第二章 一元二次方程 - 初中数学九年级上册 单元知识点复习讲义+题型练习（北师大版2024）

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第二章 一元二次方程 复习讲义 知识点01 认识一元二次方程1）一元二次方程的概念只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。2）一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3.一元二次方程的解1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。2）一元二次方程近似解：两端逼近法（二分法）。步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。知识点02 一元二次方程的解法1.一元二次方程的解法：直接开平方法直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则.2.一元二次方程的解法：配方法通过配成完全平方公式的方法解方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法（solving by completing the square）。用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．3.公式法：用求根公式求出一元二次方程的解的方法叫公式法（solving by formula）．一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) = 1 \* GB3 ①当时，方程有两个不相等的实根； = 2 \* GB3 ② 当时，方程有两个相等的实根； = 3 \* GB3 ③ 当时，方程没有实根。4.因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边能够分解为两个一次因式乘积时，若A×B=0，则A=0或B=0，转化为两个一元一次方程求解，该方法称为因式分解法（solving by factorization）。因式分解的主要方法：提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。乘法公式：若能用如下乘法公式将方程化成两个因式乘积等于0的形式，有时可以很好解决。 = 1 \* GB3 ①平方差公式： QUOTE ?2−?2=??+????−?? ； = 2 \* GB3 ②完全平方公式：。 QUOTE ?2±2??+?2=（?+?）2 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： = 1 \* GB3 ①十字左边两数相乘等于二次项； = 2 \* GB3 ②十字右边两数相乘等于常数项； = 3 \* GB3 ③十字交叉相乘积的和等于一次项。 5.解一元二次方程的方法选择： = 1 \* GB3 ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 = 3 \* GB3 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。知识点03 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）韦达定理的推导可以借助求根公式解的两根，再求出两根之积，两根之和即可。1）设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，注意：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。2）常用推导变形： ② ③ 等知识点04 一元二次方程的应用1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 = 1 \* GB3 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； = 2 \* GB3 ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； = 3 \* GB3 ③依据等量关系式和未知数x建立方程； = 4 \* GB3 ④解方程并解答。2.一元二次方程应用题常见类型：面积（体积）问题；平均变化率问题；销售利润问题；传播问题；循环问题；数字问题等。3. 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础1）增长率问题a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.2）降低率问题a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.（降低率不能超过100%）4.传播问题实例探索数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 5.碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场；∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场；∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=n（n－1）。（2）不重叠类型（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场；∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场； QUOTE 12?（?−1） ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分，∴m=n（n－1）。题型01 一元二次方程的概念（定义、一般式）【典例1】（25-26九年级下·江苏·期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（   ）A．2B．C．2D．【答案】D【详解】解：A、方程 分母含有未知数，不是整式方程，因此不是一元二次方程；B、方程 未知数最高次数为1，是一元一次方程，因此不是一元二次方程；C、方程 含有两个未知数，因此不是一元二次方程；D、方程 只含有一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．【变式1】（25-26八年级下·安徽亳州·月考）一元二次方程的一次项系数和二次项系数分别是（    ）A．和B．和C．和D．和【答案】B【详解】解：的一次项系数是，二次项系数是．【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：方程是一元二次方程，∴且，解得且，∴．【变式3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可）【答案】【详解】解：一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．本题要求二次项系数和一次项系数都为1，即，，因此方程形式为（为任意实数）．为构造简单方程，取，得到．故答案为．题型02 一元二次方程的解的相关问题（代数式求值、参数问题）【典例1】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：，整理得：．∵是该一元二次方程的根，∴，移项得：，∴．【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：∵等价于，从表格中，当时，；当时，，∴方程的根为，．故选：C．