北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系精品达标测试

2023年北师大版数学九年级上册

《一元二次方程的根与系数的关系》同步练习

一              、选择题

1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)

A.x2﹣2x+1=0                  B.2x2﹣x+1=0                  C.4x2﹣2x﹣3=0     D.x2﹣6x=0

2.下列的一元二次方程中,有实数根的是(　　)

A.x2﹣x+1=0　  　B.x2=﹣x　 　C.x2﹣2x+4=0　 　D.(x﹣2)2+1=0

3.若关于x的方程x2＋2x＋a=0不存在实数根，则a的取值范围是(      )

A.a＜1           B.a＞1            C.a≤1       D.a≥1

4.方程x2﹣x﹣1=0的解的情况是(      )

A.有两个不相等的实数根                       B.没有实数根

C.有两个相等的实数根                           D.有一个实数根

5.下列一元二次方程中，没有实数根的是(     )

A.x2﹣2x＝0                  B.x2＋4x﹣1＝0

C.2x2﹣4x＋3＝0              D.3x2＝5x﹣2

6.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为(  )

A.k=﹣4        B.k=4        C.k≥﹣4        D.k≥4

7.已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为(　　)

A.﹣3       B.3       C.﹣6       D.6

8.已知a，c是方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则＋的值为(     )

A.﹣2              B.﹣                                       C.            D.2

9.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是(     )

A.﹣10                       B.10                        C.﹣6                         D.2

10.关于x的方程x2－ax＋2a=0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)

A.－1或5         B.1            C.5              D.－1

二              、填空题

11.已知x1和x2分别为方程x2+x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2=  ；x1•x2=  .

12.已知关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是______.

13.若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　   　.

14.如果关于x的一元二次方程2x(kx﹣4)﹣x2+6=0没有实数根,那么k最小整数值是_______.

15.已知方程x2＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____，m的值是________.

16.若a，b分别是方程x2+2x﹣2017=0的两个实数根，则a2 +3a+b=_____________.

三              、解答题

17.已知关于x的方程(k﹣1)(k﹣2)x2+(k﹣1)x+5=0.

求：(1)当k为何值时，原方程是一元二次方程；

(2)当k为何值时，原方程是一元一次方程，并求出此时方程的解.

18.已知等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x＋n﹣1＝0的两根，求n的值．

19.已知关于x的方程x2＋ax＋a﹣2=0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

20.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

21.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x＋m﹣1＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求m的取值范围；

(2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值.

22.已知关于x的方程(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0.

(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值.

23.已知关于x的方程x2﹣kx﹣2=0

①求证：方程有两个不相等的实数根。

②设方程的两个根为x1,x2如果2(x1+x2)>x1x2,求k的取值范围。

答案

1.A.

2.B.

3.B

4.A.

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.D

11.答案为：﹣1；﹣2.

12.答案为：a≤1

13.答案为：.

14.答案为：2

15.答案为：3,－4.

16.答案为：2015；

17.解：(1)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)≠0，解得k≠1且k≠2；

(2)依题意，得(k﹣1)(k﹣2)=0，且k﹣1≠0，解得k=2.

此时该方程为x+5=0，解得x=﹣5.

18.解：∵三角形是等腰三角形，

∴有①a＝2或b＝2，②a＝b这两种情况．

①当a＝2或b＝2时，

把x＝2代入x2﹣6x＋n﹣1＝0，得22﹣6×2＋n﹣1＝0，解得n＝9.

当n＝9时，方程x2﹣6x＋8＝0的两根分别是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不合题意，舍去．

②当a＝b时，方程x2﹣6x＋n﹣1＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝(﹣6)2﹣4(n﹣1)＝0，解得n＝10.

当n＝10时，方程x2﹣6x＋9＝0的两根分别为3和3，因3，3，2能组成三角形，故n＝10符合题意，

∴n＝10.

19.解：(1)∵1为原方程的一个根，

∴1＋a＋a﹣2=0.

∴a=.

将a=代入方程，得x2＋x﹣=0.

解得x1=1，x2=﹣.

∴a的值为，方程的另一个根为﹣.

(2)证明：∵在x2＋ax＋a﹣2=0中，

Δ=a2﹣4a＋8=(a﹣2)2＋4>0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

20.(1)证明：∵△=(2k+1)2﹣4(k2+k)=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

(2)解：一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0的解，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，∴AB≠AC.

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

综合上述，k的值为5或4.

21.解：(1)∵原方程有两个实数根，

∴△＝(﹣2)2﹣4(m﹣1)≥0，

整理得：4﹣4m＋4≥0， 解得：m≤2；

(2)∵x1＋x2＝2，x1•x2＝m﹣1，x12＋x22＝6x1x2，

∴(x1＋x2)2﹣2x1•x2＝6x1•x2，

即4＝8(m﹣1)， 解得：m＝.

∵m＝＜2，

∴符合条件的m的值为.

22.(1)证明：方程整理为x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=(﹣5)2﹣4×1×(6﹣p2)=1+4p2，

∵4p2≥0，

∴△＞0，

∴这个方程总有两个不相等的实数根；

(2)∵x12+x22=3x1x2 

 ∴x12+x22+2x1x2﹣5，x1x2=0

∴(x1+x2)2﹣5 x1x2=0

∴25﹣30+5p2=0

∴p=±1

23.解：①Δ=k2+8

∵k2≥0

∴k2+8>0.

∴方程有两个不相等的实数根。

②∵x1+x2=k,x1x2= ﹣2

∴2k>﹣2

∴k>﹣1