3.1.1 函数的概念（第2课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第三章)

一、教学目标

1、理解区间的概念，“开”、“闭”的含义，及“∞”、“+∞”、“-∞”的读法与含义，掌握满足相应不等式条件的实数x的集合与区间之间的相互转化.

3、会判断两个函数是否为同一函数，理解定义域对函数的限定性作用.

二、教学重难点

1、函数定义域的求法。

2、如何判断两个函数为同一函数.

三、教学过程

（一）区间概念的引入

　　问题1：由上节课的学习我们知道，函数的三要素为定义域、对应关系和值域，定义域和值域都是非空数集.在数学中有没有刻画非空数集的简单方式呢？请大家阅读教科书第64页相关内容.

　　（1）什么叫闭区间？什么叫开区间？什么叫半开半闭区间？

　　（2）区间的端点应满足什么条件？0

　　（3）请用区间表示实数集R。书写带有“+∞”、“-∞”的区间时，应使用小括号还是中括号？　　

　　师生活动：教师先让学生阅读并独立思考，尝试理解有关概念和相应记法，然后提出上述3个问题，检验学生自主阅读和理解能力，并提醒学生先不要看教科书第65页.

　　学生对问题（3）中的“无穷大”可能会有理解上的困难，教师可着重强调，“+∞”、“-∞”都只是数学符号，不是一个数，是实数x取不到的，所以一定要用小括号表示.　　

　　设计意图：问题（1）是强化概念名称，明确区间的分类；问题（2）是强调区间左、右端点的大小关系，明确区间一定是“非空”的实数集，如此利用区间研究函数才更严谨；问题（3）是为了阐述“无穷大”的含义，解释带有“无穷大”的区间端点一定要用小括号的原因，降低学生的运用难度，达到“区间是研究函数的工具”的目的.

　　设计意图：问题（1）是引导学生思考给定解析式后，求定义域的原则；并通过具体实例进行操作，熟悉求解过程；熟练具体区间的书写，并明确区间的交并运算符号与集合完全一致（因为区间是集合的一种特殊形式）.

　　师生活动：教师用PPT或其他方式呈现问题3，给学生适当时间计算，然后找同学公布答案，必要时给予适当修正.

　　追问：通过问题2和问题3，你能总结函数定义域的常用求法吗？

　　给学生适当时间思考，然后提问一名同学，视情况找其他同学补充，最终达成共识：

　　①负数不能开平方（基础稍好的学生也可总结出：负数不能开偶次方）；

　　②分母不能为零；

　　③有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数定义域的交集.

　　设计意图：通过具体实例，进一步熟悉求函数定义域的过程，并总结函数定义域的常用求法，形成结论，训练抽象概括能力.

　　（三）两个函数是否为同一个函数的判断

　　问题4：我们知道，函数的三要素是：定义域、对应关系、值域，值域由定义域和对应关系决定；

　　（1）如果两个函数仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们是同一个函数吗？如果不是，你能举出反例吗？

　　函数  与它们的定义域和对应关系相同吗？这三个函数是同一个函数吗？

　　（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数吗？

　　师生活动：教师依次出示问题（1）（2）（3），找学生代表回答，通过三个问题，逐步引导学生得出判断两个函数是否是同一个函数的条件.

　　设计意图：问题（1）是启发学生排除错误条件，举反例的过程，即学生积极思考并将知识内化的过程.如果学生能准确、恰当地举出反例，说明学生掌握了这个知识点.

　　问题（2）的关键是让学生发现对应关系本质上与字母的选取无关；这三个函数定义域显然相同，对应关系本质上也相同，它们是同一个函数.

　　通过问题（2）的具体实例的分析，可自然地想到问题（3），通过对问题（3）的思考，即可归纳出判断两个函数是否为同一个函数的条件.

　　问题5：下列函数中哪个与函数 是同一个函数？ 

　　师生活动：教师出示问题后，给学生充分思考、计算的时间，期间可巡视学生作答情况，有条件的学校也可将典型作答直接投射到多媒体上，与学生讨论，最终获得正确结论.　　

　　也可利用信息技术画出这四个函数图象，根据图象进行判断，验证之前的结论.

　　设计意图：通过具体实例，训练学生能否掌握判断两个函数是否为同一个函数的方法，其中涉及函数定义域的求解，以及对通过解析式表示的对应关系的本质认识.在学生自主解题的过程中，一定会有学生先化简解析式，再求定义域；也有学生弄不清先求定义域还是先化简解析式.在此教师需要强调：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，所以求函数定义域的基本原则是解析式不化简.在此，要让学生养成“研究函数，先看定义域”的良好习惯.

　　利用信息技术，可以让学生更直观的感受四个函数的对应关系，从数与形的角度多方面分析问题，加深对问题的理解，体现信息技术手段的作用.

　　问题6：出示教科书第67页练习第1题~第3题.

　　师生活动：让学生独立完成，之后教师对学生的练习进行点评.

　　设计意图：巩固训练，夯实基础，加深印象.

　　（四）课堂小结、布置作业

　　教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：

　　（1）什么是区间？区间可分为哪几类？

　　（2）如何求函数的定义域？

　　（3）如何判断两个函数是否为同一个函数？

　　（4）至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号y=f（x）  明确了函数的构成要素.比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？

　　师生活动：问题（1）、（2）、（3）直接找学生代表回答，问题（4）可先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结：

　　这两种定义在实质上是一致的，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，高中给出的定义是从集合、对应的观点出发.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式；后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，所以用集合与对应观点来解释，更具有一般性.

　　设计意图：问题（1）、（2）、（3）是对本节内容的串联，回忆知识，加深印象；问题（4）的目的是让学生通过对初中、高中的函数定义进行比较，理解引入新定义的必要性，提升对函数的认识.

　布置作业：教科书习题3.1第2，4题.