【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为∴整理所求方程移项得提取公因式得令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为即解得因此所求方程必有一解为【变式3】（25-26八年级下·浙江金华·月考）写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：________．【答案】（答案不唯一）【详解】解：常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程可以是：．（答案不唯一）【变式4】（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为__________．【答案】【详解】解：是方程的一个根，，即，．题型03 一元二次方程的特征根与根的估算【典例1】（25-26九年级上·河南许昌·月考）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ）A．6，3B．6，C．3，D．6，【答案】C【详解】解：∵，∴当时，；当时，，∴方程的根是或，故选：C．【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）若方程中，满足和，则方程的根是（　　）A．1，2B．1C．1D．无法确定【答案】B【详解】解：∵，∴把代入方程得：，∴方程的一个根，把代入方程得：，∴是方程的一个根；∴方程的根是，，故选：B．【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如表示代数式的部分值得情况．根据表中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：∵当时，，当时，，∴方程在和之间有一个正根，即．故选C．【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：令（，a，b，c为常数），当时，，当时，，时，二次函数的函数值范围为，即方程的一个解x的范围是．故选：C．题型04 指定一元二次方程的解法【典例1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）用指定的方法解下列方程：(1)（因式分解法） (2)（公式法）【答案】(1)， (2)，【详解】（1）解：，二次项系数化为1，得，因式分解，得，解得：，；（2）解：，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根  ，∴  ，解得：，．【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）解一元二次方程：(1)（因式分解法） (2)（配方法）【答案】(1) (2)【详解】（1）解：因式分解：；（2）解：配方法：．【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）解一元二次方程：(1)； （公式法） (2)．（因式分解法）【答案】(1)， (2)，【详解】（1）解：对于方程，可得，，，∴，∴，解得，．（2）解：∴，因式分解得，可得或，解得，．【变式3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程：(1)；（公式法） (2)；（因式分解法） (3)（因式分解法）【答案】， (2) (3)【详解】（1）解：，，，∵，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，即，∴或，∴，；（3）解：方程整理成一般式为 ，∴，∴或，∴．【变式4】（2025·河南郑州·一模）解方程：(1)；（配方法） (2)．（公式法）【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：∵，∴，∴，即，∴，∴，；（2）解：，，，∵，∴，∴，．题型05 活用一元二次方程的解法【典例1】（25-26八年级下·甘肃嘉峪关·期末）用适当的方法解下列方程：(1)； (2)； (3)．【答案】(1)， (2)， (3)【详解】（1）解：，或，∴，；（2）解：，或，∴，；（3）解：，，，，，∴．【变式1】（25-26九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程(1) (2) (3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，；（3）解： ，移项，得，对提取公因式，变形为，提取公因式，得，则或，解得，．【变式2】（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程：(1) (2)【答案】(1)， (2)，．【详解】（1）解：，，，，，解得：，；（2）解：，，，，则或，解得：，．【变式3】（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程：(1)； (2)．【答案】(1)， (2)，【详解】（1）解：，，，，或，，；（2）解：，整理得，由题意得，，，，，，即，．【变式4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当的方法解下列方程：(1) (2)【答案】(1)， (2)，【详解】（1）解：或∴，；（2）解：或∴，．题型06 换元法解一元二次方程【典例1】（25-26八年级上·安徽六安·月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：．解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：，因式分解得：，解得，，当时，，解得；当时，，解得；综上，原方程的解为，．请参考例题，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：设，则原方程可化为，，解得，，∵，∴不符合题意，舍去，当时，，解得，，综上，原方程的解为，；（2）解：设，则原方程可化为，，解得，，当时，，整理得，∵，∴此方程无实数根；当时，，整理得，解得，即，，综上，原方程的解为，．【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________．【答案】4【详解】解：设，则，原方程化为，即，，，解得或，由于，故，即．故答案为：4．【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·月考）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，．根据上述材料，解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得．原方程的解为，．（2）解：设，则原方程可化为，解得．            ，即或，解得，．【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料：解方程．解法如下：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，．（1）当时，，解得；（2）当时，，解得．综合（1）（2），可得原方程的解为．请你参考明明同学的思路，解方程．【答案】，【详解】解：设，则原方程可化为：，解得：，，（1）当时，，解得，，（2）当时，，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：，．题型07 判别式及综合运用【典例1】（2025·北京·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)若为方程的一个根，求代数式的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得；（2）解：∵为方程的一个根，∴，即，∴．