，－2≤y≤3.


答案：[－5,5] [－2,3]


7．若A＝{x|y＝eq \r(x＋1)}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.


解析：由A＝{x|y＝eq \r(x＋1)}，B＝{y|y＝x2＋1}，


得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，


∴A∩B＝[1，＋∞)．


答案：[1，＋∞)


三、解答题


8．(1)求下列函数的定义域：


①y＝eq \r(4－x)；


②y＝eq \f(1,|x|－x)；


③y＝eq \r(5－x)＋eq \r(x－1)－eq \f(1,x2－9)；


(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．


解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．


②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.


故函数的定义域为{x|x<0}．


③解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤5，,x≥1，,x≠±3.))


故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．


(2)设矩形一边长为x，则另一边长为eq \f(1,2)(a－2x)，


所以y＝x·eq \f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq \f(1,2)ax，函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,\f(1,2)a－2x>0))⇒0

9．求下列各函数的值域：


(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；


(2)y＝x2－4x＋6；


(3)y＝x＋eq \r(2x－1).


解析：(1)因为当x分别取2,3,4,5,6时，y＝x＋1分别取3,4,5,6,7，


所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．


(2)函数的定义域为R.


因为y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，


所以该函数的值域为[2，＋∞)．


(3)设t＝eq \r(2x－1)，则x＝eq \f(t2＋1,2)，且t≥0.


问题转化为求y＝eq \f(1＋t2,2)＋t(t≥0)的值域．


因为y＝eq \f(1＋t2,2)＋t＝eq \f(1,2)(t＋1)2(t≥0)，


所以y的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


故该函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


[尖子生题库]


10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；


(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．


解析：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．


(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．


定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
符号
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x(－∞，b)
图号
正误
原因
①
×
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性
②
√
同时满足任意性与唯一性
③
×
x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性
序号
是否相同
原因
(1)
不同
定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R
(2)
不同
对应关系不同，f(x)＝eq \f(1,\r(x))，g(x)＝eq \r(x)
(3)
不同
定义域相同，对应关系不同
(4)
相同
定义域和对应关系相同