高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案，共11页。

最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.








知识点一 函数的表示法





eq \x(状元随笔) 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．


2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.


知识点二 分段函数


在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．


eq \x(状元随笔) 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．


2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，－2≤x≤0，,x，0

[教材解难]


教材P68思考


(1)三种表示方法的优缺点比较


(2)并不是所有的函数都能用解析式表示(事实上，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ.))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)．


[基础自测]


1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( )


A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)


C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})


解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.


答案：D


2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)，x<－1，,\r(x－1)，x>1，))则f(2)等于( )


A．0 B.eq \f(1,3)


C．1 D．2


解析：f(2)＝eq \r(2－1)＝1.


答案：C


3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )


A．3x＋2 B．3x＋1


C．3x－1 D．3x＋4


解析：方法一 令2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2).


∴f(t)＝6×eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2.


∴f(x)＝3x＋2.


方法二 ∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.


∴f(x)＝3x＋2.


答案：A


4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．











则f(g(1))的值为________．


当g(f(x))＝2时，x＝________.


解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，


∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.


答案：1 1











题型一 函数的表示方法[经典例题]


例1 (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )





(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．





【解析】 (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.


【答案】 (1)D


由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律


【解析】 (2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.


∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.


【答案】(2)3或1


观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.








方法归纳


理解函数的表示法应关注三点


(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．


(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．


(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．





跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．


解析：(1)列表法：


(2)图象法：如图所示．





(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．


eq \x(状元随笔) 本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．


题型二 求函数的解析式 [经典例题]


例2 根据下列条件，求函数的解析式：


(1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，求f(x)；


(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．


【解析】 (1)设t＝eq \f(1,x)，则x＝eq \f(1,t)(t≠0)，代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，得f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2)＝eq \f(t,t2－1)，


故f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0且x≠±1)．


(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．


因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－3，,4a－2b＋c＝－7，,c＝－3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝－3.))


所以f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋x－3.


(1)换元法：设eq \f(1,x)＝t，注意新元的范围．


(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.





跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；


(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.


解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2


＝(x2＋2)2－4，


令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．


(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.


又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝1.))


所以f(x)＝2x－eq \f(1,3)或f(x)＝－2x＋1.


答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)


(2)2x－eq \f(1,3)或－2x＋1


(1)换元法


设x2＋2＝t.


(2)待定系数法


设f(x)＝ax＋b.


题型三 求分段函数的函数值 [经典例题]


例3 (1)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－1|－2|x|≤1，,\f(1,1＋x2)|x|>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,13)


C．－eq \f(9,5) D.eq \f(25,41)


(2)已知f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,ffn＋5，n<10，))则f(8)＝________.


【解析】 (1)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))－2＝－eq \f(3,2)，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(1,1＋\f(9,4))＝eq \f(4,13)，故选B.


判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．


(2)因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))中，


即f(8)＝f(f(13))．


因为13>10，所以代入f(n)＝n－3中，得f(13)＝10，


故f(8)＝f(10)＝10－3＝7.


【答案】 (1)B (2)7





方法归纳


(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．


(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．


(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．


跟踪训练3 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1 x>0，,π x＝0，,0 x<0，))


求f(－1)，f(f(－1))，f(f(f(－1)))．


解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，


∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.


根据不同的取值代入不同的解析式．





题型四 函数图象[教材P68例6]


例4 给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，


(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；


(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．


例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3,9}＝9.


请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．


【解析】 (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象(图1)．





(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)．


由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0.解得x＝－1，或x＝0.


结合图2，得出函数M(x)的解析式为


M(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋12，x≤－1，,x＋1，－10.))


eq \x(状元随笔) 1.先在同一坐标系中画出f(x)、g(x)；


2．结合图象，图象在上方的为较大者；


3．写出M(x).





教材反思


(1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．


(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中h＝－\f(b,2a)，k＝\f(4ac－b2,4a)))，确定抛物线的开口方向(a>0开口向上，a<0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．


(3)求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．





跟踪训练4 作出下列函数的图象：


(1)y＝－x＋1，x∈Z；


(2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3；


(3)y＝|1－x|.


解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．


(2)由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．


(3)因为y＝|1－x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1，))故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．





(2)先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)．(3)关键是根据x的取值去绝对值．





解题思想方法 数形结合利用图象求分段函数的最值


例 求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．


【解析】 y＝|x＋1|＋|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x≤－1，,2，－11.))


作出函数图象如图所示：





由图象可知，x∈[－1,1]时，ymin＝2.


【反思与感悟】 (1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．


(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．


(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．

















一、选择题


1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )





A．这天15时的温度最高


B．这天3时的温度最低


C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃


D．这天21时的温度是30 ℃


解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C错．


答案：C


2．已知f(x－1)＝eq \f(1,x＋1)，则f(x)的解析式为( )


A．f(x)＝eq \f(1,1＋x) B．f(x)＝eq \f(1＋x,x)


C．f(x)＝eq \f(1,x＋2) D．f(x)＝1＋x


解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝eq \f(1,t＋1＋1)＝eq \f(1,2＋t)，


∴f(x)＝eq \f(1,x＋2).


答案：C


3．函数y＝eq \f(x2,|x|)的图象的大致形状是( )





解析：因为y＝eq \f(x2,|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,－x，x<0，))所以函数的图象为选项A.


答案：A


4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))且f(a)＋f(1)＝0，则a等于( )


A．－3 B．－1


C．1 D．3


解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．


答案：A


二、填空题


5．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈[0，1],2－x，x∈1，2]))的定义域为______，值域为______．


解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．


当x∈(1,2]时，f(x)∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．


答案：[0,2] [0,1]


6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.


解析：因为f(2x＋1)＝eq \f(3,2)(2x＋1)＋eq \f(1,2)，所以f(a)＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2).又f(a)＝4，所以eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)＝4，a＝eq \f(7,3).


答案：eq \f(7,3)


7．若f(x)－eq \f(1,2)f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.


解析：∵f(x)－eq \f(1,2)f(－x)＝2x，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2－\f(1,2)f－2＝4，,f－2－\f(1,2)f2＝－4，))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2f2－f－2＝8，,f－2－\f(1,2)f2＝－4，))


相加得eq \f(3,2)f(2)＝4，f(2)＝eq \f(8,3).


答案：eq \f(8,3)


三、解答题


8．某同学购买x(x∈{1,2,3,4,5})张价格为20元的科技馆门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．


解析：(1)列表法


(2)图象法：如下图所示．





(3)解析法：y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}．


9．求下列函数解析式：


(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)；


(2)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．


解析：(1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，


∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，


∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，


即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，


由恒等式性质，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,3a＋2b＝9，))


∴a＝1，b＝3.


∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.


(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，


f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，


即f(t)＝t2＋2t－2.


∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.


[尖子生题库]


10．画出下列函数的图象：


(1)f(x)＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)；


(2)f(x)＝|x＋2|.


解析：(1)f(x)＝[x]＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(…,－2，－2≤x<－1，,－1，－1≤x<0，,0，0≤x<1，,1，1≤x<2，,2，2≤x<3，,…))函数图象如图1所示．





图1 图2


(2)f(x)＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．


优点
缺点
解析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示
列表法
不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象法
直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质
只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
x/张
1
2
3
4
5
y/元
20
40
60
80
100