【变式1】（2025·四川成都·二模）关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（   ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【答案】C【详解】解：，，，，，方程没有实数根，故选：C．【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得．故选：C．【变式3】（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴，故选D．【变式4】（2025·陕西西安·三模）已知关于的一元二次方程．(1)若方程的一个解为，求的值；(2)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)或(2)见解析【详解】（1）解：当时，，解得或．（2）证明：，无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．题型08 配方思想的运用（最值、大小比较等）【典例1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题．(1)利用配方法分解因式：；(2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值．【答案】(1)(2)当时，多项式有最小值，最小值为【详解】（1）解：；（2）解：，∵，∴，∴当时，多项式有最小值，最小值为．【变式1】（25-26八年级下·浙江舟山·期中）“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式如：，，，；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请解决下列问题：(1)填空：代数式有最_______（填“大”或“小”）值：这个最值为________；(2)证明：代数式的值恒为正数．(3)如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，连接．设，．①则图中线段________（空格中填写图中的线段）的长是方程的一个根，你是如何得到这个结论的？请写出你的发现过程．②若，则的值为________．【答案】(1)小，1(2)见详解(3)①，过程见详解；②【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴代数式有最小值：这个最值为1；（2）证明：，∵，∴，∴代数式的值恒为正数；（3）解：①∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，或（舍去），∵以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；∴，∴；②∵以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，∴，∵，，∴，，∴；；;；；∴．【变式2】（2026·浙江宁波·一模）我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：原式．所以，当，时，此式的最小值为2．试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：(1)；(2)．【答案】(1)当时，多项式取得最大值为(2)当，时，多项式的最小值为【详解】（1）解：，∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为；（2）解：，∵，，∴，当且仅当且时等号成立，由可得，，将代入可得，故当，时，多项式的最小值为．【变式3】（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践【项目主题】配方法的应用．【项目准备】(1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____【项目解决】(2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤__；(3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____．【答案】(1)；；；(2)(3)【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式.（2）解：，，，，，，，∵，∴．（3）解：∵在四边形中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴四边形面积的最大值为.题型09 利用根与系数的关系求方程的根、代数式的值【典例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ．【答案】【详解】解：，是方程的两个实数根，，，，故答案为：【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）已知方程的一个根是3，则另一个根是 ．【答案】/【详解】解：设方程的另一个根为，则有，∴，∴方程的另一个根为．故答案为：．【变式2】（2025·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．【答案】【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，∴，∴即，∴，故答案为：．【变式3】（2025·四川成都·模拟预测）若是一元二次方程的两个根，则 ．【答案】【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，∴，∴，，∴，故答案为：．题型10 利用根与系数的关系求参数值【典例1】（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ．【答案】【详解】解：∵关于的一元二次方程两根为、，∴，，∴，∴，故答案为：．【变式1】（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ．【答案】【详解】解：∵，是方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理得：，解得：，，当时，原方程为，∴，不符合题意舍去，当时，原方程为，∴，符合题意舍去，综上所述：，故答案为：．【变式2】（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ．【答案】【详解】解：关于的方程有两个实数根，，解得：，根据根与系数的关系得,，，，解得：，，，故答案为：．【变式3】（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ．【答案】【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，∴，又∵，得，解得：，∴，故答案为：．【变式4】（2026·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ．【答案】//【详解】解：∵m是一元二次方程的根，∴，即．将其代入，得，即，∵m，n是一元二次方程的两根，∴，．将其代入，得．解得，故答案为．题型11 构造一元二次方程求代数式的值【典例1】（2025·湖南湘西·模拟预测）若实数a，b满足，，则的值为（    ）A．B．或20C．2或D．【答案】C【详解】解：①当时：∵a和b满足，且（因为代入得），∴原式；②当时：∵a和b是方程的两个根，∴，，原式，∵，∴分子，分母，∴原式，综上所述，原式的值为2或．故选：C．