2027年高考数学一轮复习第一章　§1.2　常用逻辑用语学案含解析

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1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件. ( √ )
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题.( √ )
(3)“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件. ( × )
(4)命题“∃x∈R，sin2x2+cs2x2=12”是真命题. ( × )
2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为( )
A.∃x∈R，x2-x+20⇔tan a>-tan b⇔tan a>tan(-b)⇔a>-b⇔a+b>0，
所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件.
思维升华 充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.
跟踪训练1 (多选)下列叙述中正确的是( )
A.“a>1”是“1acb2”的充要条件是“a>c”
C.“a0，则“∀x∈R，ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“b2-4ac≤0”
答案 ACD
解析 对于A，a>1⇒1aln yD.ex>ey
答案 C
解析 当x=-2，y=-1时，满足x2>y2，但xy，但x2y2是x>y的既不充分也不必要条件，A错误；
令f(x)=x|x|，则f(x)的定义域为R，
∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，
∴f(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)=x2，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)在R上为增函数.
由x|x|>y|y|可得x>y，由x>y可得x|x|>y|y|，
故x|x|>y|y|是x>y的充要条件，B错误；
∵y=ln x在(0，+∞)上为增函数，ln x>ln y，∴x>y>0；
当0>x>y时，ln x，ln y无意义，ln x>ln y不成立，
故ln x>ln y是x>y的充分不必要条件，C正确；
∵y=ex在R上为增函数，
∴由ex>ey可得x>y，由x>y可得ex>ey，
故ex>ey是x>y的充要条件，D错误.
(2)(2026·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为( )
A.(-∞，-5]∪[3，+∞)
B.(-∞，-5)∪(3，+∞)
C.(-5，3)
D.[-5，3]
答案 B
解析 因为p：(x-m)(x-m-3)>0，
则xm+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3，
又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+33或m3或a6，则a2>36，故充分性成立；
若a2>36，则a>6或a6”是“a2>36”的充分不必要条件.
2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为( )
A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数
D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数
答案 B
3.已知p：1x>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A.[0，+∞)B.[1，+∞)
C.(-∞，0]D.(-∞，1]
答案 C
解析 由1x>1可得x(x-1)M”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，充分性成立；
取f(x)=2x，D=R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)=|M|+1，
取x0=x1，则|f(x0)|=|M|+1>M，但此时函数f(x)的值域为(0，+∞)，必要性不成立；
所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件.
7.若“∃x∈(0，π)，sin 2x-ksin x0”
答案 ABC
解析 对于A，命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”，A正确；
对于B，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x的上方，函数y=lg2x的图象在直线y=x的下方，则2x>lg2x，B正确；
对于C，因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，
所以4x2≥2x-1+3x2恒成立，C正确；
对于D，例如a=b=0，能推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0，故D错误.
11.下列说法正确的为( )
A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件
B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a13时，此时A=R，B⊆A成立；
当2m-1≤-m，即m≤13时，若B⊆A，此时2m−1≥2,−m13.
14.(2026·郑州模拟)若命题“∃x∈[-1，2]，使得2x2+mx-m-10≥0”是假命题，则实数m的取值范围是 .
答案 (-4，2)
解析 由题意知，原命题的否定“∀x∈[-1，2]，2x2+mx-m-10