高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教案及反思，共8页。

最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．


第1课时 函数的单调性








知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性





eq \x(状元随笔) 定义中的x1，x2有以下3个特征


(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；


(2)有大小，通常规定x1

(3)属于同一个单调区间．


知识点二 单调性与单调区间


如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．


eq \x(状元随笔) 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝eq \f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．


[教材解难]


1．教材P77思考


f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；


f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．


2．教材P77思考


(1)不能 例如反比例函数f(x)＝－eq \f(1,x)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．


(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．


[基础自测]


1．下列说法中正确的有( )


①若x1，x2∈I，当x1

②函数y＝x2在R上是增函数；


③函数y＝－eq \f(1,x)在定义域上是增函数；


④y＝eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


A．0个 B．1个


C．2个 D．3个


解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．


答案：A


2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )


A．m>eq \f(1,2) B．m

C．m>－eq \f(1,2) D．m<－eq \f(1,2)


解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m

答案：B


3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是( )


A．[0，＋∞) B．(－∞，0)


C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,4))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))


解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))，故选D.


答案：D


4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．


解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.


答案：x1>x2








题型一 利用函数图象求单调区间[经典例题]


例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )





A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)


C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)


【解析】 在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．


【答案】 C


观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．





跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )





A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数


B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数


C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数


D．函数f(x)在[2,4]上是增函数


解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.


答案：A


根据图象上升或下降趋势判断．


题型二 函数的单调性判断与证明[教材P79例3]


例2 根据定义证明函数y＝x＋eq \f(1,x)在区间(1，＋∞)上单调递增．


【证明】 ∀x1，x2∈(1，＋∞)，


且x1

y1－y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))


＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)．


由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1.


所以x1x2>1，x1x2－1>0.


又由x1

于是eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)<0，


即y1

所以，函数y＝x＋eq \f(1,x)在区间(1，＋∞)上单调递增.


先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1




教材反思


利用定义证明函数单调性的步骤





注：作差变形是解题关键．





跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y＝eq \f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．


证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1

∵－10，x1＋1>0，x2＋1>0.


∴eq \f(x2－x1,x1＋1x2＋1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．


∴y＝eq \f(x＋2,x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数．


利用四步证明函数的单调性．





题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]


例3 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．


【解析】 ∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，


∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．


∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，





∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．


∴1－a≥4，解得a≤－3.


故a的取值范围为(－∞，－3]．


eq \x(状元随笔) 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解.





方法归纳


“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别


单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．


跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？


解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，


∴1－a＝4，a＝－3.


求出函数的减区间，用端点值相等求出a.

















一、选择题


1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有eq \f(fa－fb,a－b)>0，则必有( )


A．函数f(x)先增后减


B．f(x)是R上的增函数


C．函数f(x)先减后增


D．函数f(x)是R上的减函数


解析：由eq \f(fa－fb,a－b)>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a

答案：B


2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )


A．y＝－3x＋2 B．y＝eq \f(3,x)


C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10


解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，＋∞))上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.


答案：D


3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是( )


A．(－∞，1] B．[2，＋∞)


C．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)


解析：f(x)＝x|x－2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥2，,2x－x2，x<2，))


作出f(x)简图如下：





由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．


答案：C


4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )


A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)


C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)


解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.


答案：C


二、填空题


5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．





解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．


答案：[－1.5,3]和[5,6]


6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)

解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.


答案：(5，＋∞)


7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．


解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．





答案：(－∞，0]，[2,4]


三、解答题


8．判断并证明函数f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上的单调性．


解析：函数f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：


设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1

f(x1)－f(x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x1)＋1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x2)＋1))＝eq \f(x1－x2,x1x2)，


由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，


又由x1

于是f(x1)－f(x2)<0，


即f(x1)

∴f(x)＝－eq \f(1,x)＋1在(0，＋∞)上是增函数．


9．作出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象，并指出函数的单调区间．


解析：f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象如图所示．








由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．


[尖子生题库]


10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)

解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，


且f(x－2)

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x

所以x的取值范围为1≤x