数学九年级上册（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系精品ppt课件

这是一份数学九年级上册（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系精品ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了合作探究，思考·交流，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，归纳总结，练一练，x12+x22等内容，欢迎下载使用。
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac.当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ＜0 时，方程无实数根.
由前面的学习我们知道，如果ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)，那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根， x = x1，x = x2。反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论.
①方程 x² - 5x + 6 = 0；
②方程 3x² - 7x + 2 = 0.
求根：x1 = 2，x2 = 3.
因式分解：(x − 2)(x − 3) = x² - 5x + 6，与原多项式相等。
(2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)是否一定成立？与同伴进行交流。
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)。
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。
事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，而a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ，
如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个实数根 x1，x2 ，那么
由此我们可以得到一元二次方程的根与系数的关系：
满足上述关系的前提条件
b2 - 4ac≥0.
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.(1) x2 + 7x + 6 = 0；
解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 . Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 ×6 = 49 – 24 = 25＞0.所以方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6.
探究点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
(2) 2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2，b = –3， c = -2.
Δ = b2 − 4ac = (−3)2 – 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
所以 x1·x2 = 2x2 = ，即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解： 因方程有两个实数根，故 Δ = k² + 120，则 k 是任意数. 设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
【知识拓展】常见的求值式子如下：
1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；(3) ； (4) (x1 - x2)2 = .
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026D. 2025
x12-x1-2026=0
x12 -2026= x1
x13-2026x1+x22
x1(x12-2026)+x22
(x1+x2)2-2x1x2
x2-x-2026=0
x1+x2=1，x1x2 =-2026
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
A. 两个正根B. 两个负根C. 一个正根，一个负根D. 无实数根
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母的值
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个