人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教学设计及反思，共12页。

最新课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.








知识点 偶、奇函数


1．偶函数的概念


一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(even functin)．


2．奇函数的概念


一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(dd functin)．


3．奇、偶函数的图象特征


(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．


(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．


eq \x(状元随笔) 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．


[教材解难]


教材P85思考


(1)利用定义判断奇偶性，函数f(x)＝x3＋x的定义域为R，对每一个x，都有f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．


(2)由奇函数的图象关于原点对称可画出y轴左边的图象．如图所示．





(3)我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．


[基础自测]


1．设f(x)是定义在R上的偶函数，下列结论中正确的是( )


A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0


C．f(x)·f(－x)<0 D．f(0)＝0


解析：由偶函数的定义知f(－x)＝f(x)，


所以f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0不一定成立．


f(－x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，


f(0)＝0不一定成立．故选B.


答案：B


2．下列函数为奇函数的是( )


A．y＝|x| B．y＝3－x


C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝－x2＋14


解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．


答案：C


3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )


A．－2 B．2


C．0 D．不能确定


解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.


答案：B


4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)





解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．


答案：(2)(4) (1)(3)











题型一 函数奇偶性的判断[教材P84例6]


例1 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝x4；


(2)f(x)＝x5；


(3)f(x)＝x＋eq \f(1,x)；


(4)f(x)＝eq \f(1,x2).


【解析】 (1)函数f(x)＝x4的定义域为R.


因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，


所以，函数f(x)＝x4为偶函数．


(2)函数f(x)＝x5的定义域为R.


因为∀x∈R，都有－x∈R，且f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，


所以，函数f(x)＝x5为奇函数．


(3)函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)的定义域为{x|x≠0}．


因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x＋eq \f(1,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，


所以，函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)为奇函数．


(4)函数f(x)＝eq \f(1,x2)的定义域为{x|x≠0}．


因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，


且f(－x)＝eq \f(1,－x2)＝eq \f(1,x2)＝f(x)，


所以，函数f(x)＝eq \f(1,x2)为偶函数.


奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域，再由奇偶性定义，


满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．


教材反思


函数奇偶性判断的方法


(1)定义法：





(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．





跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝x2(x2＋2)；


(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；


(3)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)；


(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.))


解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.


又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，


∴f(x)为偶函数．


(2)∵x∈R，∴－x∈R.


又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，


∴f(x)为奇函数．


(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．


即有－1≤x≤1且x≠0，


则－1≤－x≤1，且－x≠0，


又∵f(－x)＝eq \f(\r(1－－x2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，


∴f(x)为奇函数．


(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．


当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；


当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．


综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．


先求函数定义域，再根据函数奇偶性定义判断．





题型二 函数奇偶性的图象特征[经典例题]


例2 设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．





【解析】 由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2




【答案】 {x|－2

根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出fx<0的解集.





方法归纳


根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．





跟踪训练2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．





解析：方法一 因函数f(x)是偶函数，


所以其图象关于y轴对称，补全图如图．





由图象可知f(1)

方法二 由图象可知f(－1)

又函数y＝f(x)是偶函数，


所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，


故f(1)

方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小；


方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．





题型三 利用函数奇偶性求参数[经典例题]


例3 (1)设函数f(x)＝eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________；


(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋x，x>0，,ax2＋x，x<0))是奇函数，则a＝________.


【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知


f(－x)＝－f(x)，


即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).


显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，


故a＋1＝0，得a＝－1.


方法二(特值法) 由f(x)为奇函数得


f(－1)＝－f(1)，


即eq \f(－1＋1－1＋a,－1)＝－eq \f(1＋11＋a,1)，


整理得a＝－1.


(2)(特值法) 由f(x)为奇函数，


得f(－1)＝－f(1)，


即a×(－1)2＋(－1)＝－(－12＋1)，


整理得a－1＝0，解得a＝1.