【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期末）若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ．【答案】2030【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，，∴，可以看作方程的两个根，∴，，，∴．故答案为：2030．【变式2】（2025·湖北襄阳·一模）阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，．类比探究：已知实数m，n满足，且，则 ．【答案】【详解】解：∵实数m，n满足，∴m，是方程的实数根，解方程得，∴分情况讨论：①若，则；②若，则 若，，，不合题意，舍去；若，，，不合题意，舍去．综上所述，．故答案为：．【变式3】（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ．【答案】【详解】解：由题意可知，，，将两式相减得，，，，，将两式相加得，，，，，解得：，，故答案为：．【变式4】（25-26八年级下·山东淄博·月考）阅读下面材料，再解方程：解方程解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；∴原方程的根是，．(1)请参照例题解方程；(2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值．【答案】(1)，(2)2或【详解】（1）解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）；∴原方程的根是，．（2）∵，①当时，，②当时，m、n是方程的两根，∴，，∴原式．∴的值为2或．题型12 根与系数的关系与几何图形综合【典例1】（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m取最小整数，求此时方程的两个根；(3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴．解得：．（2）解：∵，∴的最小整数值为2．  把代入方程，得，   ．（3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，∴，，∵，∴，根据勾股定理得，∴，解得或，∵，∴不合题意，舍去，∴，∴，∴的周长为．【变式1】（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．【答案】【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；当时，∴，，故答案为：．【变式2】（2025·安徽·模拟预测）等腰的三边长分别为、、，已知、是方程的两根，则的值为 ．【答案】或【详解】解：等腰的三边长分别为、、，当等腰的腰长是时，则方程有一个根是，可得：，解得：；当等腰的底边长是时，则有，则方程有两个相等的根，，解得：；当时，三边长为1、3、3，满足，可以构成三角形；当时，三边长为2、2、3，满足，可以构成三角形．综上所述，的值是或．【变式3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知平行四边形的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)当为何值时，四边形是菱形？(2)若，求的值．【答案】(1)当时，四边形是菱形(2)【详解】（1）解：四边形为平行四边形，当时，平行四边形为菱形，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，，整理得：，解得：，当时，四边形为菱形；（2）解：的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，，，即整理得：，解得：或， 边长为正数，它们的和，当时，不符合题意，应舍去，．【变式4】（25-26八年级上·上海·期末）【综合与探究】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．(1)若，求的值；(2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是的另外两边长，求这个三角形的周长．【答案】(1)3(2)17【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，∴，解得，∵，∴，∴，∵，，∴，整理得：，解得：，，，∴；（2）解：∵等腰的一边长为7，，恰好是的另外两边长，∴①或，即是方程的一个根，将代入得：，解得：或，当时，得，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，周长为17；当时，得，方程的另一个根为，三角形三边分别为，，此时不能构成三角形；②，，解得，此时方程为，解得，三角形三边分别为，，此时不能构成三角形；综上，三角形的周长为．题型13 一元二次方程根的分布（拓展）【典例1】（2026·浙江·模拟预测）设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴且，∴，解得，∵，，又∵，∴，，∴，∴，即，解得，∴a的取值范围是．故选：D．【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________．【答案】【详解】解：是二次方程，，解得．二次方程有两根，．即．或．解，得．解，得且，不合题意舍去．实数m的取值范围为．【变式2】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）已知关于的一元二次方程．(1)判断此方程的根的情况；(2)若该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，求整数的值．【答案】(1)该方程总有两个实数根；(2)．【详解】（1）解：，，，该方程总有两个实数根；（2）解：设两根为和且，由根与系数的关系得：，，∵该方程的两根异号，且负根的绝对值较大，∴，，∴，，解得，∴整数．【变式3】（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：A、令，∵二次项系数，抛物线开口向下，关于的方程的一根大于，另一根小于，∴当时，，即，选项结论正确，符合题意；B、设关于的方程的两个根为，则，关于的方程的一根大于，另一根小于，若，则，即不一定为，选项结论错误，不符合题意；C、关于的方程的一根大于，另一根小于，一元二次方程有两个不相等的实数根，即，选项结论错误，不符合题意；D、设关于的方程的两个根为，则，即，关于的方程的一根大于，另一根小于，若，则，，即不一定小于，选项结论错误，不符合题意；故选：A．【变式4】（2025·四川南充·一模）关于x的一元二次方程．(1)判断方程根的情况，并说明理由；(2)若方程有一个根不小于3，求k的取值范围．【答案】(1)方程总有两个实数根，理由见解析 (2)【详解】（1）解：，方程总有两个实数根．（2）解：，，，方程有一个根不小于3，，．答：k的取值范围为．题型14 一元二次方程的新定义问题【典例1】（25-26九年级上·四川泸州·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“双倍方程”，以下关于双倍方程的说法，正确的是（    ）①方程是双倍方程；②若是双倍方程，则；③若、满足，则关于的方程是双倍方程；④若关于的方程（）是双倍方程，则．A．①②B．②③④C．①③D．①③④【答案】D【详解】解：①解方程，，或，，，即，∴方程是双倍方程，故①正确；②若是双倍方程，其根为，，当时，，得，当时，，得，∴不一定只有，故②错误；③∵，方程，∴，，∵，∴，则，∴该方程是双倍方程，故③正确；④设方程的两根为和，分两种情况：情况一：，由求根公式得：，两边同乘得：，移项整理得：，两边平方：，展开得：，整理得：；情况二：，同理可得：整理得：，平方后同样得：，∴若方程是双倍方程，则，故④正确．