专题4.3 图形的位似（能力提升）-2022-2023学年九年级数学上册《考点解读•专题训练》（北师大版）

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专题4.3 图形的位似（能力提升）（解析版）
一、选择题。
1．（2021秋•石鼓区期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故选：D．
2．（2021•大渡口区自主招生）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（6，0），则点A的坐标为（　　）

A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【答案】D。
【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴＝，
∴位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故选：D．
3．（2021•滦州市一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
【答案】C。
【解答】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．
故选：C．
4．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A在x轴上，若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（2，1），则点D的坐标是（　　）

A．（2，1） B．（2，2） C．（3，2） D．（3，3）
【答案】C。
【解答】解：∵△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴AB＝AD，即点B为线段AB的中点，
∵点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（2，1），
∴点D的坐标是（3，2），
故选：C．
5．（2022•南浔区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B。
【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，即＝，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴＝＝，
故选：B．
6．（2021秋•宝安区校级期中）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，则CO：CF的值为（　　）

A．3：4 B．4：7 C．4：3 D．7：4
【答案】B。
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，△ABC的面积与△DEF面积之比为16：9，
∴AC∥DF，△ABC∽△DEF，＝，
∴△AOC∽△DOF，
∴＝＝，
∴CO：CF＝4：7，
故选：B．
7．（2021•南山区校级二模）已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2）
C．（6，2）或（﹣6，﹣2） D．（2，6）
【答案】C。
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，
∴点A的对应点A1的坐标为（3×2，1×2）或（3×（﹣2），1×（﹣2）），即（6，2）或（﹣6，﹣2），
故选：C．
8．（2021•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（6，4） C．（4，4） D．（8，4）
【答案】B。
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，正方形BEFG的边长为12，
∴BC∥EF，＝，BC＝4，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，即＝，
解得，OB＝6，
∴点C的坐标为（6，4），
故选：B．
9．（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D。
【解答】解：∵A（1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
∴△OAB与△OCD的相似比是OA：OC＝1：3，
∴△OAB与△OCD的面积的比是1：9．
故选：D．
10．（2021秋•西峡县期中）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，若OA：AA′＝2：1，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积之比等于（　　）

A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
【答案】D。
【解答】解：∵OA：AA′＝2：1，
∴OA：OA′＝2：3．
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴AB∥A′B′，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比＝（）2＝，
故选：D．
二、填空题。
11．（2021秋•南安市期中）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是　（3，3）　．

【答案】（3，3）。
【解答】解：∵四边形ABCO为正方形，
而A（0，2），
∴B（2，2），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．
故答案为（3，3）．
12．（2021秋•长春期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，两个正方形在原点O同侧，点A、B、E在x轴上，其余顶点在第一象限，若正方形ABCD的边长为2，则点F的坐标为 　（9，6）　．

【答案】（9，6）。
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故答案为：（9，6）．
13．（2022•启东市二模）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为 　（﹣2，0）　．

【答案】（﹣2，0）。
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4），
∴OC＝AB＝4，OA＝2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（﹣1，2），
∴位似比为1：2，
∴OP：AP＝OD：AB＝1：2，
设OP＝x，则，
解得：x＝2，
∴OP＝2，
即点P的坐标为：（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
14．（2021•常州模拟）已知：如图，E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，则点E的对应点E1的坐标为　（3，﹣1）　．

【答案】（3，﹣1）。
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比1：2，把△EFO在y右侧缩小，E（﹣6，2），
∴点E的对应点E1的坐标为（6×，﹣2×），即（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
15．（2021秋•原阳县期中）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为 　（﹣，）或（，﹣）　．
【答案】（﹣，）或（，﹣）。
【解答】解：∵△ABC的顶点A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C′，
∴点A的对应点A'的坐标为（﹣4×，2×）或[﹣4×（﹣），2×（﹣）]，即（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
16．（2021秋•深圳期中）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD＝90°，CO＝CD，若B（2，0），则点C的坐标为　（2，2）　．

【答案】（2，2）。
【解答】解：连接CB，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
∴点A为OC的中点，AB∥CD，
∵点B为OD的中点，
∵CO＝CD，∠OCD＝90°，
∴CB⊥OD，
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∴点C的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．

17．（2022春•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数t，将得到的点先向右平移a个单位，再向上平移b个单位（a＞0，b＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'．
①a＝　　，b＝　2　；
②已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是 　（1，4）　．

【答案】；2；（1，4）。
【解答】解：①由题意，点A到点A'可得方程组为，
由点B到点B'可得方程组为，
解得．
②设F点的坐标为（x，y），
∴，
解得，
即点F的坐标为（1，4）．
故答案为：；2；（1，4）．
18．（2021秋•盐湖区期中）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝3：5，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比是 　9：25　．

【答案】9：25。
【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴＝（）2＝，
故答案为：9：25．
三、解答题。
19．（2022•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，3）．
（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1BC1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标（﹣4，2）．

20．（2021秋•东莞市校级期末）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．

（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；
（2）分别写出A，B两点的对应点A'，B'的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△OA′B′，即为所求；

（2）A'的坐标是（﹣6，2），B'的坐标是（﹣4，﹣2）．

21．（2021秋•鹿邑县月考）如图，已知O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．
（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A1OB1，并画出该图形；
（2）以O为位似中心，在y轴左侧，画出△AOB的位似△A2OB2，使它们的位似比为1：2，并写出点A2、B2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；
（2）如图，△A2OB2为所作，点A2的坐标为（﹣6，2），点B2的坐标为（﹣4，﹣2）．

22．（2022春•易县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A'，B'，则a＝　　，m＝　　，n＝　2　．若正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标为 　（1，4）　．

【解答】解：把A（﹣3，0）经过变换后的对应点A′的坐标为（﹣3a+m，n），
而A′（﹣1，2），
∴﹣3a+m＝﹣1，n＝2，
把B（3，0）经过变换后的对应点B′的坐标为（3a+m，n），
而B′（2，2），
∴3a+m＝2，n＝2，
解得a＝，m＝，n＝2，
设F点的坐标为（x，y），则F′（x+，y+2），
∵点F'与点F重合，
∴x＝x+，y＝y+2，
解得x＝1，y＝4，
∴F点坐标为（1，4）．
故答案为：，，2，（1，4）．
23．（2021秋•封丘县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2）、B（﹣1，3）、C（﹣1，1）．
（1）已知△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请画出△A1B1C1．
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴的上方画出△ABC的位似图形△A2B2C2（点A、B、C、的对应点分别为点A2，B2，C2），使它与△ABC的位似比为2：1．
（3）若△ABC内有一点M，它的坐标为（a，b），请直接写出点M在△A2B2C2中的对应点M2的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据位似图形的性质知：M2（2a，2b）．
24．（2022•肇东市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O″A″B；
（3）点M是OA的中点，在（1）和（2）的条件下，M的对应点M′的坐标为　（，），（2，7）　．

【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求；

（2）如图，△O″A″B即为所求；

（3）如图，∵点M是OA的中点，A′（4，4），O′（1，5），
∴M的对应点M′的坐标为（，），M″（2，7）．
故答案为：（，），（2，7）．
25．（2021•广陵区校级开学）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是　（2，﹣2）　；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；
（3）四边形AA2C2C的面积是　7.5　平方单位．

【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；
（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，
（3）四边形AA2C2C的面积是＝；
故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.5

26．（2021秋•楚雄市校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．