高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教案，共11页。

最新课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝eq \f(1,x)，y＝x2，y＝eq \r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.








知识点一 幂函数的概念


一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．


eq \x(状元随笔) 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．





知识点二 幂函数的图象与性质


eq \x(状元随笔) 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．


[教材解难]


教材P90思考


通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．


[基础自测]


1．在函数y＝eq \f(1,x4)，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


解析：函数y＝eq \f(1,x4)＝x－4为幂函数；


函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；


函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；


函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．


答案：B


2．幂函数f(x)的图象过点(3，eq \r(3,9))，则f(8)＝( )


A．8 B．6


C．4 D．2


解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，eq \r(3,9))，可得eq \r(3,9)＝3α，∴α＝eq \f(2,3)，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.


答案：C


3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )


A．1 B．2


C．1或2 D．3


解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.


答案：A


4．判断大小：


解析：因为函数y＝x0.2是增函数，


又0.2<0.3，


∴0.20.2<


答案：<











题型一 幂函数的概念[经典例题]


例1 (1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．


其中幂函数的个数为( )


A．1 B．2


C．3 D．4


(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为( )


A.1 B．－3


C．－1 D．3


(3)已知幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,9)))，则f(4)＝_____.


【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．


(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1.


(3)设f(x)＝xα，所以eq \f(1,9)＝3α，α＝－2，


所以f(4)＝4－2＝eq \f(1,16).


【答案】 (1)B (2)A (3)eq \f(1,16)


(1)依据幂函数的定义逐个判断．


(2)依据幂函数的定义列方程求m.


(3)先设f(x)＝xα，再将点(3，eq \f(1,9))代入求α.








方法归纳


(1)幂函数的判断方法


①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．


②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．


(2)求幂函数解析式的依据及常用方法


①依据．


若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．


②常用方法．


设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.





跟踪训练1 (1)给出下列函数：


①y＝eq \f(1,x3)；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝eq \r(3,x5)；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( )


A.1个 B．2个


C．3个 D．4个


(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．


解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝eq \f(1,x3)＝x－3和y＝eq \r(3,x5)＝xeq \f(5,3)符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．


(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，


解得m＝2或m＝－1，


当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，


当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．


故f(x)＝x3.


答案：(1)B (2)f(x)＝x3


(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．





题型二 幂函数的图象及应用[经典例题]


例2 幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．





【解析】 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，


当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，01时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n

【答案】 n

依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断．





方法归纳


解决幂函数图象问题应把握的两个原则


(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．


(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．





跟踪训练2 当α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，1，2，3))时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限．


解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝x的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．


所以幂函数y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象不可能经过第四象限．


答案：四


要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．


题型三 幂函数的单调性质及应用[教材P91例1]


例3 证明幂函数f(x)＝eq \r(x)是增函数．


【证明】 函数的定义域是[0，＋∞)．


∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \r(x1)－eq \r(x2)


＝eq \f(\r(x1)－\r(x2)\r(x1)＋\r(x2),\r(x1)＋\r(x2))


＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2)) .


因为x1－x2<0，eq \r(x1)＋eq \r(x2)>0，


所以f(x1)

利用定义法证明幂函数的单调性．





教材反思


幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．


比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．





跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小．


(1)3.11.3与2.91.3；


(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) 与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))；


(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))).


解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>


(2)方法一 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).


方法二 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝3.


而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))).


(3)因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))

而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))0＝1；


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))

(1)利用函数y＝x1.3的单调性来判断．


(2)利用函数y＝x的单调性来判断．


(3)找中间量判断．











一、选择题


1．下列结论正确的是( )


A．幂函数图象一定过原点


B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数


C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数


D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数


解析：函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；y＝x－1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B不正确；函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C不正确．


答案：D


2．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为( )


A．－1,3 B．－1,1


C．1,3 D．－1,1,3


解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1,3.


答案：C


3．在下列四个图形中，y＝x的图象大致是( )





解析：函数y＝x的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.


答案：D


4．函数y＝x在[－1,1]上是( )


A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数


C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数


解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．设f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x) ＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．


因为奇函数的图象关于原点对称，所以x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．


当x＝0时，y＝0，故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．


答案：A


二、填空题


5．已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．


解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，


∴m2－1<0，解得－1

∵图象关于原点对称，且m∈Z，


∴m＝0，∴f(x)＝x－1.


答案：f(x)＝x－1


6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．


解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，


∴y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α<0.


答案：α<0


7．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：


则不等式f(|x|)≤2的解集是________．


解析：由表中数据知eq \f(\r(2),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α，∴α＝eq \f(1,2)，


∴f(x)＝x，


∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.


答案：{x|－4≤x≤4}


三、解答题


8．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：


(1)是幂函数；


(2)是正比例函数；


(3)是反比例函数；


(4)是二次函数．


解析：(1)∵f(x)是幂函数，


故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，


解得m＝2或m＝－1.


(2)若f(x)是正比例函数，


则－5m－3＝1，解得m＝－eq \f(4,5).


此时m2－m－1≠0，故m＝－eq \f(4,5).


(3)若f(x)是反比例函数，


则－5m－3＝－1，


则m＝－eq \f(2,5)，此时m2－m－1≠0，


故m＝－eq \f(2,5).


(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，


即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.


9．比较下列各题中两个值的大小；


(1)2.3，2.4；


(2)(eq \r(2)) ，(eq \r(3))；


(3)(－0.31)，0.35.


解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，


∴2.3<2.4.


(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且eq \r(2)

∴(eq \r(2))>(eq \r(3)).


(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31) ＝0.31.


又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，


∴0.31<0.35，即(－0.31) <0.35.


[尖子生题库]


10．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，eq \r(2))，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．


解析：∵幂函数f(x)经过点(2，eq \r(2))，


∴eq \r(2)＝2，即2＝2.


∴m2＋m＝2.


解得m＝1或m＝－2.


又∵m∈N*，∴m＝1.


∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．


由f(2－a)>f(a－1)，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a≥0，,a－1≥0，,2－a>a－1，))解得1≤a

∴a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝eq \f(1,x)
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非


偶函数
奇函数
单调性
在R上


递增
在(－∞，0)


上递减，


在(0，＋∞)


上递增
在R上


递增
在(0，＋∞)


上递增
在(－∞，0)


和(0，＋∞)


上递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
x
1
eq \f(1,2)
f(x)
1
eq \f(\r(2),2)