综上，正确的是①③④，故选：D．【变式1】（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ．【答案】（答案唯一）．【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，，，一元二次方程为，，可取，这个一元二次方程为（答案唯一）．故答案为：（答案唯一）．【变式2】（2025·河南郑州·一模）如果一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．(1)判断一元二次方程是否为凤凰方程，说明理由．(2)已知是关于的凤凰方程，求的值．【答案】(1)是凤凰方程，理由见解析(2)【详解】（1）解：是凤凰方程，理由如下：由方程可得，，，，∴，∴一元二次方程是凤凰方程；（2）解：由方程得，，，，∵是关于的凤凰方程，∴，∴．【变式3】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．【答案】(1)不是(2)-6或-8【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下：，解得：，，∵，∴方程不是“差1方程”；（2）解：∵设方程两根为，，由根与系数的关系，得，，∵方程 是“差1方程”，∴，∴∴ ∵，∴,∴或；当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时，综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”.【变式4】（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为．① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误；② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确；③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确；④ 若是的根，则，，，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确；⑤ 原的“倒方程”为，是“倒方程”的根，， 对所求式变形：，故⑤正确．综上，正确结论共4个，故选C．题型15 一元二次方程的实际应用1-增长率、销售、数字问题【典例1】（25-26八年级下·浙江舟山·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时．(1)每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)；(2)20元或10元(3)不能，理由见详解【详解】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（2）解：根据题意，得：，解得：，，答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元；（3）解：不能，理由如下：根据题意，得：，化简得， 方程无解，故不可能做到平均每天盈利2000元．【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，根据题意可得．故选：A．【变式2】（2026·湖南·模拟预测）为落实乡村振兴战略，某农机厂加大农业机械生产投入，一月份生产农业零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂生产零件平均每月的增长率为，那么满足的方程是（    ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：∵一月份生产零件万个，平均每月增长率为，∴二月份生产零件数量为 万个，∴三月份生产零件数量为 万个，∵第一季度共生产零件万个，第一季度总产量为三个月产量的和，∴可列方程．【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）小明问这样一个问题：“有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．”在深度思考后，给出的正确答案是（    ）A．1B．C．D．1或【答案】A【详解】解：设这个数为∵根据题意，该数的平方减去该数加1的结果等于这个数，∴列方程得：，移项整理得：，因式分解得：，解得：，∴符合条件的数是1，故选：A．【变式4】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题．该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件．(1)探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率；(2)解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额．【答案】(1)(2)每件应降价36元【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为．（2）解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得．要尽快减少库存，，答：每件应降价36元．【变式5】（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．(1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；(2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；(2)不能实现目标．【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，，解得或（舍去），答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为；（2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元，答：不能实现目标．【变式6】（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答）【答案】最小数为9【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为，由题意得：，整理得：，∴，即解得：，（舍）答：最小数为9．题型16 一元二次方程的实际应用2-几何图形与动态问题【典例1】（25-26九年级下·广东清远·学业考试）在数学史上，人类对解一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，古代的一些数学家还研究过一元二次方程的几何解法．下面以方程为例加以说明：公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造如图，一方面，正方形的面积为，另一方面，它又等于．即正方形的面积为：，解得：，从而得到了方程的正数解．这种方法直观地体现了数形结合的思想．(1)阿尔·花拉子米的几何解法求方程的解，为什么只能得到一个根？(2)请根据阿尔·花拉子米的几何解法求方程的正数解．（在下面的方框中画出几何图形，标出相应的线段长度，并写出解题过程．(3)请写出利用几何解法求解关于的一元二次方程正数解的推导过程．【答案】(1)见详解(2)，图见详解(3)，过程见详解【详解】（1）答：因为在几何解法中，x代表的是正方形的边长，边长不能为负数，所以只能得到方程的正数解（2）解：把边长为3和x的两个小正方形拼成一个大正方形，如图所示：∴大正方形的面积为，由方程配方得：，∵，，∴，∴，即是方程的正数解；（3）解：根据题意可构造如下图，∴大正方形的面积为，由方程配方得：，∵，，∴，∴，即是方程的正数解．