【答案】 (1)－1 (2)1


利用定义法求a，也可利用特值法f(－1)＝－f(1)．





方法归纳


由函数的奇偶性求参数应注意两点


(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．


(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数．


跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2,2a]，则a＝________，b＝________；


(2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.


解析：(1)由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，


故有a－2＋2a＝0，解得a＝eq \f(2,3).


又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，


即－eq \f(b,2a)＝0，解得b＝0.


(2)由f(x)为奇函数得f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，


所以a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝0.


即2ax2＝0，所以a＝0.


答案：(1)eq \f(2,3) 0 (2)0


(1)函数具有奇偶性，定义域必须关于(0,0)对称．


(2)f(0)＝0？


题型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用[经典例题]


例4 已知奇函数y＝f(x)，x∈(－1,1)，在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－3x)<0.


【解析】 ∵y＝f(x)，x∈(－1,1)是奇函数，


∴f(－x)＝－f(x)，


∴f(1－x)＋f(1－3x)<0可化为f(1－x)<－f(1－3x)，


即f(1－x)

又∵y＝f(x)在(－1,1)上是减函数，


∴f(1－x)3x－1))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0




eq \x(状元随笔) 1.由奇函数得f(－x)＝－f(x)．


2．函数单调递减，若f(x1)x2.


3．定义域易忽略.





方法归纳


1．函数奇偶性和单调性的关系


(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．


(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．


2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法


(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)

(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．


跟踪训练4 (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．


(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)

解析：(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．


∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)

又f(x)在[－1,1]上单调递减，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,－1≤a－1≤1，,1－a2>a－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,－2

∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．


(2)∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．


∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．


∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|>|m|，))解得－1≤m

∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))).


eq \x(状元随笔) (1)可利用奇偶性把所给的关系式转化为两个函数值的大小关系，再利用单调性转化为自变量的关系．


(2)两个自变量1－m，m不一定属于同一单调区间，可考虑用绝对值表示来处理．








一、选择题


1．下列函数是偶函数的是( )


A．y＝2x2－3 B．y＝x3


C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x


解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.


答案：A


2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象( )


A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称


C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称


解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．


答案：C


3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为( )





A．－2 B．2


C．1 D．0


解析：由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，


又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.故选A.


答案：A


4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 019)＝k，则f(－2 019)＝( )


A．k B．－k


C．1－k D．2－k


解析：∵f(2 019)＝a·2 0193＋b·2 019＋1＝k，∴a·2 0193＋b·2 019＝k－1，则f(－2 019)＝a(－2 019)3＋b·(－2 019)＋1＝－[a·2 0193＋b·2 019]＋1＝2－k.


答案：D


二、填空题


5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．


解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，


∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3).又f(－x)＝f(x)，


∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).


答案：eq \f(1,3)


6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．


解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.


答案：5


7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则满足f(x)>0的x的集合为____________．


解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，∴x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)

答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)\f(1,2)))


三、解答题


8．判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)；


(2)f(x)＝x2－x3；


(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；


(4)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R)．


解析：(1)∵函数f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．


(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．


∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，


∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．


故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．


(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．


∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．


方法二(根据图象进行判断)





f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4，x≥2，,－2x，－2

画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．


(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．


当a≠0时，f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．


综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．


9．已知函数f(x)＝1－eq \f(2,x).


(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；


(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．


解析：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，


g(x)＝1－a－eq \f(2,x)，


∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，


即1－a－eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a－\f(2,x)))，


解得a＝1.


(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．


证明如下：


设0

＝1－eq \f(2,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x2)))＝eq \f(2x1－x2,x1x2)


∵00，


从而eq \f(2x1－x2,x1x2)<0，即f(x1)

∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．


[尖子生题库]


10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.





(1)求出函数f(x)在R上的解析式；


(2)画出函数f(x)的图象．


解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，


则f(0)＝0；


②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，


∴f(－x)＝－f(x)，


∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，


综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x， x>0,0， x＝0,－x2－2x， x<0))


(2)图象如图：