【变式1】（2026·辽宁沈阳·一模）我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解： 如图，由题意可得，，，，∴由勾股定理得，．【变式2】（25-26八年级上·广西贺州·期中）学校有一块长，宽的矩形空地，计划在这空地上划出四分之一的区域作为学校的劳动基地，小勤同学设计方案如图所示，求基地的宽度．设该劳动基地的宽度为，则可列方程为（    ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：设该劳动基地的宽度为，依题意得：．【变式3】（24-25九年级上·广西来宾·月考）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ）A．2B．4C．2或4D．2或6【答案】C【详解】解：设运动时间为秒，则，，∵，，∴，∵线段将分成面积1：2的两部分，∴或，∴或，解得，，∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒．故选：C．【变式4】（25-26九年级上·广东江门·月考）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，设运动时间为．(1)用含的代数式表示：____；___；(2)若的面积为面积的，求的值．【答案】(1)，；(2)．【详解】（1）解：∵，，点点的速度都是，运动时间为∴，；（2）∵在中，，，∴．∵，∴，∴整理得：，，，，，或，解得：，．∵，∴，∴不合题意，舍去．答：的值为．题型17 一元二次方程的实际应用3-循环、传播、分支问题【典例1】（2026·广西玉林·一模）广西首创的全区性县级足球主客场联赛（广西县超）正在火热开赛中，参加“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有个队参加比赛，根据题意，列出方程为（   ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵共有个队参加比赛，每个队需要与除自身外的个队进行比赛，又∵每两个县队之间都要进行两场比赛，∴总比赛场数可列方程为．【变式1】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场，∴若不考虑重复，总场次为场，又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数，∴实际总场次为场，∴可列方程为，故选：D．【变式2】（2026·贵州·一模）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人，∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为，第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为，∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为．【变式3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）由于春季气温回暖，某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元，设该店冬装原本打x折，则有（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设该店冬装原本打x折．∵打折时，打x折表示现价为原价的．又∵本题为两次折扣相同的“折上折”，需要连续两次按计算价格．∴原价1000元经过两次打折后价格为．∵优惠后实际价格为490元，∴可得方程．【变式4】（25-26九年级上·湖北孝感·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．【答案】5【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），，则这种植物每个支干长出的小分支个数是．故答案为：．题型18 一元二次方程的实际应用4-其他问题【典例1】（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？(2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？【答案】(1)或小时；(2)上午时．【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，解得：，，答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里；（2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，在中，由勾股定理，得，即，整理，得，解得，（不符合题意．舍去）．∴，答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令．【变式1】（25-26九年级上·河南驻马店·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动．(1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒；(2)小球滚动24米用了多少秒？【答案】(1)2，(2)4秒【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）．从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）．故答案为：2，．（2）根据题意，平均速度．因为运动路程即，且米，；；解得，．因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去．答：小球滚动24米用了4秒．【变式2】（25-26九年级上·广西河池·期末）因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天．(1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率；(2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由．【答案】(1)(2)420，不能，理由见解析【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x，依题意得：．解得：，（不合题意，舍去）答：每天增长的百分率为．（2）解：若增加2条生产线，则每天生产口罩最多万个，设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天，依题意，得：，化简得：．∵，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个．【变式3】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递．(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值．【答案】(1)乙分拣机至少工作小时(2)的值为【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意列不等式，解得答：乙分拣机至少工作小时；（2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时，根据题意列方程，，解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为．【变式4】（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个．(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值．【答案】(1)360个；240个(2)80【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个．根据题意，得．化为整式方程，得，解方程，得．经检验，是原方程的解．则．答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个．（2）解：工人总数为：（人）．根据题意，得．整理得．解得，（舍去）．答：的值为80． 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】C【详解】解：∵ 方程为当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根，当时，代入方程左边得，由题可知，∴ 是方程的根∴方程的根为．2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）．A． B． C． D．【答案】A【详解】A：，两个根分别为，符合题意；B：，两个根分别为，不符合题意，C：，两个根分别为，不符合题意，D：，两个根分别为，不符合题意．3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如下是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（  ）A．1B．C．1或D．【答案】A【详解】解：设这个数为，解得，故选：A．4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）某校劳动小组种植的某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设主干长出个支干，则所列方程正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵主干数量为1个，主干长出个支干，每个支干长出个小分支，∴小分支数量为个，∵主干、支干和小分支的总数是91，∴可列方程为，故选：D．5．（25-26九年级上·天津河西·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地面积是864平方步，已知它的宽比长少12步．问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为x步，则列出的方程可以为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：宽为步，∴ 长为步，∴ 根据题意，可列方程为．故选：A．6．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（    ）A．6支B．7支C．8支D．9支【答案】B【详解】解：设参加比赛的球队共有支．∵赛制为单循环形式，每两队之间只比赛一场，总比赛场数为21场∴可列方程整理得 因式分解得 解得 ∵球队数量为正整数∴即参加比赛的球队共有7支．7．（25-26九年级下·辽宁抚顺·月考）2025年辽宁省首届青少年数字阅读节在沈阳举办．某校为响应活动号召，开放校园数字图书馆．据统计，4月份访问数字图书馆的人次为150次，访问人次逐月递增，到6月份累计访问人次达546次，且访问人次的月平均增长率相同．访问人次的月平均增长率为（   ）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：设访问人次的月平均增长率为，则5月份访问的人次为次，6月份访问的人次为次，依题意得：，解得：，（舍去），∴访问人次的月平均增长率为．8．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，则的值是（     ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵方程的两个根为，∴由根与系数的关系得，，∴，∴，∴．9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________．【答案】【详解】解：设方程的两根为，由题意可知，方程的两根为，根据一元二次方程根与系数的关系，对可得，；对可得，，整理得，；联立得方程组，解得，因此．10.（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知关于的一元二次方程．(1)求证：无论为何值，该一元二次方程总有实数根；(2)若方程的两根一正一负，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：，∵，∴无论为何值，该一元二次方程总有实数根；（2）解：两根之积，∵方程的两根一正一负，∴两根之积，即，解得：．11．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点：知识点一：根的判别式；知识点二：求根公式；知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则．根据以上知识点完成下列问题：(1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；(2)若一元二次方程的两个实数根为，①计算 ， ；②求的值；(3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值．【答案】(1)(2)① ，；② (3)【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式，解得：，的取值范围为；（2）解：①根据题意得：方程，由根与系数的关系得：，，②；（3）解：方程有两个实数根，判别式，解得：，由根与系数的关系得：、，，，，整理得：，解得：或，，．1．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知，是方程的两个根，则（   ）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵，是方程的两个根，∴由根的定义得，，由根与系数的关系得，，化简第一个因式：，化简第二个因式：，∴原式，代入，得：原式．2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ）A．①②③④B．②③④C．②③D．②④【答案】D【详解】解：① 将代入方程，得，提取公因式得，当时等式恒成立，不一定满足，故①错误；② 将代入方程，得，由条件，可得，因此是方程的根，故②正确；③原方程的解为和，则原方程可写为，展开得，即，，代入新方程得：，，整理得，解得或，故③错误；④ 由条件，，，可得，若，则，可推出，与矛盾，因此，方程判别式，因为，，所以，，方程一定有实数根，故④正确.综上，正确结论为②④．3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ）①若方程的两个根为和1，则；②若，则方程一定有解；③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数；④若，则A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】解：①若方程的两个根为和1，则，∴，∴，即，故①正确；② ，∴将代入方程得，是方程的根，即方程一定有解，故②正确；③若，则，∵，即，∴，，∴，∴，∴原方程有两个不相等的实数解，∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确；④若，则都是关于的一元二次方程的实数根，∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，∴是可以存在这种情况的，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个．4．（25-26八年级下·浙江湖州·期末）“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________．【答案】16【详解】解：根据题意，可得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，因式分解，得，解得，，∵个小方格中的正整数互不相等，∴，即的值是16．5.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________．【答案】【详解】解：，，．满足3的偏向方程的定义，，，．．对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义，，．6．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________．【答案】2026【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，，可将，看作是一元二次方程即的两个实数根，，，，，原式．7．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于的一元二次方程的两根都小于1，则的取值范围是__________．【答案】【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵，对任意实数恒成立，∴方程总有两个不相等的实根∵两根都小于1，即，，∴，，∴(x1−1)+(x2−1)0 整理第一个不等式得： 代入得：，解得 整理第二个不等式得： 代入he 解得 ∴的取值范围．8．（25-26八年级下·北京·期末）已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ．【答案】或/或【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根，由根与系数的关系得：，，∵方程有两个不等实数根，∴判别式，解得，，∴将代入等式得：，分两种情况讨论：当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意；当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意．综上，k的值为或．9．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）已知，是关于的一元二次方程两个实根，且满足，则的值为_______．【答案】5【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系，得，，由根的判别式，可知，解得或，∴，解得或，∵，∴不符合题意，∴ ．10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对．已知关于的方程(1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值；(3)若是它的互补对，求的值．【答案】(1)，∵∴， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为，根据韦达定理得到，∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为，∴，∴，∴．（3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为，∴，，∴∴对称中心值，设的对称中心值为，该方程的根记为∴，∴∴对称中心值，∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值∴，∴或∴或．11．（24-25八年级下·浙江金华·月考）根据以下素材，完成任务．问题解决(1)任务1：求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率．(2)任务2：为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元？【答案】(1)月平均增长率为(2)每盒礼盒的实际售价应定为56元【详解】（1）解：设月平均增长率为x．根据题意，得，解得，（不符合题意，舍去），，答：月平均增长率为．（2）解：设每盒礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为元，月销售量为盒，根据题意，得，解得：，．∵要尽可能扩大销量，∴礼盒售价为（元）．答：每盒礼盒的实际售价应定为56元．12．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒．(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意，得，解得，答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼；（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得，整理得，解得，（不符合题意，舍去），答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单．教学目标1.能从实际情境抽象出一元二次方程，理解一元二次方程定义，掌握一般形式，准确区分二次项、一次项、常数项与对应系数，能判断整式方程是否为一元二次方程。2.经历估算一元二次方程近似解的过程，掌握夹逼估算方法，发展估算能力。3.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，能根据方程结构灵活选择简便方法解方程；能规范推导求根公式，记住公式并熟练运算。4.理解根的判别式的含义，会不解方程判断实数根的三种情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根）；5.了解韦达定理（根与系数的关系），会简单代数式求值、已知等量关系求参数。6.能分析面积、增长率、利润、几何动点等实际问题中的等量关系，列出一元二次方程，求解后结合实际检验根的合理性，舍去不符合题意的解。教学重难点重点（1）四种解法的规范步骤，能根据方程特征灵活选用配方法、公式法、因式分解法解方程。（2）根的判别式的理解与应用，利用判别式判断方程实数根的情况；含参数方程，根据根的情况反求参数取值范围，易忽略a≠0隐含条件。（3）建立一元二次方程模型解决面积、增长率、销售利润等实际应用问题。（4）转化降次的核心思想，会用求根公式完成通用求解。2. 难点（1）配方法：二次项系数不为 1 时的化整、两边同加 “一次项系数一半的平方”，易漏乘、漏常数项变形出错。（2）求根公式完整推导过程，复杂符号、分式变形易混淆正负号。（3）灵活选择最优解法，区分各类方程适合的求解方式。（4）实际应用题中准确梳理等量关系，解后结合现实条件取舍根（长度、人数、单价不能为负）。（5）根与系数（韦达定理）的综合变形计算，整体代换思维不易掌握。．．．-1456．．．．．．8008．．．3.233.243.253.260.030.09新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上1，其运算结果和这个数的两倍相同．素材1某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长．该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒．素材